例談“數學運算”素養如何在教學中落地

王科

摘要：數學運算是一種邏輯推理，學生在學習過程中普遍存在問題.為了使學生更好地理解數學運算素養，提升運算素養水平，本文從數學運算的方向、方法和程序的角度，培養學生思維的廣度、敏捷度和深度，結合實例來探討“數學運算”素養如何在教學中落地.

關鍵詞：核心素養；數學運算；教學；落地

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0011-03

我們在教學過程中常常遇到一個讓人困惑的現象：對于很多題目學生知道運算方法，但總是算不下去，或是運算出錯，做得不夠完整，解答過程不夠規范，等等，呈現出一種“會而不對，對而不全，全而不規”的特點，這是數學運算能力問題.教師在執教過程中，經常會跟學生強調數學運算能力的重要性，也給了學生充足的時間讓其運算，但這樣還遠遠不夠.

在《普通高中課程標準（2017年版2020年修訂）》中，數學運算作為六大核心素養之一，是數學的基本能力，是學生借助運算培養解決問題的能力.課標明確指出數學運算是指確定運算對象，由運算法則解決問題的素養.它包含：運算對象、方向、方法、程序、運算結果等等.數學運算能力的培養，能促進思維品質的提升.而學生主要是在運算方向、運算方法以及運算程序上出現了問題，本文以這三點為載體，結合具體例子，談談教師除了在“意識”上重視數學運算之外，如何在“行動”上落實數學運算素養的培養.

1 實例分析

數學運算是一種演繹推理、也是邏輯推理的呈現形式，根據規則運算每一步，最終得到數學問題的結果.學生恰恰是因為抽象能力不夠、運算方向感不強、整理化簡能力欠佳等原因導致了運算的錯誤.比如三角函數邊角互化的問題中，學生總是算到中途就不知道往哪個方向走了；解析幾何運算時只知道“聯、化、判、韋”，但是在運算方法的選擇上卻不夠靈活，導致計算量人為加大，等等.下文針對這一現象做具體闡述和對策分析.

1.1 多角度尋求運算方向，培養思維的廣度

思維的廣度是指從多方面思考一個問題.對這個問題的事實作多方面的說明，用多種方式表述這個問題的條件、可能的思考方向，能找到多種角度下各種不同的解法.在教學過程中，要注重培養學生多思考問題以及多角度探究運算方向，挖掘思路清晰且運算量小的方法，以培養學生的運算能力和思維的廣度.

例1△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2B2，求cosB.

分析首先明確運算方向——求cosB，即要保留角B或cosB，故先把sin（A+C）寫成sinB，得sinB=8sin2B2.接下來該從哪個方向來求cosB，是本題的核心所在.

解析若是由降冪公式得sinB=4（1-cosB），那么接下來可考慮從以下三個方向著手.

方向1移項得sinB+4cosB=4，得17sin（B+φ）=4，φ不是特殊角，很難求出角B或cosB.

方向2由sinB=4（1-cosB）兩邊平方得1-cos2B=16（1-cosB）2，即17cos2B-32cosB+15=0，即（cosB-1）（17cosB-15）=0，又cosB≠1，所以cosB=1517.

方向3由sinB=4（1-cosB）兩邊平方得1-cos2B=16（1-cosB）2，又cosB≠1，得1+cosB=16（1-cosB），得cosB=1517.

方法4若是由二倍角公式得2sinB2cosB2=8sin2B2，則有tanB2=14，接下來可用二倍角公式求tanB.

tanB=2tanB21-tan2B2=815，從而cosB=1517.

點評方向1出現“算不下去”的原因有：（1）沒有明確運算方向，正確的運算方向是求cosB，而不是直接求角B；（2）受到輔助角公式的影響，形成了定式思維，看到這樣的形式，就想到輔助角公式，這也是很多學生思維受阻的原因. 方向2通過兩邊平方，消去了sinB，得到了關于cosB的方程，是個很好的思路，不足的是如果學生因式分解掌握得不好，算出結果需要一定的時間，而方向3正好彌補了這一點，先約去1-cosB，簡化了運算. 方向4先用二倍角公式求出tanB2=14，再求cosB，方向明確，而且運算量不大.多角度地探究運算方向，在探究過程中，探尋方向性強且運算量小的方法，是解題教學的重要任務，也是培養學生思維廣度的有效途徑.

