學理、明理、說理,在法則教學中滲透“素養”目標

周蕾

摘 要：在計算法則教學過程中，教師應該以學生的已有知識儲備為基礎，幫助學生內化法則，明確算理的規定由來，建立法則之間的通道，滿足學生在規則學習過程中的明理需求.達到這一目標，需要創設合理的教學情境，設計任務目的明確的問題.本文以有理數乘法法則教學中符號確定規則的理解為例，展示通過情景設置，問題推動的方式促使學生思考并理解算法的來源，學會算法的表述，主動將新的計算要素加入到已有的算理結構中的過程.

關鍵詞：算理教學；核心素養；有理數乘法法則

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）的頒布正式宣告了以核心素養為導向，推動基礎教育課程由學科立場向教育立場轉型的要求，即以學生的發展需求來安排課程教學，并將培養素養作為教學的一貫性目標.以計算法則教學為例，學習者只有產生通過計算來解決問題的需求，才需要找到對應的法則來進行計算，而是否能夠準確快速地找到法則，則是由學習者是否理清了各種法則間的關系脈絡決定的.因而，教師對法則的教學過程應該關注算理的前后關聯，即為學理；明晰算理的規定由來，即為明理；說清算理的內容本質，即說理，才能幫助學習者正確內化法則，并讓內化過程充滿數學的規則和意識，才能使數學素養的提升成為學習過程的必然結果.

數學計算作為貫穿數學學習過程的“大血管”，作為所有數學知識的粘合劑，是所有知識學習最基礎的需求.初中學生在進行運算及其法則學習時，本質需求是知道“為什么這樣算”，因而教師不能將“會計算”作為唯一的教學目標，而應該考慮學生從小學開始積累的所有運算知識，能夠帶領學生探索從“非負數計算”到“有理數計算”的發展，感知因數域擴充帶來的法則擴展的必然性.教學內容的選擇與環節安排應實現“不單純介紹概念”的要求，通過合適情境、合適問題讓學生思考并理解算法的來源，學會算法的表述，主動將新的計算要素加入到已有的算理結構中，生成新的知識聯系.下面以蘇科版教材數學七年級上冊2.6節有理數的乘法和除法（第1課時）設計為例，討論以上設想的實現.

1 內容分析

1.1 教材背景

蘇科版教材數學七年級上冊2.6有理數的乘法和除法（第1課時）內容是有理數的乘法法則教學，有理數乘法法則的學習建立在已經掌握理解有理數加減運算的基礎上，也是后續學習有理數除法、乘方運算的知識儲備.

通過學習，要求學生掌握有理數的乘法法則，理解算理，進一步培養學生的“符號意識”，發展運算與推理能力.

1.2 學生背景

“應當根據學生已有的知識去準備教學”（美，奧蘇貝爾）.學生在小學階段已經了解了一些有理數的知識，同時，學生通過“有理數相關概念”“有理數加減法”的學習，經歷了“數域擴充”，“在實際情境中體會運算”，“抽象歸納表述加減法則”的過程，積累了一定的學習經驗，具備了探究乘法法則的能力.

在課堂教學開始之前，班級大部分學生通過課外學習或自學對有理數的乘法法則有所了解，符號規則“同號得正、異號得負”耳熟能詳.但是，大部分學生不僅無法解釋此規則的合理性，而且缺乏基本的質疑與探究.他們對法則的理解，僅僅完成了“模仿套用”的步驟.

2 目標設定

《標準》要求加強“數與代數”中代數推理能力的培養，在教學中這一要求可以體現為“能夠形成由特殊到一般的探究思路，理解代數推理的基本要求，培養數學邏輯表述的習慣”.通過對法則的探究，讓學生經歷“觀察—發現—質疑—思考—說理（表達）”的過程，實現在教學中貫穿數學核心素養的目標.

根據以上思考，本節課的教學目標如下：

（1） 熟練掌握有理數乘法法則，發展運算能力；

（2） 經歷由實際中抽象算式的過程，發展抽象能力；

（3） 感受質疑過程，理解邏輯推理的必要性，初步掌握推理的形式與規則，發展推理能力與意識.

3 教學實施

3.1 問題引入，承上啟下

問題1：填空：（1） 4+4+4+4+4=____.

（2） （-4）+（-4）+（-4）+（-4）+（-4）=____.

師：上面的加法算式能轉化為其他類型的運算嗎？

生：可以用乘法表達，4+4+4+4+4=4×5、（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+（-4）=（-4）×5.

師：這兩種運算什么關系？

生：小學學過，相同數連續相加的簡便運算就是乘法.

