課堂因思維而綻放光芒

楊吟 金麗霞

【摘? ?要】分數的基本性質在教學中具有承上啟下的作用，屬于分數知識系統中的一個基本概念。教師通過對教學內容、學情的分析，確立了教學目標，嘗試從“以問引學，激發思維熱情；探究規律，發展推理意識；練習應用，滲透等價思想”等實踐過程，提升學生的思維水平。

【關鍵詞】分數的基本性質；演繹推理；數學思想；等價類思想

【課前思考】

《分數的基本性質》是人教版教材五年級下冊“分數的意義和性質”單元中的教學內容。這一課以分數意義、分數與除法的關系及應用為基礎，是后續進行約分、通分的基本依據，和商不變性質、比的基本性質具有內在一致性。因此，分數的基本性質在教學中具有承上啟下的作用，屬于分數知識系統中的一個基本概念。教材在編排上通過兩個層次推進：第一層次讓學生先借助動手操作和直觀圖式，發現分數的等值關系；再觀察等值分數中分子和分母的變化規律，引發猜想，進行驗證；最后概括總結出分數的基本性質。整個學習過程運用了不完全歸納思想，滲透了合情推理。第二層次讓學生根據分數與除法的關系，以及整數除法中商不變的規律，自主完成分數的基本性質的演繹推理過程。兩個層次兩種推理相互印證，促進學生對分數的基本性質的理解，也使學生獲得等價類思想的熏陶。

從學情的角度思考，《分數的基本性質》這一內容的教學起點在哪里？學生的疑問點在哪里？思維的增量又在哪里呢？為此，筆者對70名五年級學生進行了前測。

問題1：在[12]、[36]、[46]、[48]、[612]、[812]、[23]中，有大小一樣的分數嗎？請你找一找。

調查結果顯示，學生基本上都能從中找出大小一樣的分數。這說明學生已經具備利用已有的知識經驗判斷分數的大小的能力，這為探究分子、分母的變化規律提供了認知基礎。

問題2：你能比較出[14]和[28]的大小嗎？將你的思考過程用寫一寫或畫一畫的方式表示出來。

從問題2的前測結果（如表1）可以看出，學生具有判斷兩個分數相等的能力，且表示方法多樣：大部分學生選擇方法1，用畫直觀圖的方法說明分數的等值關系；也有小部分學生利用分數與除法的關系，將分數轉化為小數進行說明；僅有2名學生把分數轉化為除法，用商不變性質來說明。可見，將分數的基本性質和商不變性質聯系起來，對學生來說存在一定的困難。

從前測可知，學生對分數的意義掌握較好，教師應放手讓學生自主探索，經歷猜測、驗證、總結的不完全歸納過程而將教學的重點轉向引導學生利用分數與除法的關系及商不變規律進行驗證，利用演繹推理說明結論的合理性，打通知識內在關聯，從而讓學生初步感受數學研究的科學嚴謹，發展推理意識，提升思維水平。

基于上述對教學內容和學情的分析，筆者確立了以下教學目標。

1.深刻理解分數的基本性質，能初步運用分數的基本性質體會等價類思想。

2.經歷“猜想—質疑—驗證—分析”等探究活動，發展提問能力，增強對合情推理和演繹推理的體驗。

3.體會數學知識的內在聯系，感受數學探究、合作學習的樂趣。

【教學實踐】

一、以問引學，激發思維熱情

根據前測結果，對于分數的基本性質，學生已經積累了很多感性經驗。教師可以利用學生的知識經驗，調動他們已有的知識儲備，讓他們主動地發現問題，提出問題，從而激發學生學習興趣，引領后續的自主探究。

