例談圓錐曲線焦點弦的三個優美性質

陳偉流

(廣東省惠州仲愷中學)

圓錐曲線的焦點弦問題向來是高考命題的熱點,其涉及題型多,涵蓋面廣,如焦點弦定比分點、通徑、焦點及準線關聯的定值、定點等問題,既傳承經典,又常考常新.試題常圍繞焦點弦的相關優美性質,在學生的必備知識、關鍵能力、核心素養等層面進行不同程度的考查,所以我們有必要對母題進行系統、全面、深入解讀與拓展.為此,筆者從三道解析幾何的模擬試題出發,探索與推廣圓錐曲線焦點弦的優美性質,為讀者提供一定的借鑒與參考.

1 試題呈現

2 性質探索

將例2的背景進一步推廣到雙曲線,經探究,可得性質2.2.

圖2

圖3

其中e1,e2分別為橢圓C1和雙曲線C2的離心率.

圖4

3 應用提升

例5在平面直角坐標系xOy中,已知A(－1,0),B(1,0),動點C滿足直線AC與直線BC的斜率乘積為3.

(1)求動點C的軌跡方程E;

(2)過點(2,0)作直線l交曲線E于P,Q兩點(P,Q在y軸兩側),過原點O作直線l的平行線l1交曲線E于M,N兩點(M,N在y軸兩側),試問是否為定值? 若是,求出該定值;若不是,說明理由.

答案(1)動點C的軌跡方程為

圖5

答案(1)C1和C2的方程分別為

解析幾何試題向來以命制背景豐富、呈現形式多樣、結論優美和諧而深受廣大師生熱捧,特別是與焦點有關聯的定值、定點問題更是高考中的常客,只要我們善于發現、勤于探索、樂于總結,必能在知識整體上理解問題的通性通法,明晰相關結論的邏輯,如此才能提升數學運算、邏輯推理、數學抽象等核心素養,培養問題解決的思維品質,為高考備考做好全方位的儲備.

(完)