高考全國卷中二項式定理常見題型分析

施睿 王天志

摘 要：二項式定理是高考的高頻考點，常以選擇題或填空題的形式考查，主要考點為求展開式特定項系數和常數項.該類問題相對來說比較獨立，解法靈活.本文主要通過分析近八年高考全國理科卷，明確二項式定理的考查題型、類型、核心考點以及分值，進一步為學生掌握二項式定理相關問題指明方向.

關鍵詞：二項式；二項式定理；特定項系數

二項式定理是人教A版數學教材選擇性必修第三冊第六章第三節的內容，屬于選擇性必修主題三：概率與統計.教材（文中的教材均指人教A版數學教材）主要詳細講解了二項展開式的通項公式和二項式系數的性質.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）中要求學生要能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.因此，二項式定理的考查主要以容易和中等難度的試題為主.

1 近八年的考情分析

根據教材中關于二項式定理的例題和習題，本文將常見二項式的類型分為：標準型、乘積型、推廣型和加法型.標準型：形如（a+b）ⁿ（n∈N）就稱為標準型；乘積型：含二項式定理的多項式的積式，形如（a+b）ⁿ（c+d）^m（n，m∈N）；推廣型：本文中推廣型特指三項式，形如（a+b+c）ⁿ（n∈N）；加法型：含二項式定理的多項式的和式，形如（a+b）^m+（a+b）^m+1+（a+b）^m+2+…+（a+b）ⁿ（n，m∈N）.其中，最常見的是標準型和乘積型.

為了研究二項式定理在高考中的考查情況，本文主要統計分析了2015—2022年的全國高考卷（理科），共25套高考卷（包括2015年全國Ⅰ卷和全國Ⅱ卷、2016—2020年全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷和全國Ⅲ卷、2021—2022年全國甲卷和全國乙卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷）.統計分析25套高考卷中的二項式定理的考查題型，二項式類型、核心考點和分值（表1）.

如表1所示，近八年的高考除了2021年沒有考查二項式定理外，其余七年均有涉及.涉及題型以選擇題和填空題為主，分值都是5分，主要考查二項式的標準型和乘積型，推廣型只在2015年全國Ⅰ卷中出現了一次，而加法型在近八年全國理科卷中并沒有出現.高考全國卷主要以求展開式特定項系數和展開式常數項為核心考點.

2 回歸教材分析真題

回歸教材，可發現近八年的高考真題均能在教材中可以找到“原型”，教材中大多都是標準型，求標準型的展開式、特定系數和常數項的習題；乘積型在教材中出現了兩次，分別在教材34頁復習鞏固第2題和教材38頁綜合應用第5題（1） ，都考查了展開式中特定項的系數；推廣型在教材中出現了兩次，分別在教材38頁綜合應用第5題（5） 和（6），都考查了展開式中特定項的系數.此外，教材中還出現加法型的練習，在教材34頁復習鞏固1（1）和教材38頁拓廣探索第9題，都考查了展開式中特定項的系數.教材中的大部分習題都以考查展開式中特定項系數和常數項為主，與高考考查的核心知識一致.

4 結 語

基于以上的分析，可以考慮在二項式定理專題復習時制定如下的復習計劃：

（1） 回歸教材，分析真題.通過真題的分析比較，能發現真題的“原型”幾乎都來源于教材.將真題整理、歸類，得出常考的考點與未考查過的考點，針對常考的知識點要著重講解，讓學生完全理解以及掌握其解題方法；針對沒有考查過的知識點也不能忽視，至少需要學生掌握，對教材中所涉及的知識點進行全方位的復習；

（2） 考點分析，明確重點.二項式定理的相關知識在高考中十分常見，雖然所占分值不高，但這一類題都屬于難度偏低或中等的題，對絕大部分學生來說是不應該失分的.與其口頭強調二項式定理的重要性，不如將近幾年關于二項式定理的核心考點以及分值等信息整理成表格直觀呈現，引起學生的重視，進一步明確二項式定理的重難點知識；

（3） 分析學情，因材施教.在正式進入復習階段前，制作一份測試卷，讓學生在不查閱教材的前提下完成.其目的是了解學生之間的個體差距，同時讓學生意識到自己的知識漏洞，教師也可以根據學生的格個體差異，調整復習進度和內容，針對不同層次的學生，設計不同的學案，實現因材施教，符合學生身心發展的規律；

（4） 制定目標，精選例題.將考點細分，針對每一個小的知識點給不同層次的學生制定相應的復習目標.同時，給不同層次的學生挑選相應的例題，為滿足所有學生的需求，設置必做題和選做題.

教材中關于二項式定理的內容并不多，主要是二項式定理和二項式系數的性質，二項式定理可以解決求特定項系數和常數項等問題，而二項式系數的性質可以解決求二項式系數最值和二項式系數和等問題.雖然，在近八年的全國卷中均未考查過二項式系數的性質，但仍需要引起學生的注意與重視.