發展高階能力的數學教學設計

摘? 要：發展高階能力的關鍵是設置挑戰性任務. 在數學教學中，根據教學內容制訂層次性目標，通過變換任務空間、變換任務的結構序列和變換任務生成的主體使設計的任務具有挑戰性，通過布置選擇性作業，激發學生生成課堂所要探究的內容和方法，發展學生的高階能力.

關鍵詞：高階能力；數學教學；教學設計

高階能力是以高階思維為核心解決復雜任務的心理特征. 數學教學中發展高階能力主要是運用數學概念、原理和學生元認知，通過抽象、推理、建模、批判、問題解決與決策、自我調節等技能，達到理解應用、分析評價、創造等水平的高層次能力. 通過分析數學內容的思維層次和學生思維的落腳點，制訂層次性目標，設計挑戰性任務，并布置選擇性作業，引發學生思考，從而發展學生的高階能力.

下面以浙教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊（以下統稱“教材”）中的“4.5 三角形的中位線”為例，談談如何設計教學安排，實現學生高階能力的發展.

一、制訂層次性目標

數學課程目標包括“了解”“理解”“掌握”“運用”等表述結果目標的行為動詞和“經歷”“體驗”“感悟”“探索”等表述過程目標的行為動詞. 通過細化目標層次，導向學生高階能力的發展.

1. 教學目標體現思維層級

以知識、技能為載體的數學教學目標中蘊含的主線是發展學生思維能力的層級.

在三角形的中位線定理的證明中，目標1是能分析三角形的中位線定理的組成要素、結構（要素組成關系）等. 目標2是綜合、選擇和關聯各要素，尋找策略，屬于比較、綜合的思維層次. 如圖1，DE是△ABC的中位線，證明DE平行且等于1/2BC. 那么，什么知識涉及線段平行呢？可關聯到平行四邊形的知識（對邊平行且相等）. 圖1中DE明顯不等于BC，結合題目要求證明“DE等于1/2BC”，想到延長DE，構造平行四邊形. 這是在尋找模型的過程，進一步反思條件和結論，對照平行四邊形的模型特征“對邊平行且相等”，聯通條件與結論，得到解決途徑. 目標3是通過比較尋求合適的操作辦法. 有多種方法可以得到平行四邊形，如通過中心對稱、延長法、截短法、同一法等. 比較不同的作法，抓住平行的本質特征，經過比較、反思、決策得到最優方案. 目標4是回顧、提煉與拓展，體現創造性思維水平. 例如，思考：當D，E是三等分點、n等分點時，還能得到相關結論嗎？當倍半關系變成線段比值為k時，條件需要怎么變化？當將三角形的兩邊中點拓展成四邊形的兩邊中點、多邊形的兩邊中點時，又能得到什么結論呢？這些任務指令促進學生進行方法遷移和拓展.

2.“探索”目標對應高階思維能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中，表述過程目標的行為動詞刻畫了學生數學活動的能力水平.“探索”目標所描述的數學內容的學習特征與反映高階思維能力的活動完全一致，如表1所示.

落實“探索”目標，可以有效促進學生高階思維的參與. 例如，《標準》要求探索并證明三角形的中位線定理. 學生想要探索三角形的中位線的性質，就要分析：三角形的中位線與原三角形有什么關系？三角形的中位線與什么元素有關系？它們之間是什么關系？用什么樣的方式得到關系？教師通過讓學生嘗試猜測并驗證得到結論，而不是讓學生“測量”，暗示線段之間的數量關系. 探索任務啟發學生形成思考途徑. 第一步，確定研究對象是三角形的中位線，是一條線段. 第二步，考慮這條線段與相關線段（如三角形的三邊，包括與之相交的兩邊及第三邊）的關系，涉及數量關系與位置關系. 第三步，得到三角形的中位線與相交的兩邊的關系. 學生在猜測三角形的中位線與第三邊的關系時會有一定難度，因此可以從特殊三角形（已有經驗）入手. 根據對等邊三角形和直角三角形的分析（如圖2），由學生猜測一般三角形的性質：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半. 第四步，由學生畫圖，寫出已知、求證，并證明. 第五步，學生用自己的語言歸納和概括得到三角形的中位線定理. 第六步，得到概念后進一步辨析、應用和拓展，對概念的基本要素進一步收斂和發散.

