基于計數單位，感悟數與運算的一致性

韓菲　孫玉婷　郎建勝

［摘 要］計數單位是建構“數”概念的基礎，數的意義、組成、比較大小等知識在本質上都是計數單位的應用，小學數學主要學習的三種數——整數、小數和分數也因計數單位搭建起緊密的知識聯系。計數單位也是學生理解運算算理的基礎，四則運算可視為計數單位的累加、遞減、分解和組合。以計數單位統領數的認識與運算過程，從計數單位角度認識整數、小數和分數的內在聯系，這種數與運算的一致性教學能加強學生對數學本質的理解，建構起數學的完整脈絡。

［關鍵詞］計數單位；數與運算；一致性

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）11-0039-04

一、研究背景

1.數與運算的一致性是新課標的要求

《義務教育數學課程標準（2022年版》（以下簡稱“新課標”）對四大領域的課程內容進行了結構化整合，呈現整體性、一致性和階段性的特點。其中在數與代數領域，新課標將內容整合為“數與運算”和“數量關系”兩個主題。“數與運算”包括數的認識與數的運算兩部分，新課標將二者作為一個整體體現出數的認識與數的運算之間的密切聯系。新課標指出：“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識；感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。”因此，加強數的認識與數的運算的一致性，溝通“認數”與“算數”之間的聯系是數與運算學習的重中之重。數學強調的聯系不是浮于表面的知識點過渡與鋪墊，而是挖掘知識之間的核心聯系，否則，數學知識的學習就是零散的、相互割裂的，缺乏內在聯系的。因此，將數的認識與數的運算整合為一個主題，從計數單位出發挖掘整數、小數和分數的本質意義，將有助于學生從整體上理解數與運算。

2.計數單位是數與運算一致性的核心

新課標提出要整合相同本質的內容，以加強知識間的聯系；善用核心概念，在學生腦中構建學科知識體系。其中計數單位就是數與運算的核心概念之一，貫穿在整個小學階段數與運算的學習中。在人教版四年級教材中，計數單位一詞正式出現，實際上學生對這個詞并不陌生，從一年級開始就在數的認識與運算學習過程中常常接觸。學生對計數單位最基本的理解是個、十、百、千等逐漸擴大的數位，但對于“為什么產生計數單位”“整數、分數和小數的計數單位之間有什么聯系”等問題存在不同認知，在教學中這些問題也常被忽略。

在數的認識方面，數的認識是小學數學的重要組成部分，其內容包括整數、小數和分數，主要學習數的意義、表示、讀寫、組成、比較大小、運算等。在數的意義和組成上，一個數由它的計數單位的個數組成，如456由4個百、5個十和6個一組成， 0.28由2個0.1和8個0.01組成，[34]由3個[14]組成。在讀自然數時要讀出數字符號和計數單位，在比較大小時是比較相同計數單位下的個數多少。可以說，計數單位決定了數的意義、讀寫、組成、比較大小、運算，它將眾多知識點串聯在一起，形成結構化的知識網絡。其實學生在生活中就已經有了相應的經驗，如分東西時會選擇2個2個地分或5個5個地分，這是為了更方便計數與交流而創造出來的“單位”。學生在學習過程中會逐漸感悟到“單位”的用處不僅體現在數的認識中，感悟到計數單位的產生與現實生活的緊密聯系，體會到數學中統一的基本思想。

在數的運算方面，數與運算的一致性是通過計數單位聯系起來的。在產生數和數數過程中必然伴隨數的增加或減少，這是加減運算的意義之一；若數以一定單位成倍地增加或減少，這是乘除運算的意義之一。在加減運算時將相同的計數單位相加減，在乘除運算時將計數單位個數累加和遞減，在加減乘除筆算時還要注意數位對齊，等等，這些都離不開計數單位的運用。數的運算可以看作是計數單位之間的運算，基于十進制和位值制規則，以計數單位為整體進行運算，包括分數的通分也是為了轉換為相同的計數單位再進行運算。無論是整數、分數還是小數，計數單位在運算過程中都發揮著巨大的作用，它是運算算理的基礎與核心，也是搭建運算整體性的橋梁。

綜上可知，計數單位在數的認識與運算中具有重要地位，要想深入地認識與理解計數單位，還要從計數系統的發展說起。

二、從計數系統的發展過程理解一致性

1.符號的誕生

數是對數量的抽象，數量的抽象源于對現實世界的經驗。人們對數量多少的感知是天生的，起初古人還不會用數來表示物體的多少，于是用一一對應的方法進行比較，基于一一對應的感受與對物體的計量慢慢形成多與少的概念。對于同樣的東西，理解多與少比較簡單，加上就是多了，拿走就是少了，于是加減運算就在一一對應的數數基礎上形成了。

