結構化視域下的小學數學延學作業設計

錢建兵

（本文系江蘇省教育規劃“十三五”立項課題“促進理解的小學數學結構化學習的實踐研究”（編號：D/2020/02/138）研究成果。）

摘要：結合新課標教學內容結構化的要求，作業作為課堂教學的延續，內容上要關注數學本質，用結構化的思維，設計作業內容。以學習意義定義作業，讓學生通過作業，經歷再補充、再發現、再總結的過程，促進認知結構的優化，培養學習力，彰顯學生的學習主體性。遵循主體普適性、目標一致性、功能承載性等原則，從關聯、整體、整合等策略，設計結構化視域下的小學數學延學作業。

關鍵詞：作業設計 ?結構化 ? 延學

美國當代著名教育心理學家布魯納在他的《教育過程》中明確提出了學科結構論的課程論和教學論思想。他認為學習的目的在于以發現學習的方式，使學科的基本結構轉變為學生頭腦中的認知結構。課程標準（2022版）指出，為實現核心素養導向的目標，“要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。”[1]作業是體現學生主體性的一種發現學習方式，是課堂教學的延續與補充、拓展與深入。因此，在進行作業設計時，要彰顯作業的“學習意義”，從結構化的視角延續課堂學習，讓學生在作業的過程中自主完善優化認知結構，促進學生對核心概念的深入理解，從而理解學科的基本原理。

一、結構化視域下的延學作業概念界定

在數學學習中，學生的認知結構主要是在學習活動中形成的，包括課堂教學與課外學習，亦包含教師引導與自主建構。是學生以積極主動的心理取向，將教材知識體系（具有邏輯結構的學科知識），轉化為個體知識結構的過程。但僅僅依靠課堂教學與教材，構建起的認知結構是不完整的。這主要緣于學習的復雜性。班級授課制在效率最大化的同時，必定無法兼顧個體在學習風格、知識基礎、思維特點等方面的差異，很難做到對知識的深度理解與知識體系的完全建構。再次是教材在組織時，作為實施學習的基本單位，課時教學必將在一定程度上肢解知識的整體性。教材也并不是完全按知識的邏輯體系構建的，經過教學法的改造，并不能兼顧不同層次學習能力、不同經驗、知識背景的學生構建知識體系時，存在的不同差異與困難。

作業是認知結構自主建構與反思的重要手段。結構化視域下的延學作業，從知識之間的聯系（整體）出發設計習題，以更高的視角引導學生反思當下的學習內容，將作業作為課堂學習的進一步延伸，充分發揮學生在作業過程的自主建構作用，讓學生在作業中促進認知結構二次構建，在作業中尋找并理解知識之間內在關聯的思想方法和內隱邏輯，實現對概念、技能、思想方法的深刻理解。作業不是課堂教學建構起來的知識體系的再重復，而是一個新的再建構，是概念之間的打通，方法的升華，思想的提煉，是知識的體系化與優化，形成對核心概念的再升華，從而達到深度理解。在二次建構并完善其認知結構學習過程中形成數學核心素養，也就是說在將數學學科知識結構轉變為學生認知結構的過程中，形成學生的核心素養。

結構化視域下的延學作業并不是虛化基礎概念、基本技能等的而突出整體，而是在結構中去把握各知識點，從而使作業可以更加有彈性地處理、分配處于不同地位知識點的教學用力，突出核心知識、核心概念、基本思想、基本模型的重要地位。

二、結構化視域下的延學作業價值內涵

結構化視域下的延學作業強調課堂教學的“自延”，是再學習、再補充；讓學生經歷“自研”的過程——體現學生的主體建構，是再發現；讓學生在“自言”的過程中自省悟透，通過自省，反思等內部言語的活動過程，進行再總結。從而使課堂教學建構的知識更加系統化，形成縱橫交錯的體系，知識的存儲更有條理與富有邏輯。結構化視域下的延學作業價值具有如下價值。

1.提升學習力

學習力是衡量學生學會學習的重要指標，瞿靜指出：“學習力是在有目的的學習過程中，以聽、說、讀、寫、交流等渠道獲得知識技能的學習為基礎，通過實踐、體驗、反思、環境影響等途徑進行的學習力提升，達到產生新思維、新行為的學習效果為目的的動態能力系統。”[2]作業結構化視域下的延學作業，通過教師精心設計的習題，與課堂教學相輔相成，新舊知識之間形成的一種張力，為學生提供了比課堂教學更獨立自主的探究、實踐、體驗、反思的空間。不管是進行知識之間的縱、橫梳理，還是自我反思總結形成核心知識、方法、思想，或是獨立完成“做數學”，都將是對學生學習能力的一次次歷練。同時，與一般的作業不同，結構化視域下的延學作業閱讀量也比較大，綜合性較強，方法要自主歸納，提煉，視野更寬，這些都利于學生進一步理解數學的表達形式，增加對數學的理解，從而提升學生的數學素養。

