數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地了嗎
——兼評《折線統(tǒng)計圖》一課

文|劉 松（特級教師）

在一次工作室日常研修活動中，有教師提問：“眾所周知，小學(xué)學(xué)習(xí)的折線統(tǒng)計圖屬于統(tǒng)計與概率領(lǐng)域內(nèi)容。但有一種觀點說，統(tǒng)計不屬于數(shù)學(xué)，這該如何理解？”對此，筆者曾經(jīng)也有類似的困惑。其實，關(guān)于數(shù)學(xué)與統(tǒng)計的關(guān)系，在學(xué)術(shù)界爭論了很久。現(xiàn)在，許多大學(xué)把數(shù)學(xué)和統(tǒng)計都列為一級學(xué)科，似乎已經(jīng)很明白地表達了兩者間的關(guān)系。2005年，美國國家科學(xué)獎獎?wù)芦@得者布拉德利·埃弗隆曾撰文用圖示清晰地表達了統(tǒng)計學(xué)與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系（如圖）。對我們小學(xué)教師而言，需要明白的是，統(tǒng)計學(xué)當(dāng)然不是（純粹）數(shù)學(xué)，甚至都不是應(yīng)用數(shù)學(xué)。可是統(tǒng)計學(xué)和數(shù)學(xué)是有交集的，但又不是包含關(guān)系。數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)的交集部分一般我們統(tǒng)稱為數(shù)理統(tǒng)計。數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學(xué)的一個分支，分為描述統(tǒng)計和推斷統(tǒng)計。它以概率論為基礎(chǔ)，研究大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。描述統(tǒng)計的任務(wù)是搜集資料，進行整理、分組，編制次數(shù)分配表，繪制次數(shù)分配曲線，計算各種特征指標(biāo)，以描述資料分布的集中趨勢、離中趨勢和次數(shù)分布的偏斜度等。推斷統(tǒng)計是在描述統(tǒng)計的基礎(chǔ)上，根據(jù)樣本資料歸納出的規(guī)律性，對總體進行推斷和預(yù)測。很顯然，中小學(xué)階段學(xué)習(xí)的統(tǒng)計與概率領(lǐng)域內(nèi)容屬于數(shù)理統(tǒng)計的范疇。

再來看看不同版本的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，關(guān)于統(tǒng)計與概率部分的相關(guān)要求與表述。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2001年版）》中，有六大核心詞，統(tǒng)計觀念位列其中。關(guān)于統(tǒng)計觀念的解釋為：主要表現(xiàn)在能從統(tǒng)計的角度思考與數(shù)據(jù)信息有關(guān)的問題；能通過收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程作出合理的決策，認(rèn)識到統(tǒng)計對決策的作用；能對數(shù)據(jù)的來源、處理數(shù)據(jù)的方法，以及由此得到的結(jié)果進行合理的質(zhì)疑。

第二學(xué)段相關(guān)的知識與技能目標(biāo)是：經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程，掌握一些數(shù)據(jù)處理技能。在本學(xué)段中，學(xué)生將經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程，進一步學(xué)習(xí)收集、整理和描述數(shù)據(jù)的方法，并根據(jù)數(shù)據(jù)分析的結(jié)果作出簡單的判斷與預(yù)測。在教學(xué)中，應(yīng)注重所學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系；應(yīng)注重使學(xué)生有意識地經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程，根據(jù)數(shù)據(jù)作出簡單的判斷與預(yù)測，并進行交流。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標(biāo)”）中，六大核心詞擴充為十個，其中統(tǒng)計觀念改稱為數(shù)據(jù)分析觀念，具體內(nèi)涵包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先作調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊含著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面，對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心。

第二學(xué)段具體知識技能目標(biāo)為：經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理和分析的過程，掌握一些簡單的數(shù)據(jù)處理技能。認(rèn)識條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖；能用條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖直觀且有效地表示數(shù)據(jù)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）提出了11 個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中，2011年版中的數(shù)據(jù)分析觀念分成了兩段。小學(xué)階段稱之為數(shù)據(jù)意識，主要是指對數(shù)據(jù)的意義和隨機性的感悟。知道在現(xiàn)實生活中，有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，感悟數(shù)據(jù)蘊含的信息；知道同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，而只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律；知道同一組數(shù)據(jù)可以用不同方式表達，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方式。形成數(shù)據(jù)意識有助于理解生活中的隨機現(xiàn)象，逐步養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話的習(xí)慣。初中階段稱之為數(shù)據(jù)觀念，具體內(nèi)涵是：數(shù)據(jù)觀念主要是指對數(shù)據(jù)的意義和隨機性有比較清晰的認(rèn)識。知道數(shù)據(jù)蘊含著信息，需要根據(jù)問題的背景和所要研究的問題確定數(shù)據(jù)收集、整理和分析的方法；知道可以用定量的方法描述隨機現(xiàn)象的變化趨勢及隨機事件發(fā)生的可能性大小。形成數(shù)據(jù)觀念有助于理解和表達生活中隨機現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，感知大數(shù)據(jù)時代數(shù)據(jù)分析的重要性，養(yǎng)成重證據(jù)、講道理的科學(xué)態(tài)度。

