牽手“向量” 鏖戰正余弦

汪俊 謝剛

【摘要】新高考中，向量知識有很強的“工具性”，本文通過一道模考題，試圖通過牽手“向量”，鏖戰有正余弦定理知識的三角函數大題.

【關鍵詞】高中數學；向量；正余弦

思維水平層次指向 關聯結構.試題線索豐富，在三角形背景下，利用向量、正余弦定理、解析幾何等知識解決相關問題.

思維類型 深刻理解三角形邊與角、向量表示的結構化形式，內化由向量知識推演出余弦定理和正弦定理的數學能力和智慧，熟練運用向量的符號語言和坐標語言，適時建系.

差異性分析 60%學生能完成第（1）小問，但是通過轉化向量結構采用方法1的解答不多；采用方法2的學生較多，道路曲折，解題過程不嚴密；方法3有“建系”意識的學生不多.

第（2）小問，學生采用方法1利用“兩次”正弦定理求解的較多，但是在處理和轉化邊與角的過程不夠順暢，其中轉化成∠CAD=π2-∠B是個思維“盲點”；利用方法2“建系”的學生不多.

5 歸根分析

題目出處 兩小問分別是蘇教版必修5課本中利用余弦定理和正弦定理研究.

三角形中線和角分線性質例題的換種呈現方式.三角形中線AD滿足AD=12AB+12AC，同理.由AD=25AB+35AC就可以確定點D在邊BC的位置，這種互換條件和結論的思維方式，學生處理起來思維比較“鈍化”.兩小問中，第（1）問是特殊情形，第（2）問是一般情形.第（1）問已知角求距離（有余弦定理立意傾向），第（2）問已知距離求角（有正弦定理傾向）.但兩問都可以通過建系代數化解決，本質其實是向量符號語言和坐標語言的統一，兩種問題、兩種解法相得益彰.

歸根流變 一個三角形變成兩個三角形，兩個三角形還可以變成三個三角形.

這樣就引申出三角形的外心、內心、垂心和重心，而這些都可以通過向量形式呈現.三角形中AB+ BC+ CD= 0這一向量“回路”蘊含的很多數學精髓，同時由正弦定理可以推導余弦定理就讓正余弦合二為一，緊密融合.“牽手”向量，“帶上”正余弦定理，不忘“建系”，三角形的求解會更精彩.