案例1：最大公因數與最小公倍數中的奧秘

作業：最大公因數與最小公倍數的乘積

兩人玩一個游戲：兩人各說出一個數寫在紙上，對方算出這兩個數的最大公因數與最小公倍數的乘積，自己算出這兩個數的乘積，再比比兩個積的大小。

再玩幾次，可以交換角色。你們發現了什么？

【設計意圖】延續了課堂教學，不僅僅是發現兩個數最大公因數與最小公倍數之間的關系，培養學生發現、總結、表達規律的能力，更在于將最大公因數與最小公倍數的相關知識與兩個數的乘積進行關聯，體會知識之間的聯系。為什么會有這樣的聯系，也在學生心中埋下了進一步探究的種子，打開了進一步探究的空間，學習由自主到自發成為可能。

2.促進認知結構的再建構

課堂教學受時間的限制，課時安排的教學內容比較緊湊，規定時間內要理解概念，還要形成一定的技能。“部分——部分——整體”的編寫和教學模式人為地將知識分解成若干個小的部分，割裂了知識之間的聯系，大量的重復練習更加劇了知識之間的相互封閉，學生獲得的知識大部都是一些“散裝”的內容，沒有形成具有普遍聯系和廣泛遷移力的數學知識結構。因此，知識之間形成網絡，不同領域進行學科融合，特別是將課堂所學放在更高的視角去理解，必定需要通過作業將課堂延伸至課外。結構化視域下的延學作業以核心知識組織、串聯，將各部分之間構成有機整體，小的結構不斷納入更大的結構中，形成深刻理解。以整體與關聯為總指導，聚焦核心知識在構建起認知結構中的關鍵作用，以基本原理、基本關系、基本方法，架構知識體系的“承重墻”。

案例2：分數加減與小數加減的算理一致性

作業：分數加、減法與小數加、減法比較

＋ =（ ? ?）個 ＋（ ? ?）個 =（ ? ?）個 ；

－ =（ ? ?）個 －（ ? ?）個 =（ ? ?）個

異分母分數加、減法，要通分成同分母相加、減，是因為（ ? ? ? ）。

計算小數6.42＋1.5時，可以這樣思考：6.4＋1.5=（ ? ）個一＋（ ? ?）個一＋（ ? ）個0.1＋（ ? ）個0.1＋（ ? ）個0.01

小數加法要把小數點對齊，是因為（ ? ? ）。

比較小數加減法與分數加減法，我發現了：

【設計意圖】這如何讓學生體會分數加減法與小數加減法計算算理的一致性？計算小數加減法把小數點對齊，異分母分數加減先通分，這些是算法，其背后的道理是相同計數單位相加減。通過用橫式表達的算理，學生比較容易看出算理的一致。

3. 凸顯學生的學習主體地位

認知結構的二次建構是以思維能力的培養去帶動整體構建，學生思維能力更多的是體現在尋找聯系、構建整體及類比遷移的過程中，這個過程的主體應該是學生，是學生的自主建構，是不斷促進學生主體性提升的。二次建構過程中的沒有課堂建構中的“替代現象”，是富有個性的學生個體的探索領悟的行動。

案例3：用整數、分數表示關系

作業：分數的意義

小明拿來藍、紅、黃三種顏色的彩帶，對應著寫數：1、3、 。你知道這三個數表示的意思嗎？

問題1：任選一根彩帶的長度記作1，其它兩種顏色的彩帶的長度可以怎么表示？

問題2：如果三根彩帶的長度分別乘以2，你所選彩帶長度還可以記作1嗎？如果記作1，其它兩種顏色的彩帶可以記作多少？

【設計意圖】這此題主要是讓學生進一步理解分數作為“兩個量之間關系”意義的理解，進而溝通整數可用“幾倍”表示關系之間的聯系，體會分數與整數之間的一致性。問題2給學生自主選擇的權利，有利于學生學會用數表達關系，也是一種抽象能力的培養，培養學生的數感、符號意識等數學素養。

