普通高中數(shù)學強潛能學生培養(yǎng)的競賽驅(qū)動策略

摘? ?要： 普通高中對數(shù)學強潛能學生的早期識別和培養(yǎng)有利于引領學生的志趣，為拔尖人才的后續(xù)培養(yǎng)打下堅實的基礎。上海市上海中學通過設立數(shù)學班，以數(shù)學競賽為平臺，在數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)方面取得了豐碩的成果，為國家培養(yǎng)了眾多數(shù)學人才。學校根據(jù)不同層次數(shù)學競賽的特點，針對課堂教學、全國高中數(shù)學聯(lián)賽、冬令營、集訓隊、國家隊培訓不同的階段，制定不同的培養(yǎng)方案，在每個階段培養(yǎng)學生不同的能力，促進學生的持續(xù)提升和突破。

關鍵詞： 強潛能學生；數(shù)學競賽；培養(yǎng)策略

為了加快建設教育強國、科技強國、人才強國，推動國家原始創(chuàng)新能力的發(fā)展，我國對基礎學科拔尖創(chuàng)新人才的需求越來越大。現(xiàn)代科技的原始創(chuàng)新離不開數(shù)學領域的強力支撐，現(xiàn)在世界上的發(fā)達國家均是數(shù)學強國，我們國家的數(shù)學研究雖然取得了長足的進步，但是與國際領先水平還有一定的差距，特別是基礎學科還不夠強。因此，國家越來越重視“中學生英才計劃”的深入實施。為響應該計劃的實施，上海市上海中學（以下簡稱“上海中學”）開展多元化的學生培養(yǎng)模式：一方面是“請進來”，學校持續(xù)推進上中—復旦導師計劃、上中—交大計劃、各類實驗組計劃等項目，選拔一批學有余力的學生在復旦、交大等高校教授的指導下參加學術研討和科學研究，激發(fā)科學興趣，提高創(chuàng)新能力；另一方面是“走出去”，讓學生走進高校和科研院所的實驗室，親自動手參與高校和科研院所的實驗項目，不斷提高動手能力，體驗科研過程。

我們認為，數(shù)學領域的基礎研究人才自主培養(yǎng)，需要進一步強化普通高中數(shù)學強潛能學生的培養(yǎng)，繼續(xù)引導對數(shù)學學科感興趣的強潛能學生在參加層次遞升的數(shù)學競賽中獲得數(shù)學能力的提升，激活他們持續(xù)開展數(shù)學探究的熱情。筆者作為數(shù)學奧林匹克的教練，嘗試從數(shù)學競賽的視角思考數(shù)學強潛能學生的成長要素，探索普通高中數(shù)學強潛能學生培養(yǎng)的競賽驅(qū)動策略，并給予不同階段的數(shù)學強潛能學生針對性的培養(yǎng)策略，嘗試為這些學生不斷走向飛躍、走向數(shù)學王國以及成為未來數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才奠定扎實的基礎。

筆者所在的上海中學在數(shù)學強潛能學生培養(yǎng)方面具備豐富而長期的實踐基礎。上海中學從1990年開始，在全市率先成立數(shù)學班，開展數(shù)學強潛能學生培養(yǎng)模式的探索。30多年來為國家培養(yǎng)了數(shù)學方面的學生1200余名，他們中數(shù)學學習能力強、有天賦的學生有200多名，特別有天分的學生有50余名。為促進普通高中數(shù)學強潛能學生的持續(xù)提升與能力突破，學校對數(shù)學學習有強烈興趣與潛能的學生給予不同階段的競賽驅(qū)動，把握不同層次數(shù)學競賽特點和學生能力以及素養(yǎng)培育的重點，根據(jù)數(shù)學強潛能學生的可持續(xù)發(fā)展規(guī)律，制定不同的培養(yǎng)方案，形成競賽驅(qū)動策略。