縱觀前后二十年，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于數(shù)據(jù)觀念內(nèi)涵表述的變化，我們似乎可以明白一些道理。比如，為什么2011、2022年版課標(biāo)中都不再提統(tǒng)計觀念了？顯然，上述工作室研修活動時教師的提問和這個問題有一定關(guān)系。因為，如果統(tǒng)計學(xué)和數(shù)學(xué)并列，那么統(tǒng)計觀念就不僅僅是數(shù)學(xué)這一門學(xué)科努力的方向。既然中小學(xué)階段學(xué)習(xí)的統(tǒng)計與概率內(nèi)容主要屬于數(shù)理統(tǒng)計的范疇，那么，數(shù)據(jù)分析觀念自然就成了核心。所以，2011年版課標(biāo)中不提統(tǒng)計觀念了，但在解釋數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵時，特意強調(diào)了：數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）（以下簡稱“高中數(shù)學(xué)課程”）中，數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象并列為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一。數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng)。數(shù)據(jù)分析過程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進行推斷，獲得結(jié)論。數(shù)據(jù)分析是研究隨機現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)方法，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)深入到科學(xué)、技術(shù)、工程和現(xiàn)代社會生活的各個方面。數(shù)據(jù)分析主要表現(xiàn)為：收集和整理數(shù)據(jù)，理解和處理數(shù)據(jù)，獲得和解釋結(jié)論，概括和形成知識。通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升獲取有價值信息并進行定量分析的意識和能力；適應(yīng)數(shù)字化學(xué)習(xí)的需要，增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，形成通過數(shù)據(jù)認(rèn)識事物的思維品質(zhì)，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗。

很顯然，高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中提到的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對信息進行分析、推斷，獲得結(jié)論。特點：針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中有用的信息進行分析和推斷，最終形成知識的過程。步驟：主要包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息，然后構(gòu)建模型并對信息進行分析、推斷，最終獲得結(jié)論。作用：數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)能夠有效提高學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，增強學(xué)生基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，養(yǎng)成學(xué)生通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，還能幫助學(xué)生積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、事物間的關(guān)聯(lián)和內(nèi)在規(guī)律的活動經(jīng)驗。

看了高中階段數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的內(nèi)涵特點及屬性等，我們就多多少少會明白2022年版課標(biāo)中關(guān)于數(shù)據(jù)意識及數(shù)據(jù)觀念素養(yǎng)內(nèi)涵的表達。數(shù)據(jù)意識及數(shù)據(jù)觀念是數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)在不同學(xué)段的具體體現(xiàn)，如此表述，充分體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)內(nèi)涵的一致性與階段性。關(guān)于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，始終離不開數(shù)據(jù)收集與整理、數(shù)據(jù)分析與表達、獲得結(jié)論與知識等核心步驟。

對照2022年版課標(biāo)中數(shù)據(jù)意識核心素養(yǎng)的具體變現(xiàn)，我們回望謝弘曄老師和董景勛老師的《折線統(tǒng)計圖》一課，素養(yǎng)真正落地了嗎？這可能是當(dāng)下乃至今后很長一段時間，我們觀課、評課的主要切入點。因為，2022年版課標(biāo)的頒布和實施，要求我們在教學(xué)設(shè)計與實踐時，必須關(guān)注兩件事情，一是設(shè)計之初的目標(biāo)定位是否素養(yǎng)導(dǎo)向，二是每個教學(xué)環(huán)節(jié)的推進與實施能否保證素養(yǎng)落地，如果最終不能保證核心素養(yǎng)的落地，一切都是一場空。

這里再明確三個基本認(rèn)知，一是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達成，一定要靠每節(jié)課去落實；二是每個知識點和每個核心素養(yǎng)之間并不是簡單的一一對應(yīng)關(guān)系；三是每節(jié)課不一定只落實一個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但一定有主要的核心素養(yǎng)目標(biāo)。很顯然，《折線統(tǒng)計圖》一課，主要達成的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)是數(shù)據(jù)意識。