案例4：自主編寫延學作業

作業：分數實際問題復習

在下面的括號里填上一個數量，然后根據線段圖（圖2），編題。你能編幾題？

題1：

題2：

題3：

……

【設計意圖】根據線段圖表示的關系，可以選擇用分數、百分數、比等形式表達，溝通了分數、比、除法之間的聯系。題中另一個條件的確定，題材的選擇，則給學生更大的自主選擇權，有利于發揮學生作業的主體性，開放的題目有利于學生用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維分析實際問題。

作業不僅是復習與回顧，更是一種高效的深度學習。因此，結構化視域下的延學作業，擯棄低效重復記憶為主的作業，將相關內容進行結構化整合，在反思中促進學生對知識的整體理解，全面改變對數學的認知，讓“雙減”得以落地。

三、結構化視域下的延學作業原則與策略

探究拓展性作業設計要盡可能貼近學生的現實，以利于學生從情境中抽象出數學知識與方法的過程，發展抽象、推理等能力。結構化視域下的延學作業的設計，還應遵循以下原則。

（一）原則

1.數學作業設計的主體普適性原則

所謂主體普適性原則，就是延學作業設計要與課堂教學相輔相成。從難易程度上講，應該是面向全體學生的，應遵循課程標準中各學段教學要求，可以設置過渡性問題，讓不同層次的學生都能有所收獲。雖然說“如果給學生提供適當的學習經驗和對知識結構的合適陳述，即便是年幼兒童也能學習高級的知識，從而縮小初級知識和高級知識之間的差距”，但不能任意拔高超前，以加深理解、完善認知結構、培養思維、生成素養為目的。在作業量上，應遵循“五項管理”的相關要求，延學作業自主研究的花的時間比較多，并且不同水平的學生所用的時間也相差會較大。另外，作業設計要盡可能激發學生延學的興趣，要避免學生產生消極抵觸的情緒。

案例5：三棱柱的體積

作業：長方體、正方體與三棱柱的體積

圖3、圖4都是我們已學過的立體圖形，圖5是一個底面為直角三角形、側面由三個長方形圍成的立體圖形，我們稱它為三棱柱。

（1）回顧已有知識：S長方體底面=（ ? ? ?），V長方體=（ ? ? ?）；S正方體=（ ? ?）

（2）發現共同規律：V=（ ? ? ）

（3）推測新的發現：兩個完全一樣的直角三角形可以拼成一個（ ? ?），想一想兩個完成一樣的三棱柱可以拼成一個（ ? ? ?），由此推測V三棱柱=（ ? ?）。

（4）嘗試解決問題：根據你的發現，求得三棱柱（圖5）的體積是（ ? ?）立方厘米。

【設計意圖】這是在長方形、正方體體積教學計算之后，利用平面圖形面積計算中轉化的方法，將三棱柱轉化為長方體，從而推導出三棱柱的體積，體會體積公式之間的統一。這4個層次的問題，逐步幫助學生歸納、推導，從而得出三種立體圖形的統一計算公式。又將平面圖形中的轉化方法遷移運用到立體圖形之中。

2.數學作業設計的目標一致性原則

教學目標是教學的靈魂。延學作業是課堂教學之后的學習過程，與課堂教學共同達成教學目標。因此，延學作業與課堂教學之間的教學目標具有統一一致性，更要體現對堂教學目標互補作用上。課程標準2022版指出，要重視單元整體教學設計，“改變過于注重課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系。”[3]因為延學作業，可以跳出了課堂教學，可以基于課標，瞻前顧后，把握知識的前后關聯，兼顧單元目標、課時目標一致。

案例6：分數的意義之“量”“率”比較

作業：分數的大小比較

①兩根一樣長的繩子，第一根用去 ，第二根用去 ，誰剩下的長一些？

②兩根一樣長的繩子，第一根用去 米，第二根用去 ，誰剩下的長一些？

③兩根繩子，第一根用去 ，第二根用去 ，誰剩下的長一些？

④兩根一樣長的繩子，第一根用去 ，第二根用去 ，誰剩下的長一些？

⑤兩根一米長的繩子，第一根用去 ，第二根用去 米，誰剩下的長一些？

【設計意圖】分數的意義教學之后，單位“1”的理解是關鍵。此作業以對比的形式，讓學生進一步在具體情境中，強調單位“1”對分數意義的重要性，增強對單位“1”的理解，解決了學生在課堂教學中“分率”與“具體量”不能區分的疑惑，從而加深對分數意義的理解。

