絕對值不等式中求參數范圍問題的常見題型及分類解析

■陜西省漢中市四〇五學校 侯有岐

絕對值函數和絕對值不等式是《不等式選講》中的重要內容,也是高考數學選考題中常考的對象。絕對值不等式中求參數范圍的題目,通常與基本不等式、絕對值三角不等式、柯西不等式等知識點相結合。這類題型有助于考查同學們的推理能力、探索能力和批判性思維能力,也有利于培養同學們的創新意識和綜合素質,具有一定的區分度,深受命題者的青睞。本文對絕對值不等式中求參數范圍問題的常見題型進行分類解析,供讀者參考。

一、利用絕對值三角不等式求參數范圍

例1設函數f(x)=|2x-1|-|a-1|(a∈R)。

(1)當a=-1 時,求不等式f(x)＞|x+1|的解集;

(2)若存在x0使得不等式f(x0)＞2|x0+1|成立,求實數a的取值范圍。

解析：(1)若a=-1,則不等式f(x)＞|x+1|?|2x-1|-2＞|x+1|。

當x＜-1 時,不等式化為-2x+1-2＞-x-1,解得x＜0,所以x＜-1;

(2)不等式f(x0)＞2|x0+1|?|a-1|＜|2x0-1|-2|x0+1|。因為存在x0使得不等式f(x0)＞2|x0+1|成立,則存在x0使得不等式|a-1|＜|2x0-1|-2|x0+1|成立,而|2x0-1|-2|x0+1|=|2x0-1|-|2x0+2|≤|(2x0-1)-(2x0+2)|=3,當且僅當|2x0-1|≥|2x0+2|,且(2x0-1)(2x0+2)≥0,即x0≤-1時,等號成立。

因此|a-1|＜3,解得-2＜a＜4。

所以實數a的取值范圍為(-2,4)。

二、利用零點分段法及數形結合求參數范圍

例2設函數f(x)=|x-2|+|x+1|。

(1)求f(x)的最小值及取得最小值時x的取值范圍;

(2)若集合{x|f(x)+ax-1＞0}=R,求實數a的取值范圍。

當x＜-1時,f(x)=-2x+1＞3;當x＞2時,f(x)=2x-1＞3。所以f(x)的最小值為3,且f(x)取得最小值時x的取值范圍為[-1,2]。

(2)因為{x|f(x)+ax-1＞0}=R,所以對任意的x∈R,f(x)＞-ax+1恒成立。

令g(x)=-ax+1,其圖像為過點P(0,1),斜率為-a的一條直線,如圖1所示。

圖1

因為f(x)＞g(x),所以-2＜-a＜1,即-1＜a＜2。

所以實數a的取值范圍為(-1,2)。

三、利用絕對值三角不等式與基本不等式求參數范圍

例3已知f(x)=|x-1|+|x+a|。

(1)當a=2 時,求y=f(x)與y=6 所圍成的封閉圖形的面積;

(2)若對于任意的x∈R,都存在y∈(1,+∞),使得(y-1)f(x)≥y2+3 成立,求a的取值范圍。

分別畫出y=f(x)與y=6 的圖像,如圖2所示。當f(x)=6時,有x=-3.5或x=2.5,由圖像可得,圍成的封閉圖形為等腰梯形,上底長為3,下底長為6,高為3,則所求封閉圖形的面積為(3+6)×3=13.5。

圖2

(2)f(x)=|x-1|+|x+a|≥|1-x+x+a|=|1+a|,當且僅當(x-1)(x+a)≤0時,等號成立。

因為對于任意的x∈R,都存在y∈(1,+∞),使得(y-1)f(x)≥y2+3 成立,所以,當且僅當y=3時,等號成立,所以|1+a|≥6,解得a≤-7或a≥5,故a的取值范圍為(-∞,-7]∪[5,+∞)。

點評:求解對任意的x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)≥g(x2)成立的問題,可將其轉化為求解f(x)min≥g(x)min的問題。在利用基本不等式求最值時,要注意“一正、二定、三相等”這三個條件缺一不可,具體應用時,對二定條件不滿足的形式需要變形配湊。另外,除配湊法外,我們還需要根據所給題目的已知與目標式子的變量結構特征進行分析,選擇不同的策略,如分離轉化法、拆項法、消元法、換元法、轉換構造法、“1”的整體代換法等。無論采用哪種策略方法,其目的只有一個,那就是構造出和為定值或者積為定值的兩項,然后才可以使用基本不等式,這是用基本不等式解決最值問題的根本所在。

四、利用絕對值三角不等式和多次使用均值不等式求參數范圍

例4已知f(x)=|x+4|-|x-m|。

(1)若m=2,求f(x)＜m的解集;

(2)若a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,對任意的x∈R,(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2≥f(x)恒成立,求實數m的取值范圍。

解析：(1)因為m=2,所以f(x)=|x+4|-|x-2|＜2。

當x≥2時,(x+4)-(x-2)＜2,無解;

當-4＜x＜2時,(x+4)-(2-x)＜2,解得x＜0,所以-4＜x＜0;

當x≤-4時,(-x-4)-(2-x)=-6＜2恒成立,所以x≤-4。

綜上可得,f(x)＜m的解集為{x|x＜0}。

(2)(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2≥4ab+4ac+4bc=4 (ab+ac+bc)≥,當且僅當a=b=c,ab=bc=ac,即a=b=c=1時,等號成立。

由對任意的x∈R,(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2≥f(x)恒成立,可得f(x)=|x+4|-|x-m|≤|4+m|≤12,當且僅當|x+4|≥|x-m|,且(x+4)(x-m)≥0時,等號成立。

故實數m的取值范圍為[-16,8]。

點評:求解對任意的x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)≥g(x2)成立的問題,可將其轉化為求解f(x)min≥g(x)max的問題。在求多變量函數的最值時,只要保證等號成立條件相同的情況下,可以多次利用基本不等式求最值,然后再解不等式求參數范圍。

五、利用等價轉化法求參數范圍

例5已知函數

(1)當a＞0時,求f(x)的單調區間;

(2)若不存在正數a,使得不等式f(x)＜0對任意的x∈(0,1]恒成立,求實數b的取值范圍。

(2)先求存在正數a,使得不等式f(x)＜0對任意的x∈(0,1]恒成立時實數b的取值范圍。

當b≥0時,對任意的x∈(0,1],不等式f(x)≥0恒成立,不滿足題意。

點評:本題第(2)問屬于“不存在性”問題,當直接求解符合題意的參數范圍比較困難時,可以考慮利用命題與命題的否定之間的邏輯關系,采用“正難則反”的方法,先求使命題的否定成立時對應參數的范圍,再取其補集即可,這樣可以簡化解題思維與解答過程,從而達到化繁為簡的目的。

總之,關于絕對值不等式中求參數范圍的問題不僅僅局限于這些方面,更多的內容是涉及函數的相關知識,如單調性、最值等,但其基本解題思路都是:去掉絕對值符號,轉化為一般的不等式求解。轉化的策略方法一般有:零點分段、數形結合、絕對值三角不等式、均值不等式、柯西不等式等。以上內容僅供同學們學習時參考,多熟悉其中轉化的思想方法,多領會其中的相關技巧。