謝老師和董老師對《折線統(tǒng)計圖》一課的教學(xué)思考與實踐，緊跟時代研究的熱點。謝老師做了學(xué)情的實證調(diào)研，然后基于學(xué)生真實學(xué)情，以單元整合的方式開展教學(xué)，單式和復(fù)式折線統(tǒng)計圖一節(jié)課上完。董老師也同樣充分基于學(xué)情，采用教學(xué)評一致的方式組織教學(xué)，值得肯定。當(dāng)然，兩位教師的教學(xué)也存在許多需要改進的地方，但從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的視角，兩位教師每人至少有兩處值得借鑒。

先看謝老師的教學(xué)片斷。

【片斷一】

師：學(xué)校每月都會舉行踢毽子比賽。經(jīng)過層層選拔，班級中有兩位學(xué)生（小李和小胖）踢毽子比較好，如果每班選一人參加，你推薦哪位同學(xué)代表班級去參賽呢？

生：小胖去，重心比較穩(wěn)。

生：小李去，小胖太胖了。

生：不能光看外貌，這樣不靠譜，要看他們的實力。

師：你們想調(diào)查什么？

生：讓他們當(dāng)場踢一下，誰踢得多誰去。

生：一次有偶然性，要連續(xù)幾天測試。

師：你們和老師想的一樣，我們要用數(shù)據(jù)來說話。

課伊始，謝老師就創(chuàng)設(shè)了情境，意在讓學(xué)生養(yǎng)成依據(jù)數(shù)據(jù)作出判斷的習(xí)慣，也就是養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話的習(xí)慣，這就是數(shù)據(jù)意識。當(dāng)然，有教師可能會質(zhì)疑，這并非本節(jié)課專屬。沒錯！整個統(tǒng)計與概率部分教學(xué)的每節(jié)課都要落實用數(shù)據(jù)說話的習(xí)慣，《折線統(tǒng)計圖（含復(fù)式）》一課自然也不能例外。

【片斷二】

師：我們用統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖等形式整理了數(shù)據(jù)，也經(jīng)過了一定的分析，現(xiàn)在你認(rèn)為派誰去合適呢？（出示條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖）說說你是依據(jù)哪幅圖得到的。

生：派小胖去，從復(fù)式折線統(tǒng)計圖中可以看到小胖的成績一直往上。

師：你預(yù)測一下，下一次小胖可能會踢幾個？

生：100 個或102 個，后一次總比前一次要多踢2 個或4 個。

師：你是從前面的數(shù)據(jù)推理得到的，有不同的想法嗎？

生：我覺得不一定，下一次小胖也可能失誤了，可能比第一次踢得還要少。

師：有這種可能，但從總體趨勢上看，增長的可能性比較大。

生：從復(fù)式條形統(tǒng)計圖中看應(yīng)該派小李去，看最好成績，萬一小李發(fā)揮出最佳水平呢？

師：是的，以前從條形統(tǒng)計圖中能看出數(shù)量的多少，現(xiàn)在我們認(rèn)識了折線統(tǒng)計圖，不但能看出數(shù)量的多少，還能看出數(shù)量的變化情況。有了數(shù)據(jù)，我們就有了抉擇和推測的依據(jù)，雖然最終沒能統(tǒng)一意見，但經(jīng)歷了這樣的統(tǒng)計過程，你一定有所收獲，談?wù)勀銈兊氖斋@吧。