一、數(shù)學強潛能學生的早期識別與學校集聚培育

數(shù)學強潛能學生的早期識別主要關注以下幾個方面12：對數(shù)學的領悟力與理解的深刻性，體現(xiàn)在模式遷移、方法遷移、思想遷移和創(chuàng)新與突破上；對數(shù)學的癡迷度與專注度，體現(xiàn)在釋疑的堅持性、探究的堅持性、成敗的堅持性和完美的堅持性上；數(shù)學思維的縝密性與跳躍性等。學校在每一屆學生中開設數(shù)學班，每年從上千名對數(shù)學感興趣、有較強的學習能力的高一新生中選拔40名左右組成數(shù)學班，創(chuàng)設專門的課程進行培育。從1998年開始，每年又從數(shù)學班中挑選10名左右對數(shù)學領悟力強的學生組成數(shù)學小班，進行小班化教學。課堂導引主要關注如下兩個方面：

1.知識的全面性

課堂教學的主要任務是完成高中數(shù)學教學內(nèi)容并在此基礎上進行拓寬和加深，使學生能夠解決全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試的問題。本階段以知識為主線，目標是高中數(shù)學完整的知識結(jié)構，注重培養(yǎng)學生的計算能力和邏輯推理能力。在課程安排上要考慮系統(tǒng)性和全面性，合理地設置教學專題，使得數(shù)學競賽中的各個板塊內(nèi)容以及不同的思路方法在不同課型中螺旋式再現(xiàn)。表1羅列了課堂教學需要講授的一些內(nèi)容。

2.問題的趣味性

數(shù)學競賽問題都有一定的難度，雖然教學對象是對數(shù)學有濃厚興趣的學生，但是難題也會讓他們失去學習的興趣。因此，教師需要設置一些新穎的問題不斷吸引學生，使之保持學習興趣且不斷濃厚，盡可能避免出現(xiàn)畏難甚至厭學情緒。因此，在教學過程中要做到以下幾點4：一是合理選擇教學內(nèi)容；二是教學要生動有趣；三是設置適合的問題；四是注重思維的啟迪。以下面的問題為例：

設u，v，w是模為1的復數(shù)。證明：我們總能選擇“+”或者“-”，使得[±u±v±w][≤1]。5

這個問題表述簡潔，解答簡短，既能夠擴展學生的視野，又能夠極大激發(fā)學生的學習興趣。事實上，用[u，v，w]表示復數(shù)[u，v，w]在復平面上對應的點，則[Δuvw]的垂心[H]對應的復數(shù)為[u+v+w]。當[Δuvw]是銳角或者直角三角形時，它的垂心位于[Δuvw]內(nèi)（或頂點上），從而位于[Δuvw]的外接圓內(nèi)（或外接圓上），于是[u+v+w≤1]。當[Δuvw]是鈍角三角形時，不妨設[v]是鈍角頂點，作[v]關于原點的對稱點[-v]，則[-v]仍在單位圓上，且以[u，-v，w]為頂點的三角形時銳角三角形。由上面的證明知[u-v+w≤1]，因此結(jié)論成立。

該問題的解決需要用到垂心的復數(shù)表示，在教學過程中，學生對垂心的復數(shù)產(chǎn)生了濃厚的興趣，他們嘗試用各種辦法去尋找垂心的表示方法。解決這個問題所用到的知識調(diào)動了學生的好奇心，激發(fā)了他們的探究能力。經(jīng)過探究，學生發(fā)現(xiàn)通過熟悉的重心的復數(shù)表示再結(jié)合歐拉定理，即三角形的外心、重心、垂心三點共線且重心把外心和垂心的線段分為1∶2的比值，就得到了垂心的復數(shù)表示。

二、關注數(shù)學強潛能學生的數(shù)學思維能級提升——全國高中數(shù)學聯(lián)賽培養(yǎng)要旨

全國高中數(shù)學聯(lián)賽由中國數(shù)學會組織，是一項影響力頗大的課外數(shù)學活動，全國每年約有5萬名中學生參與此項比賽。全國高中數(shù)學聯(lián)賽分為一試和加試，一試考查高考規(guī)定的知識和方法，考試時間為80分鐘。加試考試時間為2小時50分鐘，從最近幾年的命題情況來看，主要是考查初等代數(shù)（包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、多項式等）、初等幾何（主要考察平面幾何）、初等數(shù)論、初等組合等方面的內(nèi)容。全國高中數(shù)學聯(lián)賽命題的基本原則是向國際數(shù)學奧林匹克靠攏，在知識方面略有擴展。在培訓過程中需要關注以下兩個方面：