1.2 合理選擇運算方法，培養思維的敏捷度

數學思維的敏捷性是指思維、智力活動的靈敏程度，體現在思考問題時不固執己見，能隨機應變、觸類旁通，不拘泥于某一固定形式或模式. 在解題教學中，合理選擇運算方法，減少運算量，以及對問題的一題多解，發散思維，都可以培養思維的靈活性.

解析幾何運算量較大，很多學生容易出現“算不下去”或算錯的情況，往往不能得到正確答案，或得到了正確答案，但花費了很長的時間.出現這一現象的原因是沒有選擇合理的運算方法.那么在教學中，應該怎么解決這一問題呢？除了多訓練計算能力外，更需要多思考、多總結.比如，若直線過定點M（0，m），則設其方程為y=kx+m，若直線過定點N（n，0），則設其方程為x=ky+n；若有兩個點都在圓錐曲線上，可選擇“點差法”；若遇到中點，則選“中點弦公式”；若遇根式，可選換元法或整體運算等等.

例2設F1，F2分別為橢圓x23+y2=1的左、右焦點，點A，B在橢圓上，若F1A=5F2B，則點A的坐標是.

解法1設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AF1為x=my-2（設線優化），與橢圓聯立得（m2+3）y2-22my-1=0，由y1=-5y2和y1+y2=22mm2+3得

y1=-m2（m2+3），y2=5m2（m2+3），又由y1y2=-m2（m2+3）·5m2（m2+3）=-1m2+3得5m22（m2+3）=1，解得m=±2，所以A（0，±1）.

解法2因為點A，B都在橢圓上，故考慮利用橢圓方程整體消元.

設A（x1，y1），B（x2，y2），由F1A=5F2B得（x1+2，y1）=5（x2-2，y2），得x2=62+x15，y2=y15，

因為點A，B在橢圓上，x22+3y22=3.

所以（62+x15）2+3×（y15）2=3，即72+122x1+x21+3y21=75，由x21+3y21=3，所以x1=0，所以A（0，±1）.

點評先由已知得A，B兩點坐標的關系，再用“整體消元法”，不需要與橢圓聯立，過程簡潔，運算量小，優化了解法1.

2 依據本質設計運算程序，培養思維的深度

思維的深度在具體問題中表現為：對問題提煉的深度、抽象程度和邏輯思考水平，即思考問題的深度和難度.依據問題的條件、現象，思考問題的本質和聯系，是思維深度與否的主要體現.我們在教育教學活動中，老師應該由外及里，由一點向多角度發散，提煉題目的本質和規律，可以采用的運算程序，以達到培養深度思維的目的.

例3已知函數f（x）=ex-ln（x+m），當m≤2時，證明f（x）>0.

解析當m≤2時，ln（x+m）≤ln（x+2），所以f（x）=ex-ln（x+m）≥ex-ln（x+2），故只需證明當m=2時，f（x）>0.

當m=2時，f ′（x）=ex-1x+2在（-2，+SymboleB@）上單調遞增，又f ′（-1）<0，f ′（0）>0，故f ′（x）=0有唯一實根x0，且x0∈（-1，0）. 所以f（x）在（-2，x0）上單調遞減，在（x0，+SymboleB@）上單調遞增，從而f（x）在x=x0處取得極小值.

由f ′（x0）=0，得ex0=1x0+2，ln（x0+2）=-x0.

所以f（x）≥f（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0.

點評本題的關鍵是證明當m=2時f（x）>0，即證ex>ln（x+2）. 那么m=2是怎么得到的呢？

由人教A版選擇性必修第二冊99頁第12題得ex≥x+1①

當且僅當x=0時等號成立.

