對有理數和無理數定義的教學思考

李寒月

摘 要：初中教學教材中，關于有理數與無理數的定義存在范疇不統一，無法體現其對立性的問題，這致使一線教師在教學時產生困惑。基于無理數的定義，從“外延”的角度，提出有理數的“新定義”，從而實現“有理數”和“無理數”的對立與統一。在此基礎上，給出這一內容的部分教學設計。

關鍵詞：初中數學；有理數；無理數；對立統一

蘇科版初中數學教材把有理數和無理數的概念編排在一課時（《2.2有理數與無理數》），許多教師教學這部分內容時都感覺到別扭。何以如此？因為教材中關于有理數的定義是“能夠寫成分數形式mn（m、n是整數，n≠0）的數叫作有理數”，而關于無理數的定義是“無限不循環小數叫作無理數”。我們都知道，“有理數”和“無理數”就像“正數”與“負數”一樣，是一個范疇（實數）內兩個相對立的概念。“比0大的數叫正數”“比0小的數叫負數”。“比0大”“比0小”這些字眼，能讓我們清晰地能感受到，“正”與“負”是在與同一個對象0相比較后，形成的相對立的兩個概念。而反觀上述有理數和無理數的定義，就很難感受到這種“對立性”，甚至感到兩個定義表達的概念不在一個范疇內。這不免令人困惑。而要弄清這個問題，得從無理數的發現說起。

一、 無理數的發現與證明

據相關文獻記載，無理數最早是由古希臘畢達哥拉斯學派發現的。畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”，即所有的事物都可以用整數或兩個整數的比來表示。通俗地說就是，世界上的數都是有理數。但是，學派中有一個名叫希帕索斯的人卻發現，正方形的對角線長與邊長的比就無法用兩個整數的比來表示。在當時的背景下，這一發現對該學派的哲學信仰造成了巨大的沖擊，希帕索斯甚至為此付出了生命的代價。最終，無理數的發現引發了第一次數學危機。

事實上，無理數與有理數一樣是客觀存在的，亞里士多德在其著作中用反證法證明了2是無理數：

［設計意圖：在學生按正負性把所給的數分好類后，啟發學生進行二級分類，通過統一它們的“樣子”，引導學生將所有的數都化成小數，從而使所給數在形式上達到統一，為接下來按小數來分類做好充分的準備。］

任務三：抽象概括

引導學生概括有理數和無理數的定義：把有限小數和無限循環小數叫作有理數，把無限不循環小數叫作無理數。

［設計意圖：帶領學生通過前面的觀察、計算、分類、歸納，抽象概括出有理數和無理數的定義，從而實現“有理數”和“無理數”在小數范疇內的對立統一。］

參考文獻：

［1］ 歐幾里得.幾何原本［M］.蘭紀正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學技術出版社，2020：224363.

［2］ 史寧中.數學思想概論（第1輯）——數量與數量關系的抽象［M］.長春：東北師范大學出版社，2008：95100.