1.知識的遞進性

全國高中數(shù)學聯(lián)賽是數(shù)學強潛能學生在課堂之外參加的第一項重要考試，也是學生能夠參加更高級別競賽的“敲門磚”，因此具有重要的意義。全國高中數(shù)學聯(lián)賽的培訓是課堂教學的遞進，所選擇的培訓材料難度應該適中，講授的問題應是課堂內(nèi)容的延續(xù)和加深。教師要關注如下幾個方面的問題：一是表述的準確性，即所用到的知識、定理與教材表述完全一致；二是表述的正確性，即表達要正確，不能有錯誤的成分；三是認識的深刻性，就是深入理解知識的來龍去脈、內(nèi)涵、意義、使用條件以及注意的問題等。

2.培訓的目的性

全國高中數(shù)學聯(lián)賽的時效性原則特別重要，由于考試時間緊，學生需要在規(guī)定的時間內(nèi)做對盡可能多的題目。因此，在組織培訓材料時，需要遵循目的性原則。所謂目的性原則1，即所選取的材料要體現(xiàn)教師的培訓意圖，不能憑個人的喜好判斷問題的價值，要依據(jù)學生的知識、方法、能力的薄弱環(huán)節(jié)選擇材料，以利于學生形成良好的認知結(jié)構。所選的培訓問題不能過于簡單，否則培訓效果不佳，但也不能太難，否則學生在有效的時間內(nèi)不能給出正確的解答，也不會有好的效果，故要依據(jù)學生的實際情況和所掌握的知識、方法、能力選取恰當?shù)膯栴}。

2018級的楊同學高一時參加全國高中數(shù)學聯(lián)賽獲得了上海賽區(qū)一等獎，但沒能進入全國中學生數(shù)學冬令營，他在考試中由于沒有做好數(shù)論題，導致總分與他的目標產(chǎn)生了差距。在接下來的一年時間里，楊同學著重加強數(shù)論板塊的學習。他詳讀了一本初等數(shù)論教材，熟悉數(shù)論的知識體系和一般結(jié)論，通過一些數(shù)論競賽問題的專項練習加深數(shù)學競賽中數(shù)論問題的技巧的學習，在此基礎上逐步提高綜合能力，探究了與數(shù)論相關的代數(shù)和組合問題，這又加強了解數(shù)論問題的能力。接著在2019年的全國高中數(shù)學聯(lián)賽中，他順利考進冬令營，最后進入了國家集訓隊。

三、關注數(shù)學強潛能學生對數(shù)學新問題的認知與解題表達能力——冬令營考試突破要訣

全國中學生數(shù)學冬令營由中國數(shù)學會數(shù)學競賽委員會組織，是面向高中生的頂級數(shù)學競賽之一。冬令營考試時間為兩天，學生每天要在4.5個小時內(nèi)解決三個問題，題目難度大，時間緊。基于冬令營具有題目新穎性的特點，我們主要采用學生自我探索的思維形式，堅持邏輯推理與合情推理并重，培養(yǎng)學生解決問題的能力。

1.思維的創(chuàng)新性

數(shù)學知識的學習一般都是經(jīng)過模仿到理解，再通過遷移達到掌握的過程。要想創(chuàng)造性地提出新問題，那就需要建立在自身掌握的知識和方法的基礎上，通過合情的邏輯推理和大膽假設，提出前所未有的新結(jié)論，這對學生是很高的要求，也是高層次的數(shù)學競賽學生培養(yǎng)過程中必不可少的一環(huán)。在冬令營培訓的具體實踐中，恰當選取一些問題，可以逐步培養(yǎng)學生提出新問題的能力。以下面的問題為例進行說明。

2014年地中海地區(qū)數(shù)學競賽有如下一個問題：

設[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]是實數(shù)。證明：存在[k] [∈] [1， 2， …， n]，使得

[i=1nai-ak] ≤ [i=1nbi-ak]。1

對該問題的一個自然的推廣是當[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]都是復數(shù)時，有什么樣的結(jié)論。