生：要通過數(shù)據(jù)來分析問題。

生：折線統(tǒng)計圖更能反應(yīng)一組數(shù)據(jù)變化的趨勢。

生：數(shù)據(jù)只能推測，但不是肯定的，可能會出現(xiàn)意外。

師：是的，一般來說，數(shù)據(jù)越多，我們的預(yù)測越合理。

此環(huán)節(jié)，不僅讓學(xué)生知道同一組數(shù)據(jù)可以用不同方式表達，更重要的是，直指數(shù)據(jù)意識的本質(zhì)。數(shù)據(jù)意識是指對數(shù)據(jù)的意義和隨機性的感悟。很顯然，謝老師的情境創(chuàng)設(shè)意在讓學(xué)生體會數(shù)據(jù)的意義，即沒有數(shù)據(jù)不便或無法作出判斷。但僅僅依靠數(shù)據(jù)，也并非可以作出完全肯定的判斷，還要考慮到數(shù)據(jù)的隨機性。上述問題，最終作出何種選擇，還取決于決策者當(dāng)時的心態(tài)、取向等綜合因素。一句話，作出判斷時，沒有數(shù)據(jù)不理性，但如果只依靠數(shù)據(jù)作出判斷，也容易被“誤導(dǎo)”，數(shù)據(jù)越多，判斷越準(zhǔn)確。當(dāng)數(shù)據(jù)越多時，一個概念呼之欲出，那就是大數(shù)據(jù)。如果能感知大數(shù)據(jù)時代數(shù)據(jù)分析的重要性，養(yǎng)成重證據(jù)、講道理的科學(xué)態(tài)度，其實，課的立意就已經(jīng)到了初中階段數(shù)據(jù)觀念的層面。

再看董老師的教學(xué)片斷。

【片斷一】

A 品牌家電1～4月份共計銷售560 臺，B 品牌家電1～4月份共計銷售600 臺。如果你是銷售主管，接下來會怎么進貨？觀察A與B 品牌折線統(tǒng)計圖，又有什么新想法？

生1：我原來選的B，因為它總數(shù)賣得多，但是我現(xiàn)在選擇A。因為通過觀察折線統(tǒng)計圖，A 數(shù)量一直在上升，而B 一直在下降。

生2：我選擇A，A 是越來越多，B 是越來越少。

師：兩位同學(xué)不約而同都依據(jù)什么作出判斷？

生：都是銷售的變化情況。

師：我們原來是根據(jù)總數(shù)作出判斷，也可以根據(jù)平均數(shù)作出判斷。今天我們掌握了一種解決問題的新角度，是什么？

生：根據(jù)數(shù)量的增減變化作出決策和判斷。

此環(huán)節(jié)的意圖不僅僅是作者在課前思考中提到的：相比條形統(tǒng)計圖，表面是從“數(shù)量多少”到“數(shù)量變化趨勢”，學(xué)會數(shù)據(jù)進行分析、預(yù)測和推斷。實質(zhì)是需要一個新的思考方式：從“確定”到“不確定”解決問題。還有另外一層深意，那就是在依據(jù)數(shù)據(jù)作出判斷時，正如2011年版課標(biāo)所言，在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，而后再通過分析作出判斷。這里面牽涉到一個問題，就是收集的數(shù)據(jù)是最原始的，還是經(jīng)過整理的。顯然，A、B 兩個品牌的家電4個月各銷售560 臺和600 臺，是經(jīng)過計算后的數(shù)據(jù)。如果僅僅依據(jù)這兩個數(shù)據(jù)就作出下個月的進貨計劃，不是不可以，但當(dāng)把數(shù)據(jù)細(xì)化后，則是另一種完全不同的選擇。從另一個側(cè)面，讓學(xué)生感悟到，數(shù)據(jù)越多，判斷可能越準(zhǔn)確。

【片斷二】

生1：雖然她們的身高具體數(shù)值不同，但15～18 歲變化趨勢卻比較一致，增長的幅度都不大，由此可以預(yù)測小婷到18 歲很可能只比15 歲時增長2 厘米左右，即她18 歲的身高在170 厘米左右。

生2：只有三個女生的數(shù)據(jù)是否太少了，不說明一般情況，還可以收集更多的數(shù)據(jù)。（出示女生平均身高統(tǒng)計圖，略）

最后出示人類身高變化趨勢圖。

此環(huán)節(jié)很好地落實了2022年版課標(biāo)中關(guān)于數(shù)據(jù)意識素養(yǎng)的一個內(nèi)涵：知道同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，而只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。同一年齡段女生身高是同一件事，但每個人的身高數(shù)據(jù)不一樣，可是當(dāng)人數(shù)足夠多時，身高數(shù)據(jù)就會呈現(xiàn)規(guī)律性。

行文至此，也許有教師會疑惑，之前看《折線統(tǒng)計圖》一課，更多關(guān)注的是教師有沒有引導(dǎo)學(xué)生明白折線統(tǒng)計圖的特點和屬性，與條形統(tǒng)計圖的區(qū)別和聯(lián)系，以及學(xué)會選擇何時選用折線統(tǒng)計圖合適等。作為數(shù)據(jù)表達的方式之一，這些當(dāng)然還是要關(guān)注，但教學(xué)的立意不能僅僅停留在知識和技能層面，要“四基”統(tǒng)整，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能最終達成。

上述觀點只是筆者個人拙見，是否妥當(dāng)，敬請各位方家指教！