極坐標系解題的優(yōu)劣之小議

■四川省綿陽實驗高級中學 李小俠

在整個高中數(shù)學知識的學習中,極坐標雖然作為高考的選考內(nèi)容之一,但是由于它相對比較簡單,因此,在考試時很多同學都會選擇極坐標一題。本文就極坐標的作用及優(yōu)劣勢做一些總結(jié),以便同學們在學習和考試中能少走些彎路。

一、極坐標方程與直角坐標方程的互化

例1已知極坐標系的極點與平面直角坐標系的原點重合,極軸與x軸的非負半軸重合,在極坐標系中,若直線l的極坐標方程為

(1)求直線l的直角坐標方程;

評注:對于同學們來說,只要把平面直角坐標和極坐標互化的公式記住,一般情況下,解答知一求另一的題目都不成問題。

二、求兩條曲線的交點問題,直角坐標與極坐標的優(yōu)劣對比

解析：(1)法一:先將曲線C2與曲線C3的極坐標方程化為直角坐標方程,聯(lián)立方程,解出交點坐標即可。

法二:可以直接聯(lián)立曲線C2與曲線C3的極坐標方程,解出交點的極坐標形式,然后化為直角坐標即可。知,它們還有一個交點是極點(0,0),所以用極坐標聯(lián)立求解就很容易漏解或增解,因此,需通過圖像進行補漏,所以兩條曲線的交點的極坐標為(0,0)和,化為直角坐標為(0,0)和

圖1

(2)將曲線C1化為極坐標方程,分別與曲線C2,C3的極坐標方程聯(lián)立,解出點A,B的極坐標,利用兩點間的距離公式進行計算,結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式化簡得最大值。

評注:通過該題我們不難發(fā)現(xiàn),如果題目告訴的全是極坐標方程,求的也是極坐標方程,那么我們用極坐標方程聯(lián)立求解即可,比化成直角坐標方程求解后再化回來要簡單得多。如果告訴的是極坐標方程,求的是直角坐標方程,那么我們從一開始就化成直角坐標方程進行聯(lián)立求解,一是大多數(shù)同學比較熟悉直角坐標方程,二是可以避免出現(xiàn)漏解或增解的問題。但無論采取哪種方法求解,都必須注意范圍限制,必要時可以依賴圖形避免失誤。

評注:像本題這種有范圍限制的話,直接用極坐標方程聯(lián)立求解曲線交點問題就比較方便,而用直角坐標方程聯(lián)立就要繞一個大圈,因此兩種方法各有優(yōu)劣,我們應(yīng)根據(jù)題目的已知來選取合適的方法。

三、依據(jù)極坐標系中極徑和極角的幾何意義求解題目

例4過 極 點O作 圓C:ρ=8cosθ的弦ON,求ON的中點M的軌跡方程。

解法一：由題得圓C的直角坐標方程為(x-4)2+y2=16,所以圓心坐標為(4,0),半徑為4。在極坐標系中作出圓C的圖像,如圖2 所示,圓心C（4,0 ）,半徑,連接CM,因為M為弦ON的中點,所以CM⊥ON,所以M在以O(shè)C為直徑的圓上。此時可以直接寫出極坐標方程,也可以先寫出直角坐標方程再化成極坐標方程。故動點M的軌跡方程是ρ=4cosθ（ρ≠0）。因為題中說有弦ON存在,所以要有條件限制ρ≠0。

圖2

解法二：把圓的極坐標方程化為直角坐標方程為x2+y2=8x,設(shè)中點M(x,y),由于M為ON的中點,所以N(2x,2y),而N點在圓上,代入圓的方程得(2x-4)2+4y2=16,再化為極坐標方程,可得動點M的軌跡方程為ρ=4cosθ（ρ≠0）。同樣要有限制條件ρ≠0。

評注:本題主要考查動點的軌跡方程,以及極坐標和直角坐標的互化,重要的是結(jié)合圖形,翻譯出動點的幾何意義,無論用哪種坐標系寫出動點的軌跡方程都比較簡單,意在考查同學們對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力。

(1)求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程;

評注:本題的第二問如果用平面直角坐標方程來求解,先要把極坐標化為直角坐標,然后聯(lián)立求解,還要用到距離公式,才能算出三角形的面積。如果根據(jù)極徑和極角的幾何意義,先聯(lián)立極坐標方程,求出兩點的極坐標,再根據(jù)三角形的面積公式即可解決問題,公式中的邊長由極徑來擔任,公式中的角度由OA,OB兩條極徑之間的極角之差來解決,這道題目就顯得非常簡單。

總之,我們在遇到有關(guān)極坐標中的邊角問題時,要有意識地往極坐標上去想,而不能覺得平面直角坐標系熟悉,一味地往平面直角坐標上面轉(zhuǎn)化,總想用自己熟悉的思想方法去解決問題,結(jié)果反而使問題復雜化。