v教學片段1

師：你們聽說過“分數的基本性質”嗎？誰能說一說什么是分數的基本性質？

生：分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

師：對于這個說法，你們有什么疑問？

生：為什么同時乘或者除以相同的數，分數的大小會不變？

生：如果是“加或減”相同的數，大小是不是就會變了？

生：這里的“相同的數”是什么數？是小數、分數都可以嗎？

生：為什么要0除外？

（教師整理并記錄學生提出的問題，如圖1所示）

二、探究規律，發展推理意識

（一）合情推理，初步感知性質

分數的基本性質的學習過程主要是一個合情推理的過程。教學時，教師先設置學習支架，以“加或者減”為例，示范驗證的方法，再引導學生通過圖式、文字、算式等數學語言進行多元表征，讓學生充分經歷“猜想—驗證—結論”的歸納推理過程，體會“發現”的樂趣。

v教學片段2

師：如果是加或者減相同的數，分數的大小變不變？

生：可以舉個例子來說明。把[13]的分子和分母同時加1，變成[24]，[13]和[24]不相等。

師：看來加或者減相同的數，分數的大小是會變的。

（教師在板書中擦去“加或者減？”）

師：那么乘或者除以相同的數會不會改變分數的大小？你們有辦法來說明嗎？

生：我們也可以像剛才那樣舉例子進行驗證。

師：請同學們自己來舉例子說明是否相等，然后和同桌交流分享。

（學生先獨立思考，再同桌之間相互交流，最后全班反饋）

生：我舉的例子是[24]。把[24]的分子和分母都除以2，得到[12]，利用畫圖就可發現這兩個分數是相等的。（如圖2）

生：我利用畫線段圖來說明。把[23]的分子和分母都乘2，得到[46]。我發現[23]和[46]表示的長度是一樣的。（如圖3）

生：我舉的例子是[1020]。分子和分母都除以10后是[12]，[1020]和[12]轉化成小數，都是0.5，所以它們一樣大。

生：我舉的例子是[912]。把分數轉化為除法，即9÷12。根據商不變性質，被除數和除數同時除以3，它們的大小是不變的。除法算式大小一樣，那么分數大小也一樣。（如圖4）

（二）演繹推理，理性認識性質

在學生通過舉例驗證，經歷合情推理后，教師引導學生利用分數和除法的關系，根據商不變規律，對分數的基本性質進行演繹推理。這樣的學習過程不僅能幫助學生建立數學知識之間的內在聯系，形成合理的認知結構，還能讓學生比較完整地經歷合情推理發現結論、演繹推理說明結論的過程，發展推理意識。

v教學片段3

師：你們舉的這些例子都能說明分子和分母同時乘或者除以相同的數，分數的大小不變。

生：老師，我有疑問。我們只是舉了幾個例子，就能證明任意分數都是這樣的嗎？

師：這是一個有價值的好問題。有什么辦法能證明任意分數都是這樣的呢？我們想想什么叫任意分數？

生：可以用字母來表示，比如[ab]。

師：如果能證明[ab]的分子和分母同時乘或者除以相同的數，分數的大小還是不變，那這個結論就是正確的。那怎么證明呢？

（教師組織學生進行小組合作探究，然后展示交流）

生：把分數的分子分母都乘2，然后都轉化為除法，經過計算，得到結果相等。（如圖5）

生：把分數的分子和分母都乘c，然后都轉化為除法，再根據商不變性質來說明結果相等。（如圖6）

教師借助學生的交流討論梳理論證過程，先把[ab]的分子和分母同時乘2，再延伸為乘n，從而理解n可以是除0以外的任意數。（如圖7）

（三）數形結合，深刻理解性質

教師可聚焦分數單位，讓學生在“度量”中尋找等值分數。在這個過程中，教師引導學生用數形結合的形式，借助圖形理解分數單位和單位個數之間的關系，讓學生感受到分數單位變了，取的份數也要發生變化，此時分數保持等價。在變與不變中，促進學生對分數的基本性質的深度理解。

