“隨機事件與概率”教學中存在的問題與設(shè)計建議

王占軍

摘? 要：“隨機事件與概率”是初中概率教學的起始課，通過列舉教師教學中存在的常見問題，分析教學內(nèi)容蘊含的思想方法，幫助教師準確理解隨機事件的概念，整體把握隨機現(xiàn)象、隨機試驗、隨機事件三者間的邏輯關(guān)系，明確教學起點，確定研究方法，以數(shù)學活動為主線組織教學，引導學生抽象數(shù)學概念、感悟研究方法、積累活動經(jīng)驗.

關(guān)鍵詞：隨機現(xiàn)象；隨機試驗；隨機事件；教學建議

一、問題的提出

隨機事件是初中概率教學的重要內(nèi)容，學生對隨機事件的準確認識與理解是體會概率意義、建立隨機觀念的基石. 在實際教學中，部分教師對隨機事件的概念理解不夠深入，對課程目標把握不夠準確，忽視起始課承擔的重要育人價值，課堂教學缺乏對概念的深刻感悟與體驗，缺乏組織有效的數(shù)學活動引導學生感受概率學習的必要性，致使學生后續(xù)學習興趣不濃、動力不足. 筆者以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》九年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“25.1 隨機事件與概率”一課為例，通過分析課堂教學中存在的常見問題，剖析教學內(nèi)容蘊含的思想方法和育人價值，提出教學建議和設(shè)計構(gòu)想.

二、“隨機事件與概率”教學中存在的常見問題

筆者通過課堂聽課觀察、教學訪談、學生調(diào)查等方式，了解到教師對“隨機事件與概率”一課的教學往往存在以下問題.

1. 概念理解不深

（1）混淆隨機現(xiàn)象與隨機事件的概念，教學起點把握不準.

隨機現(xiàn)象與隨機事件是概率論中容易混淆的兩個概念. 在實際教學中，部分教師沒有準確區(qū)分兩個概念的內(nèi)涵與外延，沒有深入剖析隨機現(xiàn)象、隨機試驗、隨機事件三者間的邏輯關(guān)系，教學時簡單介紹生活中的隨機現(xiàn)象后，便直接組織學生進行抓鬮、摸球、擲骰子等隨機試驗，學生對于“什么是試驗？為什么試驗？怎樣試驗？”等概率學習的根本性問題認識不清，對隨機事件概念的理解停留在淺層次的文字記憶上，沒有產(chǎn)生強烈的認知沖突.

（2）對隨機事件的隨機性和規(guī)律性理解不深，用確定性思維解釋概率問題.

隨機事件的發(fā)生具有隨機性和規(guī)律性. 隨機性表現(xiàn)為每一次事件的結(jié)果是不可預料的，在相同條件下，每一次試驗的結(jié)果既不會受上一次事件的影響，也不會影響下一次事件的發(fā)生. 規(guī)律性表現(xiàn)為在一定條件下做大量重復試驗，隨機事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性. 為了使學生準確理解隨機事件的隨機性和規(guī)律性，教材中安排了如下的教學活動.

袋子中裝有4個黑球、2個白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，即除顏色外無其他差別. 在看不到球的條件下，隨機從袋子中摸出1個球.

① 這個球是白球還是黑球？

② 如果兩種球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一樣大嗎？

教材的編排意圖是讓學生經(jīng)歷“猜測—試驗—收集數(shù)據(jù)—分析試驗結(jié)果”的活動過程，感受“隨機事件發(fā)生的可能性有大有小”. 在具體的教學實踐中，有些教師對隨機事件的隨機性理解不清，常常用確定性思維解釋概率問題. 例如，當學生摸球出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)是教師期望出現(xiàn)的數(shù)據(jù)時（摸到黑球的次數(shù)多于摸到白球的次數(shù)），教師解釋為：由于黑球的個數(shù)多于白球的個數(shù)，在試驗中摸到黑球的可能性總是大于摸到白球的可能性. 當學生摸到黑球的次數(shù)小于或等于摸到白球的次數(shù)時，教師卻不知道如何向?qū)W生解釋.