知識探究過程，也是思維序化的過程. 外在知識與學生經驗之間互相轉化，通過調動學生以往的經驗來參與當下的學習，同時將當下的學習內容與已有的經驗建立起結構性的關聯，發展學生的關聯能力及系統化自主建構能力，從而指向高階能力的發展.

3. 思維行為顯化高階能力

課堂中，由學生推斷、說理，概括、歸納思維路徑，并對思維過程進行評價、反思、遷移和創造，形成探究幾何圖形的一般能力和學習的關鍵能力.

解決問題只是完成任務的一部分，進一步要求學生“表述思維路徑”及回答“遇到什么挫折，怎么解決所碰到的挫折，提出了什么疑問”是對思維的評價、反思、自我調適；“找到更好的方法”則驅動比較評價和發散的思維；“歸納和提煉方法、主動應用、拓展變式”是系列化、創造的過程；“遷移到學習新知識甚至其他學科”是學習方式的升華，具有方法論的意義，如表2所示.

通過數學問題的解決，讓學生得到問題研究的一般方法和思考、探究的能力.

二、設計挑戰性任務

引發學生高階能力的關鍵是要有挑戰性的任務. 通過設計目標指導下的課程內容，使之具有挑戰性，激發學生應用、創造等高層次思維的參與，實現高階能力的發展.

1. 變換任務空間

將封閉性任務變成開放性任務，減少對學生思維的限制，增加學生思維的空間．任務設置越開放，學生解決問題的方法就越多樣，參與活動的技能就越多元，就越能發展學生的高階能力．

例如，設置任務：如圖1，△ABC是銳角三角形，AB > AC，點D是邊AB的中點，點E在邊AC上. ① 如果DE∥BC，那么DE =1/2BC. ② 如果DE =1/2BC，那么DE∥BC. 上述兩個命題是否成立？若成立，說明理由；若不成立，舉出反例．

解決這個問題，學生需要比較、反思、尋找策略，涉及建模和批判性思維.

再如，得到三角形的中位線定理后，讓學生思考：三角形的中位線描述了哪些量之間的關系？這些量可能得到什么關系？學生思考圖1三角形的中位線涉及五個要素：① 點D是邊AB的中點；② 點E是邊AC的中點；③ DE是△ABC的中位線；④ DE∥BC；⑤[DE=1/2BC. 將五個要素中的任意兩個（如①②，①③，①④，①⑤；②③，②④，②⑤；③④，③⑤；④⑤）組成命題的條件，由其余的三個要素作為結論，得到多個命題，再通過學生證明，列舉反例判定得到真命題和假命題.

進一步思考：三角形的中位線定理反映了圖形中元素的位置關系與數量關系（邊的比例），可以將其進一步推廣得到什么結論？（為學習平行線分線段成比例定理進而到相似三角形判定作鋪墊.）

在解決問題時，初始認知狀態和目標認知狀態之間存在著大量的備選路徑，這些可能存在的狀態和路徑就構成了整個問題空間. 增大問題空間，學生進行問題解決的策略和思考路徑會更擴散，學生創造的機會就更多.

2. 變換任務序列

將綜合問題分解成基本要素是分析性思維；反過來，將基本要素編制成數學題，就涉及創造性思維. 變換任務序列，有利于學生開展逆向思維、審辯式思維，促進高階能力訓練.

（1）分解要素.

一個綜合的數學題好比復雜的機器，它的基本組成零件是數學知識要素. 學生解決問題時把綜合問題分解成基本要素，再根據每個基本要素對應的基本圖形解決問題．

（2）補全要素.