3.數學作業設計的功能承載性原則

課堂教學承載著育人的功能，延學作業不僅是在知識層面上延續課堂教學，也延續課堂教學的育人功能。作業題材的選擇，到作業情境的設置，可為學生提供廣泛的教育資源與空間。作業作為育人的重要載體，在價值觀上延續課堂教學，把社會主義先進文化、革命文化、中華優秀傳統文化、數學文化、數學發展前沿等融入其中。應該說，功能承載性比教材更有作為，更為靈活，作業形式上多種多樣，學科融合，要體現“五育并舉”的育人要求，培養學生對數學的積極情感、態度。

案例7：傳統數學文化進作業——出入相補原理

作業：三角形、梯形面積的推導

出入相補原理是我國古代數學的代表性成就。利用此原理，可以推導出所有直邊圖形的面積計算公式。

①我國古代數學名著《九章算術》中記載了三角形面積的計算方法，著名數學家劉徽在注文中用“以盈補虛”的方法（如圖6）加以說明。從圖中可以看出：

三角形是如何轉化為長方形的？試著剪一剪，拼一拼。

三角形轉化成長方形后，長方形的長=（ ? ? ），長方形的寬=（ ? ? ?）。

長方形的面積=長×寬，三角形的面積=（ ? ? ?）

②試著用這個原理將梯形轉化為長方形，并推導出面積計算公式。

【設計意圖】以傳統數學文化為題材，并利用此原理深入思維層面，進一步延續了課堂教學中的轉化的思想方法，同時又體驗到我國古代人民在數學上取得的成就，拓寬了視野，增強了民族自豪感。

（二）策略

結構化視域下的延學作業是課堂教學的延續，因此，在進行設計時要緊緊圍繞課堂教學的內容，通過作業，使課堂教學走向深入，更有寬度，更具有融合性。可以從如下幾個方面設計延學習題。

1.關聯策略

學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的。數學概念具有很強的可遷移性，這種可遷移性是緣于數學概念、體系在發展過程中，始終以相同的方法、原理、關系、問題，貫穿前后，從而實現相關數學概念之間本質的一致性。這些方法、原理、關系、問題，是數學知識如何關聯成為整體的核心。如“計數單位”的概念不僅是數認識過程中的核心概念，同時也是計算算理理解的核心，“計數單位”將數的認識與運算成為一個整體。在數的認識與運算中，圍繞“計數單位”設計作業，延展課堂，促進學生對所學知識的深度理解。

案例8：探究余數的秘密。

作業：2、5的倍數特征為什么只看個位

15÷2=（10+5）÷2=10÷2+5÷2，

317÷2=（300+10+7）÷2=300÷2+10÷2+7÷2，

1316÷2=（1000+300+10+6）÷2=1000÷2+300÷2+10÷2+6÷2，

我發現：一個數除以2的余數，與這個（ ? ）位上的數有關。我們知道，個位上是0、2、4、6、8的數是2的倍數。你知道是為什么嗎？

15÷5=（10+5）÷5=10÷5+5÷5，

317÷5=（300+10+7）÷5=300÷5+10÷5+7÷5

我發現：一個數除以5的余數，與這個（ ? ）位上的數有關。我們知道，個位上是0或5的數是5的倍數。你知道是為什么嗎？

216÷4=（200+16）÷4=200÷4+16÷4，

1317÷4=（1000+300+17）÷4=1000÷4+300÷4+17÷4

我發現：一個數除以4的余數，與這個（ ? ）位上的數有關。4的倍數有什么特征？

【設計意圖】2、5的倍數特征與個位數有關，這是算法。其算理是整十、整百、整千……除以2、5都沒有余數，因此只要看個位上的數。此作業，不僅是讓學生明白其中的算理，更是為后繼研究3的倍數的特征打下基礎。

案例9：算算計數單位的個數

作業：閱讀材料，再用材料中方法舉例。

小明：今天學習了分數乘整數，我覺得分數乘整數與整數乘法相似，它們都是計數單位的個數相乘。計算20×3，20的計數單位是十，2個十乘3，就是6個十，所以20×3=60。

小華：小數乘整數也是小數的計數單位的個數相乘。計算0.2×3，0.2的計數單位是0.1，0.2×3就是2個0.1乘3，也就是6個0.1，所以0.2×3=0.6。

分數乘整數也是計數單位的個數相乘嗎？請你舉例說明。

【設計意圖】數學課程標準（2022版）指出，數與運算的教學要感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力與推理意識。[4]此項作業，通過實例，引導學生從計數單位累加的角度去思考整數、小數、分數乘法的算理，溝通了聯系。