變換問題1：設[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]是復數(shù)。是否一定存在[k] [∈] [1， 2， …， n]，使得

[i=1nai-ak] ≤ [i=1nbi-ak]。

問題1仍然是線性結(jié)果，如果考慮歐式距離，我們得到了以下新的問題：

變換問題2：設[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]是復數(shù)。是否一定存在[k] [∈] [1， 2， …， n]，使得

[i=1nai-ak][2] ≤ [i=1nbi-ak][2]。

事實上，對[j， k=1， 2， …， n]，記[fjk=][ bj-ak2-aj-ak2+aj-bk2-bj-bk2]。只需證明存在整數(shù)[k（1≤k≤n）]，使得[j=1nfjk≥0]，下面證明[k=1nj=1nfjk≥0]。事實上，我們有

[fjk=（bj-ak）（bj-ak）-（aj-ak）（aj-ak）+（aj-bk）（aj-bk）-（bj-bk）（bj-bk）]

[=-bjak-akbj+ajak+akaj-ajbk-bkaj+bjbk+bkbj? ? ?]

[=（aj-bj）（ak-bk）+（aj-bj）（ak-bk）.? ?]

記[aj-bj=cj， j=1， 2， …， n]，則

[k=1nj=1nfjk=k=1nj=1n（cjck+cjck）=k=1nck·j=1ncj+k=1nck·j=1ncj]

[=2c1+c2+…+cn2≥0，]

所以，必存在整數(shù)[k（1≤k≤n）]，使得[j=1nfjk≥0]成立，故本題結(jié)論成立。

對一個數(shù)學問題，學生通過不斷變換條件和結(jié)論，可以逐步培養(yǎng)提出新問題的能力。這不僅有利于學生的考試，對他們以后的學習以及將來的數(shù)學研究也有很大的幫助。例如，2019年國際數(shù)學奧林匹克金牌獲得者黃同學特別喜歡提出新問題，在平時訓練過程中，他喜歡對題目進行改編，變換出新的問題再嘗試突破自我思維極限。這樣的訓練使得他提高了提出新問題的能力，也加深了對原來問題的理解和掌握。

2.表達的準確性

冬令營考試題目難度大，解答都比較復雜，寫清楚問題的解答思路至關重要。有的問題解答語言文字的敘述較多，如果采用的表達方式不太合理，閱讀者會因為看不懂而造成誤解。因此要求在平時培訓的過程中注重培養(yǎng)學生的表達能力，通過復寫和重寫訓練，可以逐步培養(yǎng)學生的表達能力。所謂復寫，就是重新書寫解答，主要是指在模擬訓練結(jié)束后，學生以回憶的方式將答題紙上的解答重新書寫一遍。復寫有利于學生客觀評估和總結(jié)練習的情況，能夠優(yōu)化以后的學習。所謂新寫是重新書寫解答，這分兩個層面：一是不給出新的方法，按原來的方法，只是過程簡化，使思路更加順暢；二是給出新的方法，也就是一題多解，加深對題目的理解。具體以組合問題為例：一種方式是可以將解答“代數(shù)化”，采用恰當?shù)臄?shù)學語言，比如使用集合或者圖論的語言把因果關系表述清晰；另一種方式是將解答“組合化”，很多組合題用代數(shù)語言表達非常繁瑣，抓不到重點。此時，可以考慮畫出題目解答邏輯關系圖示的方式，用簡單的語言寫清楚問題的思路和核心步驟，在旁邊配上一些圖，通過圖示的方式說明做題的意圖，簡明扼要，重點突出。

四、關注數(shù)學強潛能學生自學能力與探索能力的培養(yǎng)——國家集訓隊培訓飛躍

中國數(shù)學奧林匹克國家集訓隊組織方是中國數(shù)學會數(shù)學競賽委員會。集訓隊考試分兩個階段，第一階段進行兩輪4天考試，選拔15人左右組成國家隊預備隊；第二輪考試仍然進行兩輪4天考試，選拔6人組成國家隊。與冬令營考試相比，集訓隊考試題目難度更大，并且考試時間更長，前后持續(xù)近一個月，因此，對學生各方面能力要求都更高。對于集訓隊學生的培訓，我們一方面要發(fā)揮學生的特長，比如有學生初等代數(shù)水平很高，那就繼續(xù)突出該優(yōu)勢，力爭能夠做出集訓隊難度的所有初等代數(shù)題；另一方面要補齊短板，對學生有欠缺的板塊進行強化，力爭使學生通過集中強化訓練能夠做出簡單或中等難度的相關問題。此外，集訓隊的培訓不能僅僅是強化訓練，由于有些集訓隊的題目源自最新的科研成果，在培訓中要注重學生自學能力和探索能力的培養(yǎng)。

