變式教學在數學復習課中的應用

黃秀煥

摘 要：如何上好數學復習課，提高復習效率，體現高效課堂，這是每一位數學教師都關注的問題，在數學復習課中，變式教學能從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景展開考慮，以知識變式、題目變式、思維變式、方法變式為基本途徑，揭示不同知識的內在聯系，從而獲取課堂效益的最大化，復習方法最優化。

關鍵詞：數學復習課；變式教學；高效課堂

孔子提出了“學而時習之”“溫故而知新”的主張?？梢姀土暤闹匾圆谎远?。復習課在初中數學教學中占據相當大的比重，復習課教學的實際效果，影響學生對數學知識的掌握。在復習課教學中，教師若能將一個問題或圖形從不同的角度進行變換和遷移，則可使學生在最近發展區得到發展，思維品質得以優化。變式教學從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景展開考慮，以知識變式、題目變式、思維變式、方法變式為基本途徑，揭示不同知識的內在聯系，暴露問題本質特征。真正做到“做一題，同一類，會一片，得一法”；把學生從“為解題而解題”的題海誤區中解放出來，就能獲取課堂效益的最大化，復習方法最優化。

一、數學復習課中的變式教學

例1：在“分式”的復習中，設計如下練習：

（1）當x? ? ?時，分式[x-23x+1]的值為0；

（2）當x? ? ?時，分式[x-23x+1]的值為0；

（3）當x? ? ?時，分式[x-2x+2]的值為0。

以上三道題，先是分式的分子由x－2變式為[x]－2，再是分母由3x＋1變式為x＋2。三道題目各不相同，但其解題的本質是分式值為0的條件：分子為0而分母不為0。通過這樣有層次的三道題目，既可以使學生發現解題的本質，又可使不同的學生找到自己的解題切入點，從而有利于不同層次的學生總結出解題的規律，形成對此類問題完整的數學認知結構。

例2：復習三角形中位線時，求證：順次連接各邊中點所得的四邊形是平行四邊形，在講授完后可以進行變式。

變式1：順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是什么圖形？

變式2：順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是什么圖形？

變式3：順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是什么圖形？

變式4：若依次連接什么四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形，那么四邊形應滿足什么條件？

變式5：若依次連接什么四邊形各邊中點所得的四邊形是矩形，那么該四邊形應滿足什么條件？

變式6：若依次連接什么四邊形各邊中點所得的四形邊是正方形，那么該四邊形應滿足什么條件？

通過這樣一系列的變式訓練，學生能充分掌握四邊形所有基礎知識和基本概念，強化溝通常見特殊四邊形的性質定理、判定定理、三角形中位線等，學生歸納得出：連接四邊形各邊中點所得到的四邊形的形狀與原四邊形的對角線有關。

例3：復習一元一次方程概念的時候，設計如下練習：

（1）當m? ? ?時，關于x的方程xm－1＋2m＝1是一元一次方程。

（2）當m? ? ?時，關于x的方程（m＋2）xm－1＋2m＝1是一元一次方程。

（3）當m? ? ?時，關于x的方程（m＋2）x[m]－1＋2m＝1是一元一次方程。

（4）當m? ? ?時，關于x的方程（m＋2）x[m]－1＋x＋2m＝1是一元一次方程。

以上四道題，都是要學生理解一元一次方程的概念。通過不斷地變異，既滲透了分類討論的數學思想方法，又能使學生從四道變異題中理解一元一次方程概念的本質屬性，明確解此類問題的一般原理，同時培養了學生分析問題、解決問題的思維嚴密性，發展了學生的求異思維。

例4：復習等腰三角形的性質時，設計如下練習：

（1）如下圖，已知：△ABC中，AB＝AC，填空：

∠C＝? ? ?°? ? ? ? ? ?∠B＝? ? ?°

∠A＝? ? ?°? ? ? ? ? ?∠C＝? ? ?°

（2）如右圖，根據等腰三角形性質定理的性質2，在△ABC中，AB＝AC時，

①∵AD平分∠BAC，

∴? ? ?⊥? ? ?，? ? ?＝

②∵AD⊥DC，

∴∠? ? ?＝∠? ? ?，? ? ?＝

③∵AD是中線，

∴? ? ?⊥? ? ?，∠? ? ?＝∠

（3）已知：如右圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，填空：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝? ? ?°，∠C＝? ? ?°