三、練習應用，滲透等價思想

分數不同于整數的重要特性之一就是等價性。整數中，一個數只有一種表示形式，在數軸上就表示為某一個點。分數則不同，一個具體的值有無限多種表示形式，如[12]=[24]=[36]=[48]=……盡管這些分數的表示形式各有不同，但是在同一條數軸上，它們都表示同一個點，這表示它們數值相等。

v教學片段4

教師出示拓展練習。

師：你能寫出幾個和[13]相等的分數？你能把這些數在數軸上表示出來嗎？

（學生在課件上操作，把這些數移動到了同一個點上）

師：看到這一幕，你又有什么好奇的地方？

生：為什么在數軸上一個點只能表示一個整數，卻能表示那么多分數呢？

生：這些分數都是相等的，它們存在的意義是什么呢？

師：在數軸上，同一個點可以用來表示不同形式的分數，這有什么用呢？我們來玩個游戲，看看你能不能從中得到一些啟發。

（教師借助課件開展分數比大小游戲，如[13]和[415]無法直接比較，要用與[13]相等的另外表示形式[515]與[415]進行比較，得出[13]>[415]。教師更換分數，如[13]和[1330]、[13]和[821]等，繼續進行游戲，加深學生的感受）

師：你能來說說分數的基本性質有什么用嗎？

生：同一個分數可以寫成不同的形式，它就能在需要的時候發揮作用。

【課后感悟】

數學課堂要深入挖掘教學內容的思維元素，努力激發學生的思維熱情，積極引導學生經歷思考的過程，讓課堂綻放內涵，顯現精彩。

一、提出問題，有效激發思維熱情

要讓學生對知識探究產生好奇心、主動性，就要引導學生發現問題、提出問題，鼓勵他們探究和解決問題。本課教學圍繞學生的三次提問，促進學生深入思考。課一開始，引出分數的基本性質非確定性結論，引發第一次提問：“為什么同時乘或者除以相同的數，分數的大小會不變？”“如果是‘加或者減相同的數，大小是不是就會變了？”“這里的‘相同的數是什么數？是小數、分數都可以嗎？”“為什么要0除外？”讓學生經歷“猜想—驗證—結論”的過程（合情推理），歸納出結論。初步得出結論后，再次引發提問：“通過以上舉例驗證，就能說明這個性質一定成立嗎？”引導學生結合商不變性質有層次地進行論證（演繹推理）。最后在練習環節中，在引出與[13]相等的不同分數形式后，引發提問：“為什么在數軸上一個點只能表示一個整數，卻能表示那么多分數呢？”“這些分數都是相等的，它們存在的意義是什么呢？”使學生的思維活躍起來。通過三次引發學生提問，層層推進，促發學生對規律本質的深度思考。

二、經歷過程，切實體驗演繹推理

在小學階段，結論性的知識通常都是采用合情推理（不完全歸納推理）的方式獲得的，其實質是討論“是什么”。而若能適度討論“為什么”，學習就能達到“知其所以然”的更高水平。在本課中，當學生經歷舉例后，會意識到例子是舉不完的，會產生“是否有別的方法來說明”的想法，這時，教師恰當引導學生思考：“通過以上舉例驗證，就能說明這個性質一定成立嗎？”“舉了幾個例子，就能證明任意分數都是這樣的嗎？”啟發學生運用字母[ab]去嘗試“證明”。學生在主動思考的過程中，想出了不一樣的方法。教師在學生交流、討論的基礎上，幫助學生一起經歷演繹推理過程，讓學生理解分數的基本性質一定成立的“原理”，從而體會到數學知識的嚴密和演繹推理的美妙。

三、練中有思，深刻感悟數學思想

分數的基本性質用一句話即可概括，卻蘊含著重要的等價類思想。為了達成這個目標，教師精心設計了一個比分數大小的游戲：[415] 該用哪個分數進行比較？[1330] 呢？讓學生體會到同一個分數雖然有不同的表示形式，卻各有各的用途。在這個過程中，學生體驗逐步增強，認識水平不斷提升，從而對等價類思想獲得了較深刻的感悟。

數學知識本身也許是枯燥的，但探究這些知識時，感悟這些知識背后的思想方法卻是美妙的。數學課堂，正是由于思維的融入，才綻放出了耀眼的光芒！

（1.浙江省杭州二中白馬湖學校

2.浙江省杭州市長河小學）