兩個案例均圍繞“計數單位”這一核心概念進行關聯。案例8中，延學作業是對課堂教學進行了補充，2、5的倍數與3的倍數特征判斷方法不一致，通過對算理的分析，透過表面上的不一致，形成了具有結構性的方法，并與除法運算的算理進行了關聯。案例9中，是對課堂教學進行了適當的提煉，新舊知進行了統一，形成了結構性的方法。

2.整體策略

戴維斯（R.Davis）在《數學學習：數學教育的認知科學研究》一書中對“圖式”的基本性質作了總結：第一，圖式源于成功的經驗；第二，圖式可以憑借某些十分簡單的、特殊的“提示”得以實現；第三，圖式為新的認識活動提供了必要的理論框架。[5]數學知識的特點之一是相互之間有著廣泛的聯系，這些聯系是形成“圖式”的基礎。在作業設計時，可以利用課堂教學形成的“圖式”，并延續課堂教學的經驗，促進知識的整體遷移。如在“圖形的認識與測量”的學習中，從一維長度、再到二維平面、三維空間，不管是在圖形的認識上，還是在測量的方法的形成過程中，其都會經歷相同的過程；數的認識過程中形成的關于數的組成的方法，數的運算學習過程中關于算理的整體認知等。

案例10：英制單位之間的換算關系

作業：體積單位的換算

有些國家采用“英制單位”，碼、英尺、英寸，它們的換算關系：1碼=3英尺，1英尺=12英寸。運用已學知識，你能推算出平方碼、平方英尺、平方英寸這些面積單位之間的換算關系嗎？立方碼、立方英尺、立方英寸這些體積單位之間的換算關系呢？

【設計意圖】根據長度單位之間的換算關系，推算出面積、體積單位之間的換算關系，其本質是對面積、體積意義的理解。以課堂教學中國際單位制中習得的圖式，去遷移至英制單位，實現了知識的整體遷移，從而形成了知識的結構化。

3.整合策略

整合是指認知結構中相關數學概念的相互聯結，有機結合，相互滲透，整合可以促進認知結構的系統化與優化。整合還可以重組學生的生活與學習資源，打通數學與兒童生活與其它學科的聯系。

案例11：特殊與一般的關系

作業：方程與等式的關系。

方程、等式之間是怎樣的關系？請在下圖（圖7）中表示出來？這樣的圖還可以表示哪些概念之間的關系？

【設計意圖】本題以方程與等式之間關系的直觀表達，引導學生展開聯想，由此將小學所學具有這種關系的兩個概念串聯起來。這些概念雖然是不同的領域，但以同樣的結構整合存儲，形成結構化的知識，理解深刻利于提取。

案例12：青蛙爸爸跳多遠

作業：乘法口決的練習

如圖（圖8），青蛙媽媽每次跳3格，小青蛙每次跳2格，它們都從0開始起連續地跳。青蛙爸爸每次跳的是在青蛙媽媽和小青蛙同時跳到的地方。

先用▲圈出媽媽跳的地方；再用O圈出小青蛙跳的地方。你知道青蛙爸爸每次跳幾格嗎？用到了幾的口決？

【設計意圖】以富有兒童情趣的形式練習了乘法口決，體現了乘法口決的價值，又將2、3的倍數及2和3的公倍數與6的倍數之間的關系融合在乘法口決之中，不同層次的知識進行了整合，有利于知識結構化，培養學生的思維。

基于結構化視域下的延學作業，其反映的是學生認知結構動態形成過程，因此，對作業的評價，應更關注作業過程中學生的思考與數學學習的態度，對評價結果的運用應由甄別判斷轉向“為學習的評價”。在實踐過程中，適合采取一種支持學習的態度，堅持多元評價，獨立思考與同伴學習相結合，以學生的發展為目標，與課堂教學形成合力，共同促進素養的形成。

參考文獻：

[1][3][4]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[Z].北京：北京師范大學出版社，2022：85，86，18.

[2]瞿靜．論學習力理念從管理學向教育學領域的遷移［J］．教育與職業，2008（3）：64－65．

[5]鮑建生，周超著．數學學習的心理基礎與過程［M］．上海：上海教育出版社，2009：189．

責任編輯：陳國慶