選修4—4、4—5 試題精選

■河南省扶溝縣第二高級中學 陳立爭

1.在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:mx+y-2m=0(m∈R)。以平面直角坐標系的坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4(cosθ+sinθ)。

(1)求直線l的極坐標方程和圓C的一個參數方程;

(1)求曲線C1的極坐標方程;

(2)設曲線C1與曲線C2交于M,N兩點,若,求曲線C2的直角坐標方程。

(1)求曲線C1,C2的極坐標方程;

(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程;

(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的參數方程;

(2)若點P在曲線C上,當點P到直線l的距離最大時,求點P的直角坐標。

(1)求半圓C的參數方程和直線l的直角坐標方程;

(1)若m=2,a=1,求不等式f(x)≤15的解集;

(2)當m=1時,證明:f(x)≥4。

10.已知正數a,b,c滿足a3b3+b3c3+c3a3+abc=4。

(1)求證:0＜abc≤1;

11.已知函數f(x)=|x+1|+|x-2|。

(1)求不等式f(x)＞6的解集;

(2)若關于x的不等式f(x)≥x2+m的解集包含[0,4],求實數m的取值范圍。

12.已知函 數f(x)=|x+2|-m,m∈R,且f(x)≤0的解集為[-3,-1]。

(1)求m的值;

13.已知函數f(x)=|2x+a|+|x-1|。

(1)若a=4,求不等式f(x)＜6的解集;

(2)若f(x)≥a2-|x-1|對任意的x∈R 恒成立,求a的取值范圍。

14.已知a,b,c均為正實數,且abc=1。證明:

15.已知函數f(x)=|x-2|+|x-4|,若不等式f(x)≥kx(k＞0)恒成立。

(1)求k的最大值k0;

(1)求不等式f(x)≤4x+7的最小整數解m;

參考答案：

又a,b,c為正數,所以abc＞0,所以0＜abc≤1。

(2)由題意知,當x∈[0,4]時,|x+1|+|x-2|≥x2+m恒成立。

若0≤x＜2,則x+1+2-x≥x2+m,即m≤-x2+3恒成立,此時-1＜-x2+3≤3,所以m≤-1;

若2≤x≤4,則x+1+x-2≥x2+m,即m≤-x2+2x-1恒成立,此時-x2+2x-1=-(x-1)2在[2,4]上的最小值為-9,所以m≤-9。

綜上可得,m的取值范圍為(-∞,-9]。

13.(1)若a=4,則f(x)=|2x+4|+|x-1|＜6。

當x＜-2 時,不等式化為-2x-4-(x-1)＜6,解得-3＜x＜-2;

當-2≤x≤1 時,不等式化為2x+4-(x-1)＜6,解得-2≤x＜1;

當x＞1時,不等式化為2x+4+x-1＜6,無解。

綜上可得,不等式f(x)＜6 的解集為(-3,1)。

(2)由f(x)≥a2-|x-1|得a2≤|2x+a|+|2x-2|。因為|2x+a|+|2x-2|≥|(2x+a)-(2x-2)|=|a+2|(當且僅當(2x+a)(2x-2)≤0時,等號成立),又因為a2≤|2x+a|+|2x-2|對任意的x∈R 恒成立,所以a2≤|a+2|。

當a+2≤0,即a≤-2時,有a2≤-a-2,即a2+a+2≤0,此不等式無解;

當a+2＞0,即a＞-2時,有a2≤a+2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2。

綜上可得,a的取值范圍為-1≤a≤2。

14.(1)因為a,b,c都為正整數,且abc=1,所以,當且僅當a=b=c=1時,等號成立。

15.(1)當x≤2時,f(x)=2-x+4-x=6-2x;

當2＜x＜4時,f(x)=x-2+4-x=2;

當x≥4時,f(x)=x-2+x-4=2x-6。

由此可得函數f(x)的圖像,如圖1所示。

圖1

若f(x)≥kx(k＞0)恒成立,則由圖像可知,當y=kx過點(4,2)時,k取 得最大值k0,且