數(shù)學(xué)建模教學(xué)：從問(wèn)題提出到知識(shí)運(yùn)用

鄭瑄

摘 要：杭州市阮洲奕老師上的一節(jié)題為“用吸管演奏樂(lè)曲”的數(shù)學(xué)課，開(kāi)場(chǎng)生動(dòng)，收尾升華，中間用環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題鏈，一步一步地引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)據(jù)擬合建立吸管長(zhǎng)度與所吹音調(diào)的函數(shù)模型，完成用吸管演奏奏樂(lè)曲的任務(wù)。由此得到關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的一些啟示：?jiǎn)栴}提出要真實(shí)自然、綜合開(kāi)放，過(guò)程探究要從感性經(jīng)驗(yàn)上升到理性思考，知識(shí)運(yùn)用要打破學(xué)科的界限。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；吸管奏樂(lè)；數(shù)據(jù)擬合；學(xué)科融合

近期，筆者參加了一個(gè)專題教研活動(dòng)，聽(tīng)了杭州市阮洲奕老師上的一節(jié)題為“用吸管演奏樂(lè)曲”的數(shù)學(xué)課。課上，阮老師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)據(jù)擬合建立吸管長(zhǎng)度與所吹音調(diào)的函數(shù)模型，完成用吸管演奏樂(lè)曲的任務(wù)。這節(jié)課使筆者受到了一些觸動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施有了更深的感悟。下面，先以欣賞的態(tài)度展現(xiàn)這節(jié)課的主要教學(xué)過(guò)程，再?gòu)慕虒W(xué)啟示的角度談?wù)劰P者的感悟。

一、 教學(xué)過(guò)程欣賞

（一） 出人意表的開(kāi)場(chǎng)

課始，大屏幕上出現(xiàn)五線譜，其上翻騰著各種音符。筆者和學(xué)生一樣滿懷好奇和期待，遐思翩躚：數(shù)學(xué)課怎么出現(xiàn)了樂(lè)譜？理性的數(shù)學(xué)與感性的音樂(lè)有什么關(guān)系？

“我們先來(lái)欣賞一段音樂(lè)。閉上眼睛，用心感受。”阮老師話音剛落，一股旋律流淌而出。如此，師生共同了進(jìn)入一個(gè)音樂(lè)的磁場(chǎng)。

“好聽(tīng)嗎？大家猜一猜：這段音樂(lè)是用什么樂(lè)器來(lái)演奏的呢？”學(xué)生猜測(cè)紛紜：笛子？排簫？卡祖笛？管風(fēng)琴？……

“其實(shí)，這段音樂(lè)是用老師手中這根小小的吸管演奏的。”阮老師展示手中的吸管。學(xué)生驚嘆：哇哦！真沒(méi)想到！這是真的嗎？

緊接著，阮老師提出一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)：“今天，我們就試著用吸管演奏樂(lè)曲。”

（二） 引人入勝的進(jìn)程

挑戰(zhàn)性任務(wù)的提出出乎學(xué)生意料，那么，任務(wù)的完成如何引導(dǎo)學(xué)生入勝？阮老師通過(guò)環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題鏈，一步一步地在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”搭建適切的學(xué)習(xí)支架，提供適當(dāng)?shù)慕忸}線索，讓學(xué)生拾級(jí)而上，逐漸確定變量、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、收集數(shù)據(jù)、建立模型，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決音樂(lè)問(wèn)題——特別是第四個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生完成從定性到定量（從感性到理性）的飛躍。教學(xué)進(jìn)程就在教師的發(fā)問(wèn)、追問(wèn)與學(xué)生的思考、實(shí)踐、討論、分享中逐漸展開(kāi)——

師 （出示問(wèn)題1）

吸管怎樣才能演奏音樂(lè)？

生 首先要能發(fā)出聲音，然后要能吹出不同的音調(diào)。

師 （出示問(wèn)題2）

要吹出不同的音調(diào)，這又與哪些因素相關(guān)呢？

生 （眾說(shuō)紛紜）

與空氣流速有關(guān)；與吸管的長(zhǎng)度有關(guān)；與吸管的厚度有關(guān)；與吹氣的力度有關(guān)；與振動(dòng)的頻率有關(guān)……

師 同學(xué)們的想法都很值得研究。今天，我們就先把問(wèn)題聚焦到音調(diào)與吸管長(zhǎng)度之間的關(guān)系上，看看長(zhǎng)度改變了，音調(diào)到底會(huì)不會(huì)發(fā)生改變。（出示問(wèn)題3）

