含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用

■江蘇省東臺(tái)中學(xué) 戴向梅

含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是處理相關(guān)的含有絕對(duì)值問(wèn)題的一個(gè)重要工具,對(duì)于一些涉及絕對(duì)值的不等式的求解、證明及應(yīng)用等都有一定的效能。

一、不等式的求解

例1(2022 年陜西省寶雞市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(三))已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|2x-m|(m∈R)。

(1)若m=-1,求f(x)≤2的解集;

(2)若f(x)≤|x+1|的解集包含[1,2],求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析：(1)若m=-1,則f(x)=|x-1|+|2x+1|≤2。

(2)由題意可知,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),不等式f(x)≤|x+1|恒成立,即x-1+|2x-m|≤x+1恒成立,即|2x-m|≤2 恒成立,即-2≤2x-m≤2恒成立,即2x-2≤m≤2x+2恒成立,解得2≤m≤4,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[2,4]。

點(diǎn)評(píng):求解含有絕對(duì)值的不等式時(shí),最常用的方法就是零點(diǎn)分段法或分段函數(shù)法,借助分離零點(diǎn)進(jìn)行分類討論,或借助分段函數(shù)表示進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,都可以達(dá)到求解含有絕對(duì)值的不等式的目的。涉及含有絕對(duì)值的不等式的求解,也是選修中不等式選講部分最?？嫉幕绢}型之一。

二、不等式的證明

例2(2022 年河南省大聯(lián)考高考數(shù)學(xué)三模試卷)已知函數(shù)f(x)=|x-4m|+

(1)若m=1,求不等式f(x)＞7 的解集。

當(dāng)x≤-1 時(shí),-2x+3＞7,解得x＜-2;

當(dāng)-1＜x＜4時(shí),5＞7,顯然不成立;

當(dāng)x≥4時(shí),2x-3＞7,解得x＞5。

綜上可得,不等式f(x)＞7 的解集為(-∞,-2)∪(5,+∞)。

點(diǎn)評(píng):證明含有絕對(duì)值的不等式,關(guān)鍵是借助含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)加以正確放縮處理,并結(jié)合不等式的性質(zhì)、基本不等式或柯西不等式等加以綜合與應(yīng)用。證明不等式的常見(jiàn)方法與技巧往往滲透其中,起到引領(lǐng)與連接的作用。

三、最值的確定

例3(2022 年河南省新鄉(xiāng)市高考數(shù)學(xué)三模試卷)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。

(1)求不等式f(x)≤5的解集;

(2)若f(x)的最小值為m2+2n2,證明:

解析：(1)由f(x)≤5,得|x-1|+|x+2|≤5。

當(dāng)x≤-2 時(shí),由1-x-x-2≤5,得x≥-3,所以-3≤x≤-2;

當(dāng)-2＜x＜1時(shí),由1-x+x+2≤5,得3≤5,所以-2＜x＜1;

當(dāng)x≥1時(shí),由x-1+x+2≤5,得x≤2,所以1≤x≤2。

綜上可得,不等式f(x)≤5 的解集為[-3,2]。

點(diǎn)評(píng):綜合含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì),可以很好地確定一些相關(guān)不等式的最值,為問(wèn)題的求解或進(jìn)一步應(yīng)用提供條件。借助含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮處理,合理消參,為確定函數(shù)的最值提供方向與技巧。

四、恒(能)成立問(wèn)題的解決

例4(2022 年廣西柳州市高考數(shù)學(xué)三模試卷)已知函數(shù)f(x)=|x+a|-|x+a2|(a∈R)。

(1)若a=2,求不等式f(x)＜x的解集;

(2)若?x∈R,?a∈[0,2],使得f(2x)＞m能成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析：(1)若a=2,則f(x)=|x+2|-|x+4|＜x。

①當(dāng)x＜-4時(shí),可得-x-2+x+4＜x?x＞2,此時(shí)x∈?;

②當(dāng)-4≤x＜-2 時(shí),可得-x-2-x-4＜x?x＞-2,此時(shí)x∈?;

③當(dāng)x≥-2時(shí),可得x+2-x-4＜x?x＞-2,此時(shí)x＞-2。

綜上可得,不等式f(x)＜x的解集為(-2,+∞)。

(2)依題意,f(2x)＞m?|2x+a|-|2x+a2|＞m,又由于|2x+a|-|2x+a2|≤|2x+a-2x-a2|=|a-a2|,故|a-a2|＞m,令函數(shù)g(a)=|a-a2|,a∈[0,2],畫出函數(shù)g(a)的圖像,如圖1 所示,結(jié)合函數(shù)g(a)的圖像,可知g(a)max=g(2)=2,則有m＜2,所以m的取值范圍為(-∞,2)。

圖1

點(diǎn)評(píng):綜合含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì),對(duì)相關(guān)的函數(shù)或不等式進(jìn)行必要的放縮與變形處理,為解決一些不等式的恒(能)成立問(wèn)題奠定基礎(chǔ),實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的合理交匯與融合,特別是不等式與函數(shù)、方程等相關(guān)知識(shí)的交匯與應(yīng)用等。

結(jié)合含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|及其相關(guān)應(yīng)用,在不等式的求解、不等式的證明及綜合應(yīng)用等方面,都能起到很好的作用。同時(shí)巧妙融入函數(shù)與方程思想、分類討論思想等,通過(guò)正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算,巧妙的邏輯推理,實(shí)現(xiàn)綜合與應(yīng)用的目的。