基于范希爾理論的幾何題評講

汪晶晶

摘? 要：通過分析某次八年級期中測試中的一道幾何題及學生的答題情況，發現學生的思維弱點，然后依據范希爾理論進行教學，使不同幾何思維水平的學生得到不同的發展，為學生逐步形成數學的一般觀念奠定基礎.

關鍵詞：范希爾理論；幾何思維水平；試題評講

范希爾理論是幾何教學研究中最有影響的理論之一，它是由荷蘭中學數學教師范希爾夫婦研究而提出的，其核心內容有兩個：一是幾何思維的五個水平；二是與之對應的五個教學階段，即“學前咨詢—引導定向—闡明—自由定向—整合”. 范希爾理論的應用比較廣泛，不僅可以用于幾何思維水平的評估、數學課程的編制及不同教材比較研究的理論框架，還可以用于教學活動的設計. 學生思維水平進階（即從一個水平到下一個水平的發展）的五個教學階段為我們提供了一種幾何教學模式.

在一次八年級下學期的期中測試中，得分率最低的不是最后一道綜合題，反而是倒數第三題. 這種“反常”現象引起了筆者的關注. 大數據顯示，共3 396名學生參加此次測試. 題目滿分為9分，平均分為1.96分，得分率為21.79%，滿分率為6.42%，零分率為58.57%，難度系數為0.22. 這背后的原因究竟是什么？我們應該如何改進教學？筆者通過查閱學生的答題卡，以及對部分學生進行訪談，分析原因，了解學生的幾何思維水平，并依據范希爾理論進行教學實踐.

一、題目及學生答題情況分析

1. 題目分析

題目? 如圖1，已知正方形ABCD的邊長為8，連接AC，BD交于點O，CE平分∠ACD交BD于點E.

（1）求DE的長；

（2）如圖2，過點E作EF⊥CE，交AB于點F，求AF的長.

這是一道幾何綜合題，考查正方形的性質、等腰三角形的判定、角平分線的性質、全等三角形的性質和判定、勾股定理等知識，同時考查了求線段長度、證明線段相等的方法，蘊含了數形結合、方程、化歸等思想.

2. 學生答題情況分析

在此次測試之前，學生已經學習了三角形和平行四邊形的有關知識，并且掌握了三角形和平行四邊形中的重要定理，知道平行四邊形問題通常可以轉化為三角形問題進行解決.

筆者對所教兩個班級的部分學生進行訪談，總結出學生沒有得分的情況有三種：第一種是讀完題目感覺太難就放棄了；第二種是讀完題目思考一段時間，沒有任何思路，于是暫時放棄，繼續做后面的題，若有時間再返回來做此題，然而考試時間有限，后面沒有時間繼續思考此題；第三種是讀完題目覺得要添加輔助線，但不知道如何添加. 其中，第三種情況的學生不在少數. 而且，由統計結果發現，對于第（1）小題，作輔助線的人數遠遠超過沒有作輔助線的人數. 可見，很多學生在遇到較難的幾何題時，第一反應是作輔助線，至于為什么要作輔助線，如何作輔助線，卻沒有思考. 這說明學生在遇到新的幾何問題時，更多的是嘗試，解題目標不明確，思路不夠清晰，不知道思考的出發點在哪里，應該按照怎樣的順序和步驟去思考. 由此可見，學生的幾何思維水平有待提升.

二、題目評講

在了解學生思維的薄弱點后，筆者依據范希爾理論對此題的教學進行設計，明晰學生幾何思維發展的次序，幫助學生有序思考問題，提升幾何思維水平. 以下詳細介紹在A班對此題第（1）小題評講的教學過程.

階段1：學前咨詢.

師：直觀觀察圖1，可以發現此圖中有哪些我們熟悉的特殊幾何圖形？

生：正方形ABCD，等腰直角三角形，Rt△COE.

師：還有嗎？

生1：△BCE好像是等腰三角形.