改變吸管的長(zhǎng)度，能吹出不同的音調(diào)嗎？有沒(méi)有同學(xué)愿意來(lái)試一試？

（兩位學(xué)生自告奮勇，上臺(tái)合作，一個(gè)剪、一個(gè)吹。大家發(fā)現(xiàn)：吸管剪得越短，吹出的音調(diào)越高。）

師 ?（出示問(wèn)題4）

要想吹出中音la，應(yīng)該使用長(zhǎng)度為多少的吸管呢？

（學(xué)生陷入沉思之中。）

師 今天，我們就利用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決這個(gè)音樂(lè)的問(wèn)題。不妨回想剛才的實(shí)踐嘗試——當(dāng)吸管長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，音調(diào)也隨之發(fā)生變化。在數(shù)學(xué)中，我們會(huì)聯(lián)想到什么知識(shí)呢？（出示問(wèn)題5）

在數(shù)學(xué)中，我們?nèi)绾窝芯績(jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系？

生 （異口同聲）

利用函數(shù)。

師 對(duì)啊！長(zhǎng)度和音調(diào)就是上述過(guò)程中的兩個(gè)變量，而函數(shù)正是數(shù)學(xué)中刻畫(huà)兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。（出示問(wèn)題6）

用函數(shù)來(lái)研究，具體應(yīng)怎么做？

生 先收集數(shù)據(jù)，再建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出圖像，看看圖像長(zhǎng)什么樣兒。

師 那么，要收集哪些數(shù)據(jù)呢？

生 要測(cè)量吸管的長(zhǎng)度和用吸管吹出的音調(diào)。

生 在科學(xué)中，音調(diào)可以用振動(dòng)頻率來(lái)表示，所以，測(cè)量音調(diào)就是測(cè)量振動(dòng)頻率。

師 接下來(lái)，阮老師就帶領(lǐng)同學(xué)們一起收集數(shù)據(jù)。我們利用專業(yè)的聲學(xué)軟件（App）Phyphox測(cè)量振動(dòng)頻率。取一根吸管，吹出穩(wěn)定的波形時(shí)，軟件就會(huì)顯示出對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率，這樣就可以得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)。

（師生合作收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)果如表1所示。）

師 觀察表中數(shù)據(jù)，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生 隨著吸管長(zhǎng)度的增加，它的振動(dòng)頻率逐漸降低，即它的音調(diào)慢慢變低。

師 為了更直觀地表示這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，大家有什么方法？

生 可以在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，然后用光滑曲線連接，畫(huà)出圖像。

師 好，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手，在自己的學(xué)案紙上畫(huà)一畫(huà)這個(gè)函數(shù)的圖像。

（學(xué)生畫(huà)圖。）

師 觀察圖像，你認(rèn)為可以用什么函數(shù)來(lái)刻畫(huà)這兩個(gè)變量之間的關(guān)系？

生 我認(rèn)為它更接近于一個(gè)反比例函數(shù)。

師 其實(shí)，同學(xué)們畫(huà)的圖會(huì)存在一定的誤差。我們可以用現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)更精準(zhǔn)地?cái)M合這個(gè)函數(shù)。請(qǐng)同學(xué)們?cè)谄桨咫娔X上把所有的數(shù)據(jù)輸入老師提供的數(shù)據(jù)擬合軟件中。

（學(xué)生輸入數(shù)據(jù)后，軟件自動(dòng)完成描點(diǎn)。師生先用一次函數(shù)模型試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)很多點(diǎn)都不能落在一條直線上；再用反比例函數(shù)模型試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)點(diǎn)都落在一條反比例函數(shù)的曲線上。最后，計(jì)算機(jī)擬合出了這個(gè)反比例函數(shù)模型：f=86610/l。）

師 再回到剛才的問(wèn)題4——要想吹出中音la，應(yīng)該使用長(zhǎng)度為多少的吸管呢？這個(gè)問(wèn)題其實(shí)就變成已知反比例函數(shù)的某個(gè)函數(shù)值，求相應(yīng)自變量值的簡(jiǎn)單計(jì)算問(wèn)題了。當(dāng)然，先要利用“音調(diào)振動(dòng)頻率表”查出中音la的振動(dòng)頻率f=880Hz，從而可以算出吸管的長(zhǎng)度l=984mm。（稍停）

現(xiàn)在，阮老師要布置用吸管演奏樂(lè)曲的具體任務(wù)了——請(qǐng)各小組合作，根據(jù)樂(lè)譜吹奏莫扎特的樂(lè)曲《小星星》。（出示問(wèn)題7）

