聚焦核心素養科學精確備考
——不等式選講備考建議

■陜西省漢中中學 來麗娟

不等式選講為高考選考內容之一,近幾年高考全國卷主要考查絕對值不等式的求解、不等式證明的基本方法(比較法、綜合法、分析法等),以及根據給定條件求參數的取值范圍、用基本不等式研究代數式的最值等問題,交匯考查集合的概念、絕對值的概念、函數的概念、函數的圖像與性質、二次不等式、基本不等式等內容。隨著新課標的實施,對同學們的運算求解能力、分類討論和數形結合等數學思想方法的運用,以及邏輯推理、數學運算等核心素養都有考查。難度中等偏易,是同學們容易突破的一道題目。本文結合實例,將從不等式選講部分?？伎枷蚝徒忸}方法進行探析,希望能給同學們的復習備考提供一定的幫助。

題型一、絕對值不等式的求解

當右移至圖像過點B(-1,6)時,a=5。

結合圖像可知,實數a的取值范圍為[-4,5]。

圖1

題型二、不等式的證明問題

1.比較法證明不等式

例2已知函數f(x)=|2x+1|。

(1)求不等式f(x)＜x+2的解集M;

(2)若a?M,b∈M,證明:|1-ab|≤|a-b|。

2.綜合法證明不等式

總結：綜合法的思路是“由因尋果”,即從“已知”推導出已知的“性質”,從而逐步推向“未知”。利用綜合法證明不等式時應注意:(1)要著力分析已知與求證、不等式的左右兩端的差異與聯系,進行合理轉換,恰當選擇已知不等式,這是證明的關鍵。(2)在利用不等式的性質和基本不等式時,要注意性質成立的前提條件。

3.分析法證明不等式

總結：分析法的思路是“執果索因”,即從所要證明的“結論”入手,向已知條件反推,直至達到“已知條件”為止。利用分析法證明不等式時應注意:(1)證明的依據是不等式的基本性質、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論。(2)從要證的不等式出發,逐步尋求使它成立的充分條件,最后得到的條件是已知(或已證)的不等式等。(3)恰當地運用好“要證”“只需證明”“即證明”等詞語,否則就不是分析法。

題型三、絕對值不等式性質的應用

例5已知x,y,z是正實數,且3x+y+4z=9。

題型四、絕對值不等式的綜合應用

(1)若a=2,求不等式f(x)＞1的解集;

當x≥2 時,f（x）=3＞1 恒成立,所以x≥2;

當-1＜x＜2時,由f（x）=2x-1＞1,解得x＞1,所以1＜x＜2;

當x≤-1時,>f（x）=-3＞1無解。

總結：不等式恒成立問題或存在性問題都可以轉化為最值問題解決:(1)恒成立問題轉化方法:f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a;f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a;(2)存在性問題轉化方法:f(x)＞a有解?f(x)max＞a;f(x)＜a有解?f(x)min＜a。

預計2023年高考全國卷第23題仍會考查含絕對值不等式的求解方法,以及利用基本不等式等證明和處理恒成立或有解問題,結合導數或函數的圖像與性質求參數取值范圍等。繼續注重考查數學運算、邏輯推理、數學抽象、直觀想象等核心素養,以及分類討論、化歸與轉化、運算求解等能力,建議同學們在復習備考階段所選試題可以重點突出上述內容。