2. 課程目標定位不準

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）在第四學段對“隨機事件的概率”提出如下的學習要求：能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定隨機事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解隨機事件的概率；知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率.

由于《標準》對“隨機事件與概率”一節(jié)內(nèi)容沒有提出明確的知識學習要求，部分教師由此認為本節(jié)內(nèi)容不重要，甚至可有可無，從而沒有潛心分析教學內(nèi)容，導致課程目標定位不準，教學過程簡單，具體表現(xiàn)為如下幾個方面.

（1）直接講解隨機事件的概念，不組織學生經(jīng)歷隨機試驗的活動過程.

部分教師認為隨機事件的概念是學生容易理解的，教材安排的隨機試驗活動操作簡單，設(shè)計的問題學生不需要動手操作也能得出答案，完全沒有必要安排學生活動. 于是，教師以生活中的隨機現(xiàn)象引入課題后，直接講解隨機事件的概念，隨后安排大量練習題引導學生做題鞏固，掌握模式化的答題技巧.

（2）組織學生進行大量的試驗活動，缺乏對活動本質(zhì)的深刻理解.

部分教師在公開課或觀摩課中為了體現(xiàn)“自主探究、合作交流”的課堂教學理念，安排了大量的摸球、擲骰子等試驗活動. 在具體的活動過程中，由于缺乏對隨機試驗活動必要性的準確理解，以及對課程目標的準確定位，教師沒有設(shè)計有價值的數(shù)學問題引領(lǐng)學生在活動過程中深入思考、深刻感悟，課堂表面上看似氣氛活躍、活動充分，實質(zhì)上活動流于形式，學生對知識的感悟停留在表層，思維沒有得到有效的訓練與發(fā)展.

（3）合并課時教學內(nèi)容，大量進行概率計算及說理試題的模式化訓練.

受應(yīng)試教育的影響，部分教師將解題作為教學的主要目標，對于教材設(shè)計的試驗活動一言以蔽之，將幾節(jié)課的教學內(nèi)容合并為一節(jié)課，利用節(jié)省下來的時間進行大量的概率計算及做題訓練. 這種功利化的教學將學生成長與應(yīng)試的關(guān)系本末倒置，忽略了數(shù)學在形成人的理性思維、科學精神和促進學生智力發(fā)展中發(fā)揮的重要作用. 而在以素養(yǎng)立意的考試中，題海戰(zhàn)術(shù)往往會“技巧”失靈、“模式”失效.

三、“隨機事件與概率”的教學建議

基于以上分析，筆者對“隨機事件與概率”一課的教學提出以下建議.

1. 以隨機現(xiàn)象為教學起點，組織教學

隨機現(xiàn)象和隨機事件是不同的兩個概念. 隨機現(xiàn)象是在一次試驗或觀測中，其結(jié)果有多種可能，事先無法準確斷定究竟哪一種結(jié)果會發(fā)生的現(xiàn)象；隨機事件是在相同的確定條件下，隨機試驗所有可能的表現(xiàn)或結(jié)果，即隨機事件是隨機試驗中的一種結(jié)果.

從概念的內(nèi)涵來看，隨機現(xiàn)象是一種外部表現(xiàn)形態(tài)，強調(diào)外在表現(xiàn)的不確定性；隨機事件是一種具體的表現(xiàn)結(jié)果，指向具體事情的發(fā)生. 例如，天氣預報明天有雨，明天可能下雨，也可能不下雨. 所以“天氣預報明天有雨，明天是否下雨的天氣情況”稱之為一個隨機現(xiàn)象. 而“天氣預報明天有雨，明天下雨”是一個具體的隨機事件，在一定條件下，這一事件有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生.