七人小組要完成《小星星》的演奏，具體應(yīng)該做？

（教師出示表2，提供完成任務(wù)的方法。各個(gè)小組開(kāi)始活動(dòng)，進(jìn)入井然有序、忘我專注的狀態(tài)。）

師 這真的是阮老師聽(tīng)過(guò)的最動(dòng)人、最獨(dú)特的《小星星》了。

（教師引導(dǎo)學(xué)生回顧梳理整個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，得到圖1；體悟數(shù)學(xué)與音樂(lè)千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，得到下頁(yè)圖2。）

師 從古至今，數(shù)學(xué)與音樂(lè)一直是相輔相成的。2500年前，畢達(dá)哥拉斯第一次發(fā)現(xiàn)了音樂(lè)和數(shù)學(xué)的關(guān)系；中國(guó)古代通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算研究音律；萊布尼茨認(rèn)為音樂(lè)是一種隱藏的數(shù)學(xué)練習(xí)；傅立葉發(fā)現(xiàn)聲波是一種周期函數(shù)；而我們熟悉的音樂(lè)家貝多芬、肖邦、柴可夫斯基等，常用他們腦海中的曲線來(lái)譜曲。

（三）? 動(dòng)人心弦的尾聲

這是一個(gè)令人動(dòng)容的尾聲。素昧平生的師生，45分鐘的一節(jié)課，人生際遇中短短的緣聚，何為教育？筆者以為，衡量教育是否真正發(fā)生以及是否真正起到作用最真誠(chéng)的標(biāo)準(zhǔn)，是看其有沒(méi)有激活和點(diǎn)燃學(xué)生的心靈，有沒(méi)有讓學(xué)生感知、感悟和感動(dòng)。

師 同學(xué)們通過(guò)整節(jié)課的學(xué)習(xí)有什么感受和體會(huì)？

生 阮老師今天帶領(lǐng)我們經(jīng)歷了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。我們平時(shí)都是先學(xué)函數(shù)，再到應(yīng)用；而今天是先從生活中找音樂(lè)的應(yīng)用，再回到數(shù)學(xué)中去找原理。真的很新穎、很神奇！

生 通過(guò)這節(jié)課，我知道數(shù)學(xué)還可以運(yùn)用到生活中，可以與音樂(lè)相結(jié)合；感覺(jué)數(shù)學(xué)不只是紙上的運(yùn)算，還是生活，有一種美麗的感受。

生 通過(guò)阮老師剛才舉出的那些古今中外名人軼事，我們知道，可以將數(shù)學(xué)運(yùn)用在音樂(lè)中，也就是將數(shù)學(xué)運(yùn)用于創(chuàng)造。阮老師這節(jié)課讓我感覺(jué)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，使我更加熱愛(ài)生活，熱愛(ài)數(shù)學(xué)。

生 在這節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們?yōu)榱搜芯繑?shù)學(xué)與音樂(lè)的關(guān)系，用到了平板電腦等電子設(shè)備，還用了聲學(xué)軟件來(lái)測(cè)量聲音的振動(dòng)頻率等。這使我感受到科技的力量，現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)能夠有效幫助我們學(xué)習(xí)、研究。

生 這節(jié)課，我們一直在通過(guò)數(shù)學(xué)的美，彰顯音樂(lè)的韻律美。其實(shí)，我們還可以發(fā)散發(fā)聯(lián)想。比如，笛子、葫蘆絲都是通過(guò)開(kāi)孔，運(yùn)用氣流的振動(dòng)來(lái)發(fā)出聲音的。所以，我們小組在討論的過(guò)程中，就從中汲取靈感，模仿其原理，在吸管上挖了很多的孔，制作了一種樂(lè)器。

（教師表?yè)P(yáng)了這個(gè)小組的創(chuàng)舉，也提出了意見(jiàn)：開(kāi)孔太大，手捂不住。大家都快樂(lè)地笑出了聲。）

生 這節(jié)課教給我們，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不只是枯燥地掌握知識(shí)點(diǎn)，枯燥地“刷題”，單純地應(yīng)付考試，更要將數(shù)學(xué)與生活結(jié)合。即教會(huì)了我們一種新的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，也讓我們體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。所以，非常感謝您！

生 這節(jié)課剛開(kāi)始的時(shí)候，我完全想象不出數(shù)學(xué)與音樂(lè)究竟有什么關(guān)系，相信大多數(shù)同學(xué)也是一樣的感覺(jué)吧。但是，阮老師帶領(lǐng)我們一起探究，通過(guò)普通的吸管，讓音樂(lè)與數(shù)學(xué)進(jìn)行了一個(gè)大大的碰撞。而且，小組同學(xué)之間討論得也很歡快，有一種在玩中學(xué)的感覺(jué)。然后，我還想問(wèn)阮老師：數(shù)學(xué)源于生活，但也要回到生活，那么今天從吸管中學(xué)到的原理是否也可以用到其他東西上呢？