師：對，直觀上可以看出△BCE是等腰三角形.

【評析】在此階段，學生對幾何圖形進行整體識別和直觀描述，從而對幾何圖形有了初步的認識. 教師引導學生從整體上認識圖形，觀察其中有哪些特殊的幾何圖形，初步感受圖形之間的聯系，并在思維中形成視覺表象，為下一階段的學習作準備.

階段2：引導定向.

師：對于求線段DE的長，你能想到什么方法？

生2：我想到DE = BD - BE. 因為BD是正方形ABCD的對角線，可以求得BD的長為[82]，只要求出BE的長就可以了. 接下來如果能夠證明△BCE是等腰三角形，那么BE = BC，就可以求出DE的長了.（方法1.）

師：很好！還有其他不同的想法嗎？

生3：如圖3，過點E作EF⊥CD于點F.

師：你是怎么想到作這條輔助線的？

生3：因為∠CDE = 45°，所以想到以DE為斜邊構造等腰直角三角形. 已知CE是∠ACD的平分線，根據角平分線的性質——角平分線上的點到角兩邊的距離相等，并且已經有EO⊥AC，所以過點E作角的另一邊的垂線段.（方法2.）

師：生3的思路非常清晰，有理有據. 我們可以構造等腰直角三角形DEF來直接求DE的長，尤其注意到這條輔助線不是突然從大腦里蹦出來的，而是聯系已知和未知分析得出的.

【評析】在此階段，教師通過問題引導學生找到思考的方向，逐漸熟悉這一圖形結構的特性. 教師引導學生“直奔”目標，思考求線段長度的方法，即可以直接求或者轉化為其他線段的和或差，結合已知分析問題，架構起從已知通向未知的橋梁. 傅種孫先生在《高中平面幾何教科書》序言中寫道：“幾何之務，不在知其然而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然.”幾何教學中，教師只有引導學生思考“何由以知其所以然”，才能真正地“教思維”，提升學生的幾何思維水平.

【評析】學生通過前面的經驗積累和教師最低程度的提示，明確了解決問題的方向，大膽表達自己的想法，開始厘清圖形的位置關系和數量關系. 數學推理是數學三個基本思想之一，是得到數學命題或者驗證數學命題的思維過程，包含歸納推理和演繹推理兩種形式. 對于數學論證而言，歸納推理是為了得到結論的推理，演繹推理是為了證明結論的推理，這兩種推理的有機結合構建了數學的嚴謹性. 經過前面兩個階段的觀察、猜想、分析，學生主要是進行歸納推理. 在此階段，教師引導學生梳理思路，計算并進行演繹推理，形成特殊角及特殊邊之間的相互聯系與轉化，得出結論.

【評析】在此階段，學生遇到了更復雜或多種解決問題的方法，在尋找方法和解決問題的過程中獲得了經驗，并明確了學習對象之間的關系. 教師引導學生從特殊到一般，得出結論：若正方形邊長為a，則[DE=2a-a]. 學生初步建立模型觀念，如圖6，在等腰直角三角形OCD中，CE平分∠OCD，則[DE=2CD-][CD]. 解決變式問題時，學生可以識別或構造模型，直接得出結論[AF=2AC-AC，DG=2DE-][DE]. 通過變式訓練，培養學生多角度思考問題的能力和整體觀，促進學生對問題更深層次的理解.

【評析】學生暢所欲言、分享交流，教師幫助學生內化知識，明晰思考問題的一般順序，優化和發展學生的數學認知結構，提升思維水平.

第（2）小題的教學過程與第（1）小題類似，也是依據范希爾理論，經歷五個教學階段，在此不再贅述.

三、課后反饋

筆者設計了如下問題要求學生在課后解決.

如圖8，已知菱形ABCD的邊長為[a]，∠ABC = 60°，連接AC，BD交于點O，CE平分∠ACD交BD于點E，

（1）求DE的長；

（2）如圖9，過點E作EF⊥CE，交AB于點F，求AF的長；

（3）如圖10，過點E作EG⊥CE，交CD于點G，求DG的長.