從概念的邏輯關(guān)系來看，隨機現(xiàn)象是初始概念，是用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的結(jié)果；隨機事件是隨機現(xiàn)象的具體表現(xiàn)形式，每一個隨機試驗的結(jié)果就是一個隨機事件. 在教學中引入隨機事件概念的作用是使得隨機現(xiàn)象中的結(jié)果能夠被當成對象來進行研究，結(jié)果的規(guī)律性反映了隨機現(xiàn)象的本質(zhì).

因此，隨機現(xiàn)象既是學生認知的起點，也是教師組織教學的起點，解決“為什么學”的問題；隨機事件是隨機現(xiàn)象的衍生概念，解決“學什么”的問題. 教學中，教師應(yīng)該以隨機現(xiàn)象為教學切入點，圍繞“研究什么、為什么研究”創(chuàng)設(shè)具體的問題情境展開教學.

2. 通過有意義的問題情境，感受隨機試驗是研究隨機現(xiàn)象的重要方法

生活中存在大量的隨機現(xiàn)象. 例如，天氣預報明天有雨，明天的天氣情況；抽一張彩票，彩票的中獎情況；等等. 影響這些隨機現(xiàn)象發(fā)生的因素有很多，如何從數(shù)學的角度認識和理解呢？對此，需要拋棄問題的其他屬性，只對其中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征進行研究，這就需要尋找一種有效的研究方法. 隨機試驗是在相同條件下對某種現(xiàn)象進行的大量重復觀測，此類試驗具有以下3個特征：① 在相同條件下可重復進行；② 在試驗前，所有可能的結(jié)果都是明確的；③ 在每一次試驗完成之前，不能預知會出現(xiàn)哪一種結(jié)果.

因為隨機試驗與隨機現(xiàn)象具有相同的數(shù)學屬性，所以可以采用隨機試驗的方法研究隨機現(xiàn)象. 九年級學生首次接觸隨機試驗的概念，教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)有意義的數(shù)學情境，讓學生感受運用隨機試驗研究隨機現(xiàn)象的科學性和必要性，使學生深入思考“怎樣研究”，構(gòu)建概率研究的方法和路徑.

3. 突出活動主線，引導學生通過試驗活動理解隨機事件的概念

“隨機事件與概率”是一節(jié)典型的概念課，教學的主要任務(wù)不是讓學生簡單記憶隨機事件的文字描述，而是要通過大量的數(shù)學活動引起學生強烈的主觀感悟與體驗，讓學生感悟運用隨機試驗研究隨機現(xiàn)象的必要性，體驗隨機現(xiàn)象的隨機性及通過大量重復試驗所呈現(xiàn)出的規(guī)律性. 數(shù)學試驗可以讓抽象的知識變得形象、直觀，讓內(nèi)隱的數(shù)學思維變得可視化，讓枯燥的技能訓練變得有趣. 教師要注意處理好數(shù)學活動和學生思維發(fā)展的相互關(guān)系，既要設(shè)計科學、合理的數(shù)學活動引導學生積累活動經(jīng)驗，又要抓住活動本質(zhì)，在活動過程中提出有價值的思考問題，促使學生深刻思考，不斷思辨，提升學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

四、“隨機事件與概率”的教學設(shè)計

1. 觀察情境，歸納共同特征

引言：在現(xiàn)實世界中，我們經(jīng)常會遇到一些無法預料結(jié)果的生活現(xiàn)象. 例如，天氣預報明天有雨，明天的天氣情況；抽一張彩票，彩票的中獎情況；打電話給某人，對方是否在通話中的情況；等等.

問題1：上述生活現(xiàn)象有什么共同特征？

師生活動：學生自由回答問題后，師生總結(jié)上述生活現(xiàn)象的共同特征如下.（1）每一種現(xiàn)象的結(jié)果有不同的情況；（2）具體會發(fā)生哪一種情況，事先無法預料.

教師總結(jié)：此種生活現(xiàn)象給我們不確定的感覺，我們稱之為不確定現(xiàn)象，也稱為隨機現(xiàn)象.