師 這個(gè)問(wèn)題提得非常好！也就是說(shuō)，我們能不能用今天學(xué)習(xí)的方法制作其他樂(lè)器？而且，改變樂(lè)器的載體后，剛才建立的反比例函數(shù)模型是否還適用？我們也許需要重新選擇函數(shù)模型，但是，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和研究方法是一脈相承的。實(shí)際上，這位同學(xué)也很好地說(shuō)出了阮老師今天想給大家布置的作業(yè)——請(qǐng)每個(gè)小組運(yùn)用不同的載體自制一個(gè)樂(lè)器，然后全班開(kāi)一場(chǎng)不一樣的音樂(lè)會(huì)。到時(shí)候，記得發(fā)視頻給阮老師看哦。今天的課就上到這里。謝謝！

二、 教學(xué)啟示感悟

（一） 問(wèn)題提出：真實(shí)自然、綜合開(kāi)放

阮老師的課從本質(zhì)上看，是帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了一次完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。其實(shí)，初中數(shù)學(xué)教材中不乏要求學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的例子。比如，浙教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)《5.5一次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用》的例1：

生物學(xué)家測(cè)得7條成熟的雄性鯨的全長(zhǎng)y和吻尖到噴水孔的長(zhǎng)度x的數(shù)據(jù)如表3所示。問(wèn)：能否用一次函數(shù)刻畫(huà)x和y這兩個(gè)變量的關(guān)系？如果能，請(qǐng)求出這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式。

同樣是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，兩者的區(qū)別何在？筆者以為，教材舉的例子離學(xué)生的現(xiàn)實(shí)甚遠(yuǎn)，而且數(shù)據(jù)的來(lái)源是提供式的，沒(méi)有讓學(xué)生理解測(cè)量這些數(shù)據(jù)的意義是什么。而阮老師課例中提出的問(wèn)題貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，是真實(shí)自然的、有趣好玩的，富有吸引力，能夠培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的意識(shí)和能力；而且，是綜合開(kāi)放的、結(jié)構(gòu)不良的，充滿挑戰(zhàn)性，能讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全部過(guò)程。類似的例子還有“跑道上的數(shù)學(xué)問(wèn)題”：何為400米標(biāo)準(zhǔn)半圓式跑道？如何畫(huà)出400米、800米分道跑的起跑線？……

數(shù)學(xué)建模的開(kāi)端和關(guān)鍵是提出需要通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決的有價(jià)值的問(wèn)題。作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)，提出這樣的問(wèn)題，需要在司空見(jiàn)慣的生活場(chǎng)景中、在錯(cuò)綜復(fù)雜的學(xué)科情境中，用敏銳的數(shù)學(xué)眼光捕捉到有關(guān)的現(xiàn)象，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的問(wèn)題（任務(wù)）。其中蘊(yùn)含著一系列心理活動(dòng)：直覺(jué)——萌芽；關(guān)注——方向；醞釀——形成；理解——關(guān)系；提出——內(nèi)心認(rèn)定其有很好的生長(zhǎng)趨勢(shì)。因此，教師不僅要具備這樣的意識(shí)和能力，而且要培養(yǎng)學(xué)生提出數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的意識(shí)和能力。

（二） 過(guò)程探究：從感性經(jīng)驗(yàn)上升到理性思考

中央電視臺(tái)《是真的嗎》欄目，曾經(jīng)播出過(guò)一個(gè)關(guān)于吸管奏樂(lè)的節(jié)目。節(jié)目中，主持人向觀眾展示了一位網(wǎng)友提供的吸管長(zhǎng)度數(shù)據(jù)，然后用按照如此長(zhǎng)度制作的吸管吹出了音準(zhǔn)很好的美妙音樂(lè)。這里展示的結(jié)果就是阮老師這節(jié)課帶領(lǐng)學(xué)生探究的問(wèn)題。這個(gè)結(jié)果最初是怎么得到的呢？

當(dāng)然，可以經(jīng)過(guò)多次剪切、試音，從而非常接近音準(zhǔn)，再將數(shù)據(jù)記錄下來(lái)。這種基于經(jīng)驗(yàn)的感性認(rèn)知能夠帶來(lái)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，古往今來(lái)勞動(dòng)人民用這樣的方法發(fā)現(xiàn)了大量知識(shí)，創(chuàng)造了大量財(cái)富。阮老師這節(jié)課也讓學(xué)生從感性認(rèn)知出發(fā)展開(kāi)探索：課始讓學(xué)生欣賞用吸管吹奏的樂(lè)曲，課中讓學(xué)生嘗試用吸管吹奏樂(lè)曲。