1.自學能力

在有限的培訓時間里培養(yǎng)學生的自學能力是進行知識儲備的重要手段。教師可以提供給學生適當?shù)拈喿x材料，并指導學生學會自學。自學能力不僅能保證學生知識系統(tǒng)的全面性，而且對學生以后的學習和發(fā)展有很大的幫助。在自學過程中，學生充分理解數(shù)學概念、定理、公式，并及時進行小結(jié)和檢查，要循序漸進，抓住重點，不能好高騖遠。其中，閱讀是學生進行自學的核心，數(shù)學學習離不開閱讀。讀懂是閱讀的最基本要求，要理解和記憶所讀的定義、性質(zhì)和定理。熟悉定義的證明或者推理的過程，對一些經(jīng)典定理的證明方法和關鍵步驟需要深入思考，推導方法習得的思路，并嘗試考慮其他的證明方法。

具體來說，集訓隊學生需要閱讀如下幾個方面的內(nèi)容：一是教材，要閱讀一些專門的數(shù)學競賽教材，在閱讀時，要做教材中的例題，閱讀題目后的評注，厘清作者對問題的思考方式和處理這類問題的切入點；二是解答，這包括自己做出來的題目的解答，閱讀后看能不能改進和優(yōu)化，也要閱讀其他人的解答，從多角度認識所做的問題，學會相互學習；三是數(shù)學研究論文，科研論文濃縮了作者最有價值的專業(yè)成果和最有深度的數(shù)學問題，代表的是數(shù)學領域的思維制高點。學生做題太多，容易陷入只會短期思考的誤區(qū)，缺少深度思考的訓練，這不利于他們進一步發(fā)展。選取權威的科研論文進行閱讀，有利于提升學生的持續(xù)深度思考能力。

2.探索能力

解決數(shù)學難題和進行數(shù)學研究具有高度的相似性，兩者都是處理新的問題，已有的方法可能不再適用，都需要探索新的方法。解決數(shù)學難題的有效訓練是進行數(shù)學研究的基礎。波利亞指出：“思想應當在學生的腦子里產(chǎn)生出來而教師僅僅只應起一個產(chǎn)婆的作用。”1通過選擇一些有價值的問題，充分調(diào)動學生主觀能動性，進行深度的思考和探索，可以激發(fā)學生的興趣。例如：

對任意一個凸多邊形P，一個“剪角操作”是指選取P的兩條相鄰邊AB、BC，分別取出AB、BC的中點D、E，從P中裁去三角形DBE，之后對剩余的凸多邊形繼續(xù)進行這樣的操作。現(xiàn)給定面積為1的正六邊形，證明：一系列剪角操作后，剩下的凸多邊形的面積大于[23]。

2018屆的張同學在解決完這個問題后，他思考常數(shù)的最優(yōu)性，經(jīng)過長時間的思考與研究，他得到了下面的結(jié)果：

對一個面積為S的正n邊形進行剪角操作，能減去的面積不超過[251-cos2πnS]。

這是一個基于對數(shù)學題目探究得出的結(jié)論。張同學經(jīng)過不斷嘗試，逐步把上界縮小成[13，14]，最后優(yōu)化成上面的結(jié)論，這個結(jié)論的證明也比較復雜，經(jīng)過接近半年的努力，他寫了一篇高質(zhì)量的數(shù)學論文。