【設(shè)計意圖】從生活中的隨機現(xiàn)象切入教學，明確研究對象.

2. 創(chuàng)設(shè)情境，確定研究方法

情境：小明與小麗做拋硬幣的游戲，游戲規(guī)則如下. 將一枚硬幣拋擲2次，如果2次出現(xiàn)相同面，則小明贏；如果2次出現(xiàn)不同面，則小麗贏.

問題2：將一枚硬幣拋擲2次，2次出現(xiàn)相同面或不同面是隨機現(xiàn)象嗎？怎樣用數(shù)學的方法研究生活中的隨機現(xiàn)象呢？

師生活動：學生自由發(fā)言、討論交流，隨后教師組織課堂提問.

教師總結(jié)：為了研究方便，我們常常在一定條件下通過做大量重復試驗的方法研究生活中的隨機現(xiàn)象，這種試驗稱為隨機試驗.

【設(shè)計意圖】對于“將一枚硬幣拋擲2次，2次出現(xiàn)相同面或不同面是隨機現(xiàn)象嗎？”這個問題，學生難以通過分析得到結(jié)論，也難以基于直覺進行直觀判斷，需要尋找合適的數(shù)學方法解決問題. 教師由此提出“怎樣用數(shù)學的方法研究生活中的隨機現(xiàn)象呢？”引發(fā)學生的廣泛討論，激發(fā)學生愿意參與隨機試驗活動的興趣，體會隨機試驗是研究隨機現(xiàn)象的重要方法，了解隨機試驗的概念及作用.

3. 試驗操作，探究理解概念

引言：為了更好地運用隨機試驗研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律，我們先來做幾個簡單的隨機試驗.

探究1：三種事件的概念探究.

活動準備：教師提前準備三個不透明的箱子，分別編號為1，2，3. 在箱子中裝入形狀、大小、質(zhì)地完全相同，只有顏色不同的小球，并告訴學生每個箱子中球的顏色和數(shù)量. 其中，1號箱裝入6個黑球；2號箱裝入6個白球；3號箱裝入4個黑球、2個白球.

師生活動：基于“某小組要從3名學生中選派1名學生代表觀看學校的文藝演出，決定采用摸球的方式確定具體人員. 3名學生從3個箱子中分別摸球10次，摸到黑球最多的人觀看演出”的問題情境，教師指定3名學生上臺進行摸球試驗并記錄摸到黑球的次數(shù). 在每名學生摸球前，教師都提出以下問題.（1）你選擇幾號箱進行摸球試驗？為什么？（2）每次摸球時，你能確定摸到球的顏色嗎？為什么？試驗結(jié)束后，教師追問：從3個不同的箱子中“摸出黑球”這一事件有什么不同？為什么？

【設(shè)計意圖】通過以上對比試驗，讓學生強烈感受到：從1號箱中摸出黑球是一定會發(fā)生的事件；從2號箱中摸出黑球是一定不會發(fā)生的事件；從3號箱中摸出黑球有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生. 這樣設(shè)計試驗活動，一方面，讓學生體會在不同條件下摸到黑球的可能性是不同的；另一方面，通過試驗明確前兩種事件分別對應(yīng)必然事件和不可能事件. 自然地引出必然事件和不可能事件的概念.

問題3：“從3號箱中摸出黑球”與下列事件相比較，有什么相同之處？

（1）天氣預報明天有雨，明天下雨；

（2）抽一張彩票，彩票中獎；

（3）打電話給某人，對方電話正在通話中.

【設(shè)計意圖】隨機事件是隨機現(xiàn)象的衍生概念，對后繼內(nèi)容的學習起著重要的奠基作用. 通過對比，加深學生對隨機事件概念的理解，歸納總結(jié)隨機事件的概念.

探究2：隨機事件發(fā)生可能性不同的探究.

