“隨機事件的獨立性”教學設計的三個著力點

黃曉琳

［摘? 要］ “隨機事件的獨立性”在新課標、新教科書、新高考中的地位顯著提高，通過六版教科書的整體框架結構、具體欄目內容的對比研讀，提煉做好“隨機事件的獨立性”教學設計的三個著力點：新知建構階段的起始點、深化認知階段的聯結點、知識應用階段的生長點．

［關鍵詞］ 事件的獨立性；教學設計；教科書對比研讀

前言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱新課標）在概率部分的內容包括隨機事件與概率、隨機事件的獨立性，對比舊課標，“隨機事件的獨立性”在新課標中的地位顯著提高，重新編寫的2019年版的教科書從2020年起在全國陸續使用，各版本教科書呼應新課標的要求，將“隨機事件的獨立性”獨立成節進行編寫． 2021年新高考Ⅰ卷單選題最后一題以獨立性的概念進行考查也進一步引導一線教師對獨立性教學的關注．

筆者選擇六版教科書（2019年版）（以下簡稱人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版、滬教版），在對比研讀的基礎上，結合教學實踐，探討獨立性教學設計應該關注的三個著力點：起始點、聯結點與生長點．

獨立性在六版教科書中的對比研讀

1． 整體框架結構的對比研讀

獨立性在六版教科書中的章節位置、正文結構、學習內容對比如表1所示.

對于章節位置，六版教科書中，除了人教A版將本節置于“概率”一章的中間外，其余五版教科書均將本節置于“概率”一章的最后一節；除了蘇教版將獨立性與互斥事件合為一節，其余五版教科書均將本節獨立成節．

對于正文結構，六版教科書均采用學生熟悉的背景設置情境，引導探究后抽象定義，其中，人教A版采用拋硬幣與摸球、人教B版采用日期選擇、北師大版采用擲骰子與摸球、蘇教版采用擲骰子、湘教版采用拋硬幣、滬教版采用拋硬幣與擲骰子；人教A版共有3個探究、3道例題、4道練習、6道習題；人教B版共有1個探究、3道例題、7道練習、13道習題；北師大版共有2個探究、1道例題、2道練習、11道習題；蘇教版共有1個探究、3道例題、2道練習、6道習題；湘教版共有1個探究、2道例題、2道練習、5道習題；滬教版共有1個探究、4道例題、3道練習、5道習題．

對于學習內容，六版教科書均有獨立性的定義、判斷與應用，主要區別在于獨立性的性質，在六版教科書中，除了蘇教版外，其余五版均涉及“對立事件的獨立性”，其中，人教A版、北師大版、湘教版、滬教版均給出了證明；除了北師大版和湘教版外，其余四版均提及n個事件的獨立性．

2． 具體欄目內容的對比研讀

（1）獨立性例題在六版教科書中的背景、類型對比如表2所示.

對于例題背景，除了滬教版有一道數學背景的證明題外，其他版本教科書的例題采用的是與學生生活有關的現實背景；對于例題類型，大部分教科書均以獨立性的應用為主，除了北師大版外，其他版本教科書均有獨立性判斷的相關例題．

例題涉及的事件類型均以獨立事件同時發生、至多一個或幾個發生、至少一個或幾個發生、恰有一個或幾個發生為主；試驗除了滬教版涉及10次外，其他版本教科書均以2次或3次為主；試驗類型除了北師大版和蘇教版沒有涉及獨立重復外，其他版本教科書均涉及獨立重復和獨立不重復兩種類型，其中蘇教版還涉及有放回與無放回背景的相同兩個事件的獨立性判斷．

（2）獨立性練習、習題在六版教科書中的背景、類型對比如表3所示.

對于練習、習題的背景，人教A版和人教B版的純數學背景的問題較多；除了判斷證明、計算概率外，人教A版有1道開放性的構造問題，人教B版與北師大版各有1道利用獨立性知識解釋“三個臭皮匠，頂個諸葛亮”的練習，滬教版有1道五局三勝制的賽制分析；除了北師大版外，其他版本教科書均有獨立、互斥、對立綜合問題．

獨立性教學設計的三個著力點

1． 新知建構階段的起始點

大家可以發現，六版教科書中獨立性的研究起點都是古典概型，從樣本空間出發，通過學生熟悉的概率計算構建獨立性新知，借鑒人教B版，將試驗由2次、3次增加到n次，為后續獨立重復試驗做鋪墊；借鑒蘇教版，在兩個事件不變的前提下，改變試驗方案，通過有放回、無放回，進一步感知形式化判斷獨立性的科學性與重要性．

2． 深化認知階段的聯結點

獨立性學習難點需要在聯系中進行突破，借鑒人教A版、人教B版的處理方式，聯系集合交、并、補的運算，結合上一節和事件概率算法，從演繹的角度探究“A，B獨立，則對立事件，亦獨立”以及“互斥、對立、獨立之間的聯系”，通過邏輯推理，在聯系集合、和事件的基礎上深化對獨立性的認識．

3． 知識應用階段的生長點

除了北師大版外，其他版本教科書的獨立性應用的問題背景均同時涉及獨立重復與獨立不重復，借鑒滬教版，設計n局m勝制比賽為背景的問題，通過改變勝率、賽制體會概率變化、規則變化，進一步感受獨立性分析的價值與意義．