對學生而言，拿到一道數(shù)學問題，給出正確的解答，再進行反思，總結(jié)問題中的數(shù)學思想和方法是必要的。教師如果再引導學生將原問題做一些改變，例如對問題進行推廣、加強、變形等，就可以培養(yǎng)學生的探索能力。一個成熟的數(shù)學問題是完善的，如果改變條件或者結(jié)論就變成了開放性的問題，為了保證問題的科學性，有時需要不斷變換和調(diào)整問題的條件和結(jié)論，這會給學生帶來新的挑戰(zhàn)，需要他們勇于探索。

五、關注數(shù)學強潛能學生的心態(tài)導引與總結(jié)能力培養(yǎng)——國家隊隊員培訓主線

由于國際數(shù)學奧林匹克競爭異常激烈，參加的學生都會有心理波動，不可避免地會出現(xiàn)發(fā)揮失常的現(xiàn)象。有效緩解這種壓力，調(diào)節(jié)學生良好的心態(tài)，對于考出好成績至關重要，因此，要培養(yǎng)學生的非智力品質(zhì)，比如抗壓能力、情緒、信心、體力等。我們可以從以下幾個方面著手：

1.心態(tài)的平穩(wěn)性

考試發(fā)揮失常的一個重要的原因是考試過程中做題的狀態(tài)與自己的既定目標出現(xiàn)偏差。學生覺得自己能夠把一場考試中所有的題目都做出來，但實際上會碰到意想不到的障礙，比如第一題沒有按照預期做出來，心態(tài)就會出現(xiàn)波動甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定的情緒。考試的題目會涉及不同的內(nèi)容，學生對各部分內(nèi)容的掌握程度也是不一樣的，需要通盤考慮時間分配，在有限的考試時間內(nèi)，先找自己有思路或者最擅長的題目去突破，這樣成功的機會就大很多。如果能成功地尋找到突破口，一題在握就能穩(wěn)定心態(tài)。切忌拿到題目后，花了很多的時間解一道題也沒有做出來，導致沒有時間做其他有把握的題目，留下遺憾。2015年全國中學生數(shù)學冬令營考試第一天的第一題難度非常大，導致很多學生考得很不理想，部分平時表現(xiàn)很好的學生由于在第一題上花了太多時間也沒有做好而心態(tài)崩潰，導致第一天所有題目都沒有做出來。張同學在第一題做了一個半小時仍沒有進展的情況下果斷放棄第一題，主攻第二題，在做好第二題的情況下穩(wěn)住了心態(tài)，又回頭經(jīng)過1小時的努力做好了第一題。在第二天的考試中他順利完成三個題目，獲得了當年考試的全國第一名。

2.方法的總結(jié)性

讓學生總結(jié)解題的思維過程和解題心得，反思解題過程中的思維脈絡和知識運用，可以發(fā)現(xiàn)自己的知識漏洞，以便進行針對性的訓練和復習。經(jīng)常性的總結(jié)訓練可以鞏固技能技巧，提升概括問題和分析問題的能力。國家隊隊員一般都有豐富的解決難題的經(jīng)驗，如果在做好每個問題之后還能進行有效的總結(jié)，對于他們后續(xù)的進一步提升有很大幫助。總結(jié)的內(nèi)容不僅僅局限于特定問題的技巧、方法，一些非數(shù)學的內(nèi)容也是值得總結(jié)的，比如心態(tài)，信心等。教師可以鼓勵學生通過撰寫小論文的方式將平時學習中的心得體會、思想方法、對已有問題的再認識、對一些競賽題目解答的整理進行系統(tǒng)的總結(jié)。一方面，可以讓學生加深對已經(jīng)熟悉的知識、思想、方法的理解，另一方面，可以培養(yǎng)學生的歸納總結(jié)等綜合能力。

六、關注數(shù)學強潛能學生的持續(xù)發(fā)展與因材施策——國際數(shù)學奧林匹克升華

國際數(shù)學奧林匹克試題涉及代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合4個板塊，比賽時間是每年7月1，正式比賽分兩天，每天需要花4個半小時做3道題目，每題7分，總分42分，其中1/12左右的選手獲得金牌，2/12左右的選手獲得銀牌，3/12左右的選手獲得銅牌。國際數(shù)學奧林匹克由參賽國輪流主辦，每個國家和地區(qū)的代表隊由6名學生組成，另派1名領隊和1名副領隊。試題由各參賽國提供，由東道國組織專家組成選題委員會對這些試題進行研究和挑選，從中挑出約30道試題作為預選題，每塊各7道到8道試題，然后由每個國家的領隊組成的主試委員會討論投票表決，最終產(chǎn)生6道試題作為正式考題，東道國不提供試題。試題確定后，寫成英語、法語、德語、俄語、西班牙語這五種工作語言，各國領隊將試題翻譯成本國語言，每位學生可以選擇兩種語言的試題。