師追問：小學學過的應該是非負數的乘法，那在有理數范圍內會有哪些類型的兩數相乘？

生1：正數×正數，負數×正數 這兩個就是上面兩個算式的類型.

生2：負數×負數，0×正數，0×負數.

生3：正數×負數，正數×0，負數×0.

生4：前面兩個說的是一回事，不就是乘法交換律嘛.

師再問：同意4的說法嗎？

討論：法則與運算律的關系.

師歸納：使用乘法交換律的基礎是乘法法則在有理數范圍內成立，不能顛倒.所以，我們先來討論如何在有理數范圍內進行乘法運算.有理數的運算包含了以上8種類型的數相乘.

【設計意圖】通過加法引出乘法，體現乘法定義的一貫性，明確運算之間的關系.要求學生分類說明有理數乘法的類型，延續加法法則教學的基本步驟，培養學生的數學分類意識，也是正確“說理”的基本，體現法則教學模式的一貫性.

“能否用乘法運算律來說明法則的合理性”的問題討論可以讓學生明確說理的規則，理解說理的邏輯順序，邏輯正確是正確說理的基礎.

3.2 情境設置，探究算理

試著填一填，說說你是如何得到結果的：

① 4×5=________；

② （-4）×5=________；

③ （-4）×（-5）=_________.

生1：①是小學學過的乘法，①②就等于剛才的加法算式結果.可以用有理數的加法法則來運算.③的結果是20，我預習了乘法法則，利用法則我可以直接算這3個式子.

師：那你能解釋一下是怎么利用法則來運算的嗎？

生1：負負得正，然后絕對值相乘.

追問：③ 好像不能表達為加法運算了，所以同學們說用乘法法則，那這個法則為什么這樣定呢？能說一說嗎？

生1：說不清楚，好像就是這樣定的

【設計意圖】通過加法引出乘法，可以利用加法法則計算某些類型的乘法，但是遇到負數與負數相乘學生就會感到有困難，于是轉向直接使用乘法法則.“學理”的過程好像提前完成了，但卻沒有“明理”.使用乘法法則只是模仿，“說理”才能真正“明理”，于是就引出了“負負得正”的合理性討論.

提出問題的能力和質疑的意識是數學的基本素養，大部分學生預習運算法則后按法則進行運算都不思考來由和算理.單純的模仿后再運算的學習模式導致學生學習動機不足，讓計算法則教學顯得枯燥而蒼白.提出一些“寫答案”之外的問題，讓學生發現知識的空白點，引發討論和思考.

師：數學是講道理的，規定也要合理才行.大家看看怎么能理解這是個合理的規定.

生：模仿前面學習加減法那樣通過實際情境來理解？

師：2022年南京遭遇“史上最熱”的夏天.玄武湖、石臼湖、固城湖等湖泊、水庫水位變化明顯.為了表示水位變化情況，我們規定水位上升為正，水位下降為負；幾天后為正，幾天前為負.

（1） 分別說出①②③表達的實際意義.

（2） 進行以下計算.

4×5=________（-4）×5=________

4×4=________（-4）×4=________

4×3=________（-4）×3=________

4×2=________（-4）×2=________

4×1=________（-4）×1=________

4×0=________（-4）×0=________

師：你發現了什么規律？說具體一點.

生，討論回答：同一列的算式一個因數不變，另一個在不斷變小，所以積也在隨之變化.左邊的一列從上到下積依次減少4，從20減少到0.右邊的一列從上到下積依次減少-4，也就是變大4，從-20增加到0.

（3） 能用剛才發現的規律來確定下面這些算式的結果嗎？

4×（-1）=________（-4）×（-1）=________

4×（-2）=________（-4）×（-2）=________

4×（-3）=________（-4）×（-3）=________

4×（-4）=________（-4）×（-4）=________

4×（-5）=________（-4）×（-5）=________

師：很好，大家發現的這個規律從積的變化上就能夠解釋剛才法則里說的“負負得正”的合理性了.

【設計意圖】合理的實際情境引出各種類型的有理數乘法算式，再根據實際意義寫出運算結果，便于學生理解運算結果的正確.同時利用固定一個因數，設定另一個因數變化的一組算式，讓學生看到隨著因數符號的變化，積的符號變化的規律，回答前面“負負得正”的規定的合理性的.

（2）（3）兩組算式之間插入發現規律的探索過程，是為了避免學生根據乘法法則直接填寫結果，在明確規律變化后引導學生按規律填寫結果，讓學生看到積由正變負的必然性，通過表述規律理解“負負得正”的合理性.這部分在蘇科版教材呈現方式基礎上做了修改，讓課堂討論和問題生成更加合理和必要.