師生活動1：將學生分成10組，為每組提供1個不透明的箱子，箱內(nèi)分別裝入4個黑球、2個白球（球的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，只有顏色不同）. 每組指派一人進行3次摸球試驗，另一人進行記錄，活動結(jié)束后，教師展示各小組記錄的數(shù)據(jù).

問題4：比較10個小組的試驗數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【設(shè)計意圖】每個小組進行3次試驗，由于試驗次數(shù)較少，可能會出現(xiàn)摸出黑球的次數(shù)等于或少于白球的情況，引導學生交流討論后，教師解釋說明：由于每次試驗具有隨機性，有可能摸到黑球，也有可能摸到白球. 目的是讓學生感受隨機事件的發(fā)生具有隨機性.

師生活動2：繼續(xù)剛才的摸球試驗. 每組指派一人進行10次摸球試驗，另一人進行記錄，活動結(jié)束后，教師匯總各小組數(shù)據(jù).

問題5：隨著試驗次數(shù)的增加，再次比較10個小組的試驗數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【設(shè)計意圖】隨著試驗次數(shù)的增加，每個小組摸到黑球的次數(shù)大多數(shù)會多于摸到白球的次數(shù)，此處要充分引導學生討論交流. 教師要注意解釋的合理性：由于每個箱子中的黑球個數(shù)多于白球個數(shù)，隨著試驗次數(shù)的增加，摸到黑球的可能性多數(shù)情況下會大于摸到白球的可能性.

4. 拓展探究，解決實際問題

引言：我們已經(jīng)做了一些隨機試驗，接下來，我們一起利用隨機試驗探究上課時提出的“拋硬幣”問題.

活動準備：將學生分成10組，每組準備1枚硬幣.

試驗活動：每組指派一名學生代表連續(xù)拋擲2次硬幣，并記錄相同面與不同面的數(shù)據(jù). 共進行10次試驗，活動結(jié)束后，教師匯總各小組記錄的數(shù)據(jù).

問題6：對比試驗結(jié)果，你認為該游戲公平嗎？如何運用數(shù)學的方法解釋游戲的公平性？

【設(shè)計意圖】首先，學生通過確定試驗方案解決、參與試驗活動，感受運用隨機試驗可以研究生活中的隨機現(xiàn)象，加強學生運用隨機觀念分析問題、解決問題的意識；其次，問題6啟發(fā)學生思考如何科學地解釋游戲是否公平，為后續(xù)學習埋下伏筆.

5. 課堂小結(jié)，鞏固學習知識

問題7：你能列舉一個生活中的隨機現(xiàn)象嗎？怎樣設(shè)計隨機試驗研究這樣的隨機現(xiàn)象呢？

【設(shè)計意圖】隨機現(xiàn)象是本節(jié)課學生學習的起點，通過列舉生活中的隨機現(xiàn)象，引導學生理解概念，并思考如何設(shè)計恰當?shù)碾S機試驗研究問題、解決問題，激發(fā)學生進一步學習隨機現(xiàn)象的興趣與愿望.

五、結(jié)束語

“隨機事件與概率”一課對于培養(yǎng)學生的隨機觀念和數(shù)據(jù)分析觀念起著重要的奠基作用，教師要在“為什么研究、研究什么、怎樣研究”三個方面深入思考，設(shè)計有意義的數(shù)學活動，引導學生經(jīng)歷“隨機現(xiàn)象的觀察—研究方法的確定—隨機試驗活動的開展—隨機事件概念的抽象”的過程，在這個過程中引導學生感受現(xiàn)實世界廣泛存在著隨機現(xiàn)象，理解隨機現(xiàn)象中蘊含的客觀規(guī)律，認識到隨機試驗是研究這一數(shù)學規(guī)律的有效方法，從而幫助學生積累研究隨機現(xiàn)象，進行隨機試驗的數(shù)學活動經(jīng)驗，體會隨機事件發(fā)生的隨機性和規(guī)律性，為后續(xù)概率內(nèi)容的學習提供方法基礎(chǔ)和實踐路徑.

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