上海中學學生先后獲得14枚國際數(shù)學奧林匹克競賽金牌，他們中的絕大多數(shù)都從事數(shù)學研究或者數(shù)學相關專業(yè)。關注這些金牌學生的可持續(xù)發(fā)展，需要處理好數(shù)學競賽與大學學習的關系。實踐表明，這些學生在數(shù)學方面有特別突出的潛質(zhì)，但從事數(shù)學研究還有很漫長的學習之路，需要他們保持對數(shù)學的興趣。例如，2016屆的高同學獲得金牌后，在教師的鼓勵下開始自學高等數(shù)學并到復旦大學數(shù)學系旁聽高等數(shù)學的內(nèi)容，這為他以后去世界一流學府深造奠定了良好的數(shù)學基礎。

數(shù)學競賽作為一種全球性的群體智力活動，在發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)人才方面發(fā)揮著重要的作用。我們在培訓高中數(shù)學強潛能學生的過程中，始終貫徹高觀點、低起點的指導思想，把現(xiàn)代數(shù)學的思想滲透到系統(tǒng)而又科學的訓練過程中，以初等數(shù)學的基本要求為起點，將高等數(shù)學的觀點和思想方法貫徹到學生的日常數(shù)學學習中，開拓學生的視野，激發(fā)學生的興趣，發(fā)揮他們的巨大潛能。

Strategies for Driving the Development of High School Students with High Potential for Mathematics

WANG Guangting

（Shanghai High School，Shanghai， 200231）

Abstract： The early identification and training of high school students with strong mathematical potential are conducive to cultivating studentsinterests， which can lay a solid foundation for the follow-up cultivation of top-notch talents. Through the establishment of mathematics experimental classes and the platform of mathematics competitions， Shanghai High School （SHS） has been making remarkable achievements in cultivating many innovative talents in mathematics for the country. Based on different characteristics of mathematical competitions of different levels， SHS formulates different training programs in classroom teaching， National High School Mathematics League， winter camps， training teams， and national team training to cultivate students' different abilities at each stage and promote studentscontinuous improvement and breakthrough.

Key words： students with high potential，mathematical competitions，cultivation strategy

作者簡介：王廣廷，上海市上海中學高級教師，博士，主要從事數(shù)學奧林匹克教學研究。

1? 唐盛昌，馮志剛：《數(shù)學英才的早期識別與培育初探：基于案例的研究》，《數(shù)學通報》2011年第3期，第11-15頁。

2? 熊斌，蔣培杰：《國際數(shù)學奧林匹克的中國經(jīng)驗》，《華東師范大學學報（自然科學版）》2021年第6期，第1-14頁。

3? 馮志剛主編：《上海中學競賽課程數(shù)學（第一、二、三、四分冊）》，華東師范大學出版社2022年版。

4? 馮躍峰：《奧林匹克數(shù)學教育的理論和實踐》，上海教育出版社2006年版，第223頁。

5? 冷崗松主編：《數(shù)學競賽問題與感悟 第二卷：研究文集（上）》，華東師范大學出版社2019年版，第31-32頁。

1? 馮躍峰：《奧林匹克數(shù)學教育的理論和實踐》，上海教育出版社2006年版，第227頁。

1? 王廣廷：《一個復數(shù)不等式的命題思考》，《中等數(shù)學》2015年第10期，第8-10頁。

1? 喬治·波利亞：《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究的講授》，劉景麟，曹之江，鄒清蓮譯，內(nèi)蒙古人民出版社1981年版，第158頁。

1? 熊斌，蔣培杰：《國際數(shù)學奧林匹克的中國經(jīng)驗》，《華東師范大學學報（自然科學版）》2021年第6期，第1-14頁。