但若擁有數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就可以用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維去思考，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)，從而進(jìn)入理性研究的層面，高效地探尋精確的規(guī)律。正如阮老師這節(jié)課帶領(lǐng)學(xué)生做的：收集數(shù)據(jù)→借助技術(shù)→畫(huà)出圖像→計(jì)算機(jī)擬合→數(shù)學(xué)模型→回歸生活→解決問(wèn)題。

總體而言，對(duì)好的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的探索應(yīng)該經(jīng)歷一個(gè)從感性經(jīng)驗(yàn)上升到理性思考的過(guò)程。這也符合“大膽假設(shè)，小心求證”這一科學(xué)研究的一般范式。

（三） 知識(shí)運(yùn)用：打破學(xué)科的界限

何珊云教授多次提到要“打破學(xué)科的界限”。她舉過(guò)這樣一個(gè)例子：你覺(jué)得“環(huán)游世界”會(huì)是一門(mén)什么課？大多數(shù)人的回答是“地理課”。而真實(shí)的學(xué)校課程（英國(guó)小學(xué)三年級(jí)）涉及11個(gè)學(xué)科，并以不同學(xué)科與環(huán)游世界的關(guān)聯(lián)作為學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)任務(wù)。

阮老師這節(jié)課亦然，不僅涉及數(shù)學(xué)和音樂(lè)，還涉及物理、材料、信息技術(shù)等學(xué)科。回顧阮老師這節(jié)課，其實(shí)學(xué)生在回答教師的問(wèn)題時(shí)，呈現(xiàn)出了科學(xué)的思考——吸管奏樂(lè)可能與空氣流速有關(guān)、與振動(dòng)頻率有關(guān)，只是阮老師沒(méi)有及時(shí)捕捉回應(yīng)，抑或因?yàn)椴辉谄漕A(yù)設(shè)中而忽略了。如果阮老師能對(duì)這些課堂生成給予適當(dāng)?shù)年P(guān)注，引導(dǎo)學(xué)生課后展開(kāi)自然而然的、能力所及的探究，那么這節(jié)課的教學(xué)價(jià)值將得到更充分的發(fā)揮。這也是我們?cè)跀?shù)學(xué)建模教學(xué)中應(yīng)該特別注意的。

數(shù)學(xué)建模通常是基于問(wèn)題和學(xué)習(xí)（problembased learning，簡(jiǎn)稱PBL）或基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)（projectbased learning，也簡(jiǎn)稱PBL）。其受到重視的根本原因就在于，我們生活的世界是一個(gè)復(fù)雜的世界，它是由無(wú)數(shù)問(wèn)題、無(wú)數(shù)知識(shí)相互交織在一起的。其中的問(wèn)題并不都是良構(gòu)的，而常常是跨界的；知識(shí)是由問(wèn)題引發(fā)的，其學(xué)科劃分常常是人為的；沒(méi)有跨界的“相輔”，就不易達(dá)成研究的“相成”。要培養(yǎng)學(xué)生的批判精神、創(chuàng)新意識(shí)、獨(dú)特思想，以適應(yīng)當(dāng)下與未來(lái)的現(xiàn)實(shí)，教育就要發(fā)生改變：讓學(xué)生不僅學(xué)習(xí)單一學(xué)科的知識(shí)，而且體驗(yàn)更加真實(shí)而廣闊的世界。當(dāng)然，這對(duì)教師的要求頗高，需要教師通過(guò)修煉從專才向通才轉(zhuǎn)型；對(duì)學(xué)生而言，也會(huì)在學(xué)習(xí)過(guò)程中感悟到學(xué)好數(shù)學(xué)以外其他學(xué)科的重要性。

進(jìn)一步來(lái)看那些獲得偉大成就的人：阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，還是百科式的科學(xué)家；弗朗西斯·培根是英國(guó)文藝復(fù)興時(shí)期的散文家、哲學(xué)家，也是實(shí)驗(yàn)科學(xué)、近代歸納法的創(chuàng)始人；伯特蘭·羅素是英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家、歷史學(xué)家，更是諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)的獲得者……人為的學(xué)科劃分將世界割裂成若干個(gè)區(qū)域、若干個(gè)條塊，但是整個(gè)世界的整體聯(lián)系是真實(shí)存在的。學(xué)科的經(jīng)緯愈分明，離教育的本質(zhì)也愈偏遠(yuǎn)。跨界無(wú)痕的學(xué)習(xí)，才是教育的本來(lái)面目。