又由人教A版選擇性必修第二冊94頁第2題得x-1≥lnx，把x換成x+2，得到x+1≥ln（x+2）②

當且僅當x=-1時等號成立.

根據①②式，可得ex>ln（x+2）.

（這是因為①和②等號成立的條件不同，即兩式不能同時取到等號）.

如果我們知道該題的教材背景，則只需要證明①②兩式成立即可（教材上的題目），那樣就可以簡化運算，降低思維難度.因此只要抓住了問題的本質，揭示問題的背景，從而可以為我們的解題提供新思路、新方法，減少運算量.

例4（2017年全國Ⅲ卷）設函數f（x）=x+1，x≤02x，x>0，則滿足f（x）+f（x-12）>1的x的取值范圍是.

解法1若x>12，則f（x）+f（x-12）=2x+2x-12>1恒成立；

若01恒成立；

若x≤0，則f（x）+f（x-12）=（x+1）+（x-12+1）=2x+32>1，得x>-14，所以-14

SymboleB@）.

解法2注意到當x>-1時，f（x）>0.

當x>0時，f（x）>1，又x-12>-12>-1，所以f（x-12）>0

則f（x）+f（x-12）=2x+f（x-12）>1恒成立；

當x≤0時，下同解法1.

解法3f（x）雖是分段函數，但注意到它是R上的增函數，不必分類討論.

易知f（x）是R上的增函數，記F（x）=f（x）+f（x-12），則F（x）也是R上的增函數，原不等式等價于F（x）>1，接下來尋找x0，使得F（x0）=1，可用“二分法”思想.

計算得，F（0）=32>1，F（-1）=-12<1，F（-12）=12<1，F（-14）=1，所以x>-14.

點評處理分段函數的常見辦法是分類討論，但有時分類討論會比較繁瑣（比如此題改為求滿足f（x+1）+f（x）+f（x-1）+f（x-2）>3的x等等），若能抓住問題的本質和規律，以及可以采用的運算程序，就能根據問題的本質（如本題F（x）單調遞增，就可以利用單調性解不等式，不用代入具體的函數解析式，減少了運算量），便可以單刀直入，直達問題的核心，減少解題中的“運算”，提高解題效率.

例4設f（x）=a2（x-b）（x-c）（a-b）（a-c）+b2（x-a）（x-c）（b-a）（b-c）+c2（x-a）（x-b）（c-a）（c-b），g（x）=x2，證明：f（x）=g（x）.

分析如果按常規思路去分母來證明，運算量很大，很麻煩. 此時就需要探尋問題的本質，抓住問題的核心，方可簡化運算.

證明注意到f（a）=a2，f（b）=b2，f（c）=c2，又f（x）為次數不超過2的多項式，故f（x）=x2=g（x）.

點評此題的核心所在是挖掘、發現f（a）=a2，f（b）=b2，f（c）=c2，然后利用“多項式恒等定理”來證明這兩個多項式相等. 多項式恒等定理即：如果兩個次數不超過n的多項式有n+1處取值相等，則這兩個多項式相等.這就抓住問題的本質，發現解題的新思路、新方法，從而減少運算量.

數學核心素養與數學基本思想、數學思想方法等密切相關.數學核心素養是數學基本思想在學習某一個或幾個領域內容中的具體表現；數學思想方法則是體現如何從操作層面上實現核心素養、基本思想方法；數學核心素養是數學育人階段性的凝練，是以往“五大數學能力”（抽象概括、邏輯推理、數據處理、運算求解、空間想象）的拓展.數學核心素養之一的數學運算在培養學生數學品質上有著重要的意義和價值.

在培養學生的數學運算能力時，應重視學生思維的廣度、敏捷度和深度的培養，這些品質緊密相連，密不可分.缺乏了思維，數學就不是數學，就沒有生命和活力.教師在教學過程中，應重點對學生的“思維的過程”進行教學設計，課堂教學的每個環節也應立足培養學生的思維品質，實現“數學運算”素養在教學中落地生根.

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［責任編輯：李璟］