2021年新高考Ⅰ卷第21題的關聯性研究

王小國 童繼稀

(1.湖南省常寧市第二中學 2.湖南省長沙市雷鋒學校)

高考真題背后往往蘊含著豐富的數學背景和知識結構,深入研究這些問題,對提高同學們的解題能力、思維素養有著深遠的意義.本文給出2021年新高考Ⅰ卷第21題第(2)問的3種求解方法,并結合試題結構進行關聯性拓展研究,以期拓寬大家的視野,提升研究精神.

1 真題呈現

本題充分體現了解析幾何解答題起點低、落差高、設問有梯度的命題特點,發揮了數學學科高考的選拔性功能.第(1)問可以利用定義法求曲線方程,考查了對雙曲線的概念理解,注意點M的軌跡只是雙曲線的一支.第(2)問對考生的思維能力要求很高,主要考查了考生的數學運算與轉化能力,求解困難表現在:1)坐標字母多,考生處理時有畏懼心理;2)式子井然有序,頗有規律,但結構復雜;3)動態變化之中的定值問題,需要探索,對考生的運算及轉化能力要求較高.

2 解法賞析

3 關聯性探究

3.1 背景溯源

由|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|的代數結構,我們容易聯想到初中的割線定理與相交弦定理.

定理1(割線定理或相交弦定理)直線AB與CD交于點P,則A,B,C,D四點共圓的充要條件是

在解析幾何有關四點共圓的證明中,我們有以下一個非常簡潔的充要條件.

定理2若兩條直線y＝kix＋bi(i＝1,2)與圓錐曲線ax2＋by2＋cx＋dy＋e＝0(a≠b)有四個交點,則四個交點共圓的充要條件是k1＋k2＝0.

實際上,真題中的A,B,P,Q應四點共圓,即圓與圓錐曲線相交于四點.在高中數學解析幾何中的相關四點共圓問題,很多文獻已作詳述.

3.2 教材鏈接與高考命題特點

以四個共圓的點滿足的關系為命題條件或結論,在教材、高考真題中經常出現.

例1(人教A 版高中數學《選修4-4》第38頁例4)如圖1所示,AB,CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦,交點為P.兩弦AB,CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1,∠2,且∠1＝∠2,求證:|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.

圖1

題中的條件∠1＝∠2,即為直線AB與CD的斜率互為相反數,從而有|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.

當兩直線的斜率不滿足該關系時,我們可推廣得到以下一般結論.

證明過程略.

當定理1中的C,D兩點重合,即直線CD為圓的切線時,便可得到切割線定理.令T為切點,則|PT|2＝|PA|·|PB|.以此式結構拓展到橢圓中,有以下高考題.

例3(2016年四川卷理20,節選)已知橢圓E:的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點,直線l:y＝－x＋3與橢圓E有且只有一個公共點T.設O是坐標原點,直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A,B,且與直線l交于點P.證明:存在常數λ,使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

由于橢圓是由圓進行伸縮變換所得,故非平行的等長線段在同一伸縮變換作用下所得線段長度不一定相等.也就是說圓的切割線定理中的割線任意性,在橢圓中會受到一定條件的限制,這就是橢圓的“類切割線定理”.我們也可推廣得到如下結論.

結論2已知傾斜角為α的直線l1與橢圓E:(a＞0,b＞0)相切于點T,過直線l1上的任意一點P,作傾斜角為β的直線l2與橢圓E交于不同的兩點A,B,則

3.3 類似條件結構的處理技巧延伸

在高考真題中,對于類似的多線段長度比例式或乘積式結構,我們同樣可以借助弦長公式處理,可以轉化為向量處理,也可以利用投影轉化為某個坐標的代數式予以處理,還可以根據參數方程中參數的幾何意義求解,利用一些幾何定理及性質予以轉化.

3.4 類似結論關聯下的性質探索

結論3若點A,B,C為圓錐曲線上三點,A為定點,且kAB＋kAC＝0,則kBC為定值.

該結論在圓中顯然成立,為了突出問題,以下我們轉化為在橢圓、雙曲線與拋物線中來體現結果.

4 小結

著名的數學教育家波利亞曾說過,解題就像采蘑菇,當我們發現一個蘑菇時,它的周圍可能就有一個蘑菇圈.本題便是一個極為漂亮的“蘑菇”.

首先,它根植于教材,教材不僅是基礎知識與思想方法的重要載體,還是高考命題的主要依據與來源.如該真題的結構模型,本質是對四點共圓問題的考查,源自教材,又高于教材,切中考生的“軟肋”:多字母運算處理,復雜結構的轉化,動態問題的探究.因此,我們要重視教材中一些重要素材的研究與挖掘.

再者,我們在解題時,要回歸本源,高考真題并非無源之水.解析幾何問題,往往立意深刻,蘊藏著豐富的幾何背景及規律.而追根溯源,在研究與挖掘、拓展與延伸中,采到“蘑菇圈”,不僅可掌握此類問題的基本處理方法,還能感受到思維、結構與邏輯的奇妙與美,提升思維素養,促進深度學習,把握問題的本質.

最后,我們要重視數學問題間蘊藏的關聯性、相似(近)性,要善于鏈接教材、鏈接高考、鏈接競賽、鏈接方法、鏈接思維等,通過具體案例尋找研究對象內在的聯系,如知識結構、代數結構、條件層面、結論層面、問題背景、解題思路之間的聯系等,再總結共性,融會貫通,學以致用,以至于把握數學的整體規律,提升對學科整體認識的高度、廣度以及深度.

(完)