隨著表示數量的需求增加以及出于溝通的需要，人們漸漸開始用身邊的常見集合來表示數，這樣不需要將具體的事物呈現在對方眼前就可以交流數量的多少，如用一只手表示5個蘋果，用石頭、小木棍表示獵物數量。后來，人們創造了一些通用符號表示事物，為生產交換和溝通提供便利，如古埃及的象形文字、中國的甲骨文等。此階段的計數實現了一定的抽象，人們會用符號表示1頭牛或1粒米，但這里的“1”仍與具體事件有關。隨著時間的推移，人們創造了專屬的數字符號，這時符號的表達脫離了背景，僅表達數量多少而沒有其他具體的含義。

2.從非進位到進位

進制計數是人為定義的一種可進位的計數方法，人們根據不同的文化背景與需求產生了不同的進制，如古巴比倫人采用六十進制，古埃及人采用十進制。目前普遍使用的是十進制，即相鄰兩個計數單位之間的進率是10。這與人類天然有10根手指有關，符合人類的思維習慣。在數字符號產生之前，遠古時期的人們經常采用結繩計數法，一開始用1個結表示1，后來隨著計量數量的增多，人們開始想到區分繩結的大小、位置、花式、顏色等來表示不同的數量單位，進而用不同的物體表示不同的量，而不只是將“1”簡單地重復，這是最原始的進制計數。后來人們在龜甲、骨頭、泥板上刻下記號以達到計數的目的，逐漸形成通用的數字符號。如圖1中的古埃及象形數字，當計數到十、百、千、萬……則改用一種新的符號表示，無須一直用“1”來重復計量與表示數，為記錄較大的數量提供便利。

3.從非位值制到位值制

數量有無數個，難道要創造無數個符號來表示嗎？聰明的人類想到了將符號重復使用，于是創造了位值原則。位值原則是指同一個數擺在不同的位置以表示不同的數值，如3在個位上表示3個一，在十位上表示3個十。在教學中數的表達實際上是多少個計數單位的表達，如50表示5個十，3/4表示3個1/4，0.8表示8個0.1。

將十進制與位值制相結合就是目前常用的十進制位值計數法。它以十進制和位值制為原則，哪一數位上的數滿10便向前一數位進1，這里的“進1”是指一個計數單位。以此遞推，同一個符號在不同位置上表示的數值不同，并且不同位置之間具有一定的數量關系，這樣便可以用有限的符號代表所有的數值。至此，計數的發展實現了高層次抽象并具有了廣泛應用性，極大地促進了數學的發展。

三、從數的產生與倍數關系理解一致性

1.從數的產生理解計數單位的一致性

學生的認知發展具有階段性，對某個數學對象的深入認識往往需要分階段學習，因此小學數學教材也采用螺旋式結構編排，但這容易導致學生對數學對象的認識較為分散，知識與知識之間沒有形成結構化與系統化的體系，學生無法對數學形成全面完整的認識，無法深入理解知識之間的聯系。因此在教學中，教師不僅要注意知識內部的縱向聯系，還要注意各知識間的橫向聯系。例如，整數、分數和小數之間因計數單位而相互聯系。又如，計數單位可以從兩個方面來理解：“計數”指數事物的個數與順序，可以一個一個地數，也可以十個十個地數，是對數數的抽象；“單位”是計量物體標準量的名稱，如厘米、噸等。

對整數而言，“一”是最基本的計數單位，從1開始累加，數到10便產生了一個新的計數單位“十”，從10開始可以一為計數單位累加，11、12、13……直到20成為2個十，也可以十為計數單位累加，20、30、40……直到100又產生了一個新的計數單位“百”。基于此原理，自然數的計數單位逐漸擴大，形成了個、十、百、千、萬等計數單位。

“1”還是自然數與分數（真分數）計數單位的聯結點，具有豐富的內涵。“1”可以指一個物體，如1個月餅；也可以指一個計量單位，如1米；還可以指一些物體組成的整體，如1箱蘋果。這樣的“1”不再只有“具體數量1個”的含義，在關系表達中可表示為不限個數的1份，代表一個整體，常被稱為單位“1”。當分物、測量和計算無法用整數表達結果時，便產生了分數。分數的產生是為了讓數表達得更精確，將自然數的計數單位“一”均分后產生了更小的單位，這樣的溝通使自然數的“一”與單位“1”具有了相似性和一致性。

為了滿足現實世界中表達的需要以及數學本身發展的需要，小數便產生了，并且沿用了與整數一致的十進制。小學數學中學習的小數主要是有限小數，其也被稱為十進分數的另一種表現形式。將分數單位中的1/10、1/100等作為小數的計數單位，實現整數與小數在表達與計數上的一致性。兩者皆采用十進制，如果說整數的計數單位從小到大是逐漸擴大10倍，那么小數的計數單位就是從大到小逐漸縮小10倍。