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝? ? ?°，∠DBC＝? ? ?°

（4）等腰三角形的一個角是50°，則它的底角是（? ? ）。

A. 50°? ?B. 50°或65°? ?C. 80°或50°? ?D. 65°

（5）已知等邊三角形的邊長為2cm，那么它的高為? ? ? cm，面積為? ? ? cm2。

通過5道習題的層層推進式變式教學方式，不同層次地對知識進行重新加工，逐步加深鞏固等腰三角形兩個性質定理的內在聯系，讓學生更深入地理解等腰的性質。

例5：復習三角形三邊關系時，設計如下練習：

（1）一個三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數，則第三邊的長是? ? ? ? 。

（2）一個等腰三角形的兩邊長分別是2cm，5cm，則它的周長為? ? ? ? cm。

（3）已知直角三角形的兩邊長分別為3和6，則這個三角形的第三邊長可以是? ? ? ? 。

以上三道題，都是要學生清晰三角形三邊的關系：任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。通過不斷地變異，從一般三角形到等腰三角形再到直角三角形，既滲透了等腰三角形、直角三角形的性質，又能使學生從三道變異題中理解三角形三邊關系的本質屬性，明確解此類問題的一般原理，培養學生分析問題、解決問題的能力。

例6：復習“垂徑定理”時，可以設計如下練習：

（1）如下圖，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，則下列結論不一定成立的是（? ? ）。

A. EA＝EB? ? ? B. EO＝ED

C. [DA]＝[DB]? ? ? ? ? D. [CA]＝[CB]

（2）如下圖，在⊙O中，半徑OC⊥AB于點E，AE＝2，則下列結論正確的是（? ? ）。

A. OE＝2? ? ? ? B. EC＝2

C. AB垂直平分OC? ? D. OC垂直平分AB

（3）如下圖，在⊙O中，直徑CD⊥弦AB，AB＝8，OE＝3，求⊙O半徑及ED的長。

通過相似題型的類比式變式教學，讓學生更好地體驗“垂徑定理”，在小組合作學習中，學生自主學習。通過對定理的靈活運用，學生加深對知識點的理解。

又如：復習綜合運用題時，出示以下題目。

問題1：如右圖，等邊△ABC的高為5，D是BC邊上的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求：DE＋DF的值。

這個問題比較簡單，是線段和問題的特殊情形，既鞏固基礎知識，又引出直接計算法，為后面的一般問題搭臺階。

問題2：如右圖，等邊△ABC的高為5，D是BC邊上的任意一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求：DE＋DF的值。

這個問題從特殊到一般，從有具體數值的線段和問題，過渡到后面的抽象定值問題，滲透極端位置想法。

讓學生一題多解，探索討論，體會多角度看圖形的樂趣，提高發散思維和創新思維能力，培養學習興趣，發揮刻苦鉆研精神。

問題3：如右圖，等腰△ABC中，D是BC邊上的任意一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求：DE＋DF為定值。

總結：及時引導學生歸納線段和問題有哪些解決辦法：

（1）直接計算法；

（2）延長法（補短）；

（3）分段法（截長）；

[線段和差→線段相等不共線→共線]截長補短→構造全等→等量轉化

（4）面識法：看見垂線段→可以作為高→想到利用面積。

二、小結

總之，教師在變式訓練中所采用的變式方法對學生會產生潛移默化的影響，尤其是通過對經典題的變式及對比研究，可使學生獲得對某一知識系統、深刻的理解，從中掌握科學的解題方法，養成良好的思維習慣，學會捕捉各種信息中的聯系，提高發現問題的能力。

教師在設計復習課時，不要把復習認為是單純的知識重復與拓展，而應在復習知識、整合知識的同時，讓學生能感受到復習課的新鮮感，這就需要挖掘知識間的內在聯系，突出問題解決方法，只有當學生真正掌握方法后，他們才能從題海中跳出，真正做到“減負不減質”。

實踐證明，這樣的變式教學不僅能增加學生的新奇感和參與感，而且能極大地激發學生的好奇心、求知欲和創造力，提高學生參與復習課教學活動的興趣和熱情。