3.3 提煉法則，依理計算

師：上面兩列算式包含了我們歸納的有理數乘法的幾個類型了嗎？

生：再補0×4=________，0×（-4）=_________.

師：根據以上算式，說說兩個有理數相乘如何確定積的符號和絕對值.

生1：符號這樣定：

正數×正數＞0，負數×正數＜0，負數×負數＞0，正數×負數＜0，0×正數=0，0×負數=0，正數×0=0，負數×0=0.

絕對值：因數的絕對值相乘得積的絕對值.

生2：太復雜了，符號分三類吧，同號得正，異號得負，與0相乘都得0.

師：板書乘法法則.

【設計意圖】經歷了前面的討論，抽象出有理數乘法法則，完成了從實例到法則的提煉，完成了理解乘法法則的目標.表述法則時，引導學生類比加減法法則，分為符號、絕對值兩部分來確定積的值，并根據符號異同進行再次分類，強化數域擴充后的符號意識，培養學生的分類、類比能力，體會數學語言的科學和精煉.這些過程都是在培養學生的邏輯說理基本能力.

例1 計算下列各式.

例2 回答以下問題.

（1） 若ab＞0，請判斷a、b兩數的符號；

（2） 若ab＞0，a+b＞0，請判斷a、b兩數的符號；

（3） 若ab＞0，a+b＜0，請判斷a、b兩數的符號；

（4） 若ab＜0，a+b＞0，請判斷a、b兩數的符號.

練習2 從-7，-4，-2，3，9，0中任選兩數相乘，乘積最大的一組是哪兩個數？最小呢？

【設計意圖】熟練運用法則進行計算，是“明理”的檢驗.進行有理數乘法，學生需要對符號與絕對值分別做判斷，這與小學里乘法運算只需考慮單方面問題不同，在處理過程上難度翻倍，打破了原有的運算習慣，需要通過訓練逐步熟悉并熟練，同時固化符號判斷意識.例1與練習1是各種類型的有理數相乘；例2難度較大，涉及到加法、乘法算理的逆向使用、混合運用；練習2考察了有理數范圍內的乘法法則及數的大小比較，部分學生的“最小數”意識仍停留在0上.例2與練習2的解答過程要求學生能夠逐步使用規范的邏輯語言進行“說理”.

4 小結思考，合情推廣

問題1：有理數的乘法法則：與加減法法則探索過程、結論有何異同？

問題2：根據你的學習經驗，對有理數乘法的學習還有本節課沒有探索的內容嗎？

【設計意圖】從特殊到一般再由一般到特殊，學生通過對比、發現、歸納獲得寶貴的數學研究經歷，積累發現問題、解決問題、發現新問題的經驗.通過不同法則的類似研究過程類比，感受到運算之間的聯系，激發學生的學習動機，引發合理的后續學習需求.

5 反思感悟

有理數的乘法運算作為培養學生在數域擴充后建立“數感”和“符號意識”的重要教學內容，在教學時常會出現教師不重視算理卻覺得不影響學生記住運算法則的情況，這與教學目標的設定、特別是教師對《標準》要求的理解有關.法則學習是“學理”，但“學理”的目的不僅僅是為了操作，它的本質需求是“明理”，“說理”則可以用來驗證是否“明理”，三個目標環環相連，又互為印證.

本節課的設計把“有理數乘法”放在整個運算體系里，依托學生已有知識經驗提出問題，通過課堂活動讓學生明白“法則”的前后聯系與發展脈絡.“負負得正”的合理性探索激發學生的質疑能力，觸發學習動機，讓學生分類討論、抽象算式、總結規律、歸納法則，培養邏輯表達能力.讓學生能夠“明理”“說理”，感受邏輯的嚴謹，由此才完成“學理”.

核心素養是在長期的教學過程中逐漸形成的，課堂的每一個環節、每一個問題都要對應到一定的課程目標中，才能完成《標準》提出的“素養”培養目標.這就要求“計算法則”的教學要脫離“單純介紹概念、模仿套入計算”的枯燥學習模式.教師只有構建合理的情境，才能真正幫助學生理解概念、法則；使用邏輯推理對數學結論進行說理或驗證，才能培養學生的推理意識、能力；讓學生接觸規范的推理語言、規則，才能幫助學生獲得用“數學的眼光觀察、用數學的思維思考、用數學的語言表達”的能力.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.