2.從倍數關系理解計數單位的一致性

倍數關系是數量關系中最重要的一種，在認識數的過程中，除了理解數表示“數量”，還要加強理解表示“倍數關系”這一概念。無論是整數、分數還是小數，其計數單位都可以表示倍數關系，如1/3既可以表示一條線段長1/3米，也可以表示這條線段是另一條線段的1/3。“倍”也可以將乘法和除法聯系起來，例如：2米長的線段的3倍就是以2米為計數單位度量3次，即2×3；6米長的線段是2米長的線段的幾倍，就是以6米為計數單位，看其中包含了幾個2米，即6÷2。這樣，“倍數關系”很好地將數與運算的知識統一起來。小學教材中對于“倍”的編排分為兩個階段：三年級上冊初步認識“倍”，借助直觀具體的關系圖理解誰是誰的幾倍，以及解決簡單的倍數關系問題；五年級下冊從除法的定義出發，更深層次地理解倍數的概念。這些都離不開計數單位“份數意義”上的累加或分配。

為了使學生更好理解倍數關系，教師在教學時需要明確找出兩個量在計數單位上的聯系，也就是明確把誰看作比較時的標準量。例如，有2條長分別為1米和3米的線段，如果把1米長的線段看作單位“1”，則3米長的線段里有3個1，因此3米長的線段是1米長的線段的3倍；反之，如果把3米長的線段看作單位“1”，那么1米長的線段是3米長的線段的1/3。從“自然數可以表示倍數關系”遷移到“分數可以表示倍數關系”，是借助三年級“一個數是另一個數的幾倍”理解“一個數是另一個數的幾分之幾”的含義。

四、基于計數單位的一致性，教學中需注意什么

教學注重一致性是新課標提出的新理念，然而教師在追求一致性的過程中也不能忽視學生學習階段性的特點，應根據學生每個學段的認知特點和發展規律合理安排學習任務。若一味地追求一致性而忽視了學生的接受程度或對基礎知識的深層理解，反而達不到良好的教學效果。因此，課堂教學中應避免出現以下情況。

1.內容復雜深奧，超出學生的理解范圍

數學作為一門高度抽象的學科，具有嚴密、深奧的知識體系，知識與知識之間有著許多復雜的脈絡，而小學生的思維特點還不足以深刻理解這些復雜的知識脈絡。因此，教師不應在學生思維能力尚未達到成熟水平時額外補充一些復雜的知識，教學要在學生的最近發展區內鞏固基礎與拓展提升。如10的認識是認識數由量變到質變的重要內容，教師可以補充個位、十位數位的認識，十位上的1表示1個十，引導學生體會滿10進1的過程，但是不需要在這里講解位值原則以及十進制計數法，也不需要講授二進制和五進制等，即教師應注意選擇合適的時機、把握合適的尺度建立知識的一致性和內在聯系，避免在學生思維尚未成熟、對知識一知半解的狀態下講解復雜深奧的內容。

2.急于求成，缺少經歷觸及知識本質的過程

把握數與運算的一致性是站在更高的層面上，用聯系的視角對知識進行統整，這是理解數學知識一般化的過程，也是一個更抽象、更本質的過程。學生認識事物存在階段性的特點，上述過程應是在了解學生認知特點的前提下，讓學生逐步認識和經歷的，因此，教學應當是循序漸進、逐步深入的。學生只有經歷了觸及知識本質的過程，才能逐步發展數學思維與素養，自覺搭建起認數與算數之間的橋梁。在探索一致性教學的過程中，如果教師試圖通過一節課的時間講清聯系，或者沒有選擇好恰當的時機就觸及知識的本質以及關于一致性的理解，這樣的教學就犯了急于求成的錯誤。

溝通一致性能幫助學生更深層次地理解數學本質，有時也能更好地理解算理和算法。教師可以通過一些巧妙的教學方法，從計數單位的角度出發去設計教學。例如，為了在“分數的加減法”一課中滲透“相同計數單位上的數字相加減”這條加法的基本原理，教師出示如下題組：

400+300=

0.4+0.3=

23×4+23×3=

4/9+3/9=

教師首先引導學生觀察這些算式的相同之處，即所有題目都是在計算“4+3=7”，接著提問：“這些算式又有什么不同之處？”有學生回答：“第一道算式是4個百加3個百，第二道算式是4個十分之一加3個十分之一……”最后，學生發現，它們都是計數單位不變，單位個數相加。

綜上所述，學生通過深入理解計數單位進而對數與運算的一致性有所感悟，這是一個循序漸進的過程。在新課標的指導下，教師應在學生的理解范圍內，引導學生以聯系的視角看待數的認識與數的運算，這樣才能真正促進學生對數學知識體系的理解以及學生數學思維的發展。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 史寧中.基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3] 史寧中.數學思想概論：數量與數量關系的抽象（第1輯）[M].長春：東北師范大學出版社，2008.

[4] 朱國榮.從“不到1個”到“不到1倍”：“分數表示倍數關系的含義”一課教學思考與實踐[J].小學教學（數學版），2021（Z1）：83-87.

（責編 李琪琦）