【評析】此題將題目中的正方形變為含有60°角的菱形，雖然圖形變了，但是圖形的對稱性沒有變，角和邊的特殊性沒有變. 解決第（1）小題的方法可以由原題第（1）小題的方法遷移得來. 解決第（2）小題時，課堂上用到的方法不能完全遷移，方法1在這里是不適用的，但是可以用相似的知識解決，方法2可以遷移到這里. 第（3）小題是在第（2）小題基礎上的變式，考查學生思維的靈活性.

四、教學反思

1. 范希爾理論具有分層教學的價值，使不同幾何思維水平的學生得到不同的發展

初中階段實行均衡分班，然而班級學生的幾何思維水平呈現差異性. 如果學生的思維和教師的教學不處于同一個水平，那么就不可能取得預期的教學效果. 學生的思維水平的發展是循序漸進的，要在特定的水平順利發展，必須掌握前一個水平的各個概念和策略. 筆者依據范希爾理論，按照“學前咨詢—引導定向—闡明—自由定向—整合”五個階段進行教學，幫助學生建構學習環境，提高教學效率. 這五個階段的教學層層遞進，環環相扣，分別對應范希爾理論的五個思維水平，所有學生都至少能夠達到第一個水平. 本節課的教學起點較低，每位學生都能在原有的思維水平上“跳一跳”，向更高的思維水平上發展.

2. 范希爾理論具有培養學生直覺思維、創造性思維和推理論證能力的教學價值

一般地，平面幾何分為直觀幾何、實驗幾何和論證幾何三個階段. 直觀幾何和實驗幾何特別關注學生的幾何活動經驗和積累，以及幾何直觀的發展，在培養人的直覺思維和創造性思維方面起著重要作用. 直觀幾何、實驗幾何是學習推理論證幾何的必要前提，具有論證幾何無法取代的教育作用和價值. 然而，在幾何教學中，不少教師忽視了直觀幾何和實驗幾何的價值，甚至跳過前兩個階段，直接到論證幾何階段. 這看似節省了時間，其實不利于學生幾何思維水平的發展. 從學生的答題情況可以發現，不少學生沒有仔細觀察圖中的特殊圖形，錯過直觀猜想“△BCE是等腰三角形”的時機. 范希爾理論的五個教學階段中，在學前咨詢階段和引導定向階段，教師要先引導學生觀察圖中的特殊圖形，并大膽猜想結論，經歷直觀幾何和實驗幾何，再培養學生的直覺思維和創造性思維. 在闡明和自由定向階段，教師引導學生進行演繹推理，培養學生的推理能力.

3. 范希爾理論有助于學生有序探究幾何問題，為逐步形成數學的一般觀念奠定基礎

有些學生之所以畏懼幾何，就是因為在做幾何題時目標不明確，思路不夠清晰，因而在學習幾何時自信心不足. 依據范希爾理論教學，學生能明晰解決幾何問題的五個步驟，掌握有序思考幾何問題的方法，不僅能夠提升學習幾何的信心，而且今后能夠自己獨立研究幾何問題，逐步形成解決數學問題的一般觀念，這也是教師教學追求的終極目標.

參考文獻：

［1］鮑建生，周超. 數學學習的心理基礎與過程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.

［2］章建躍. 學會用數學的方式解讀內容設計教學：以“相交線”為例［J］. 數學通報，2019，58（1）：8-12，15.

［3］史寧中. 數學基本思想18講［M］. 北京：北京師范大學出版社，2015.

［4］孔凡哲，史亮. 幾何課程設計方式的比較分析：直觀幾何、實驗幾何與綜合幾何課程設計的國際比較［J］. 數學通報，2006（10）：7-11.

［5］李坤麗，胡典順. 基于范希爾幾何水平理論“直線斜率”的教學設計［J］. 數學通訊，2019（18）：26-29，35.