將綜合圖形問題分解成基本圖形，當發現基本圖形不完整時，把它補完整就需要添加輔助線. 例如，如圖3，在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點. 求證：四邊形EFGH是平行四邊形. 條件中有三角形的中位線（如EH）而無三角形，所以要添加輔助線（連接BD）構造△ABD. 有關線段倍半關系：如圖4，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AF為∠BAC的平分線，交BD于點E，交BC于點F. 求證：OE =1/2FC. 所求的結論OE =1/2FC涉及線段的倍半關系，而點O是線段AC，BD的中點，所以考慮三角形的中位線的知識. 根據三角形的中位線的基本圖形，OE是半線段，看作基本圖形的中位線，缺少中位線基本圖形中三角形的底邊，所以過點C作CG∥OB，交AF的延長線于點G，從而將△ACG這個基本圖形補充完整.

（3）重組、拓展要素.

通過基本要素重組、變換條件、變換結論、改變圖形的位置、特殊條件一般化等方式，讓學生進行問題的變式和拓展，體驗問題結構和變式本質. 進一步，由學生根據基本要素自己編制數學題，考查學生將零件組成成品的能力，有利于學生體驗數學概念的本質和由基本要素組成圖形結構的過程，有利于激發學生對數學的學習興趣. 例如，學生學習了三角形的中位線的性質，可以編制有關“三角形三條中位線的關系”“四邊形的對邊中點連線、鄰邊中點連線的性質”等問題，將中點、平行、線段倍半關系與其他知識點結合也可以得到許多數學題.

3. 變換任務主體

傳統課堂常用PPT呈現知識，用解題代替數學教學，學生的自主性和創造性受到限制. 改變任務設計的主體時，課堂教學中不由教師預先設定所要探究的具體內容，而是由學生根據已有知識的邏輯結構生成所要探究的任務. 課堂中的題目由學生根據數學知識和情境自己編制出來，學生親歷任務的產生和解決過程.

由學生自發得到探究內容. 例如，三角形的中位線有什么性質？怎么研究？學生知道要研究三角形的中位線的性質，所以要思考研究性質要從哪些角度入手，要確定這條中位線與原有三角形的要素（邊、角、三線）的關系，從而確定研究對象，進一步思考它們之間存在的數量關系或者位置關系. 學生探究得到三角形的中位線定理后，思考它適用于解決什么類型的問題，有哪些涉及三角形的中位線的數學題. 因此，學生要分析三角形的中位線相關要素之間的關系. 學生自主探究時，聚焦了學生感興趣的內容，是自我探索的開端，屬于自我調整策略系統，同時需要啟動已有知識和策略，有利于更大程度地促進學生創造性思維的發展.

由學生進行群組互動并反饋探究任務得到的思維成果和經驗. ① 反饋各自的觀點. ② 反饋有創造性的想法，包括有創造性但沒有形成結論的想法和有創造性但形成的結論是錯誤的想法. ③ 反饋多種不同的想法，許多學生想到一種證明方法后，往往就不再思考其他策略，所以應該培養學生養成追蹤問題的本質的習慣，證明三角形的中位線定理的關鍵是將三角形轉化為平行四邊形，由平行四邊形的判定方法可以得到多種思考方法. ④ 反饋思維路徑及其發現過程，包括中間遇到的挫折，許多學生對圖1有中心對稱的意識，但是想不到作中心對稱的對象是△ADE，相反情況是學生知道要改變△ADE的位置，但不會用中心對稱說明，習慣用全等來解釋（這也說明學生對中心對稱的相應內容沒有具體化）. ⑤ 反饋學生還有什么疑問或產生了什么新問題，如有的學生提出疑問：為什么要把三角形的內容安排在平行四邊形的學習框架中，這說明學生是結構化、整體性地思考問題，把學習內容不斷地納入自我的知識系統. ⑥ 學生不僅反饋編制的數學題，還反饋問題編制的策略和路徑及所編問題的創新點. 在數學推理和交流中，學生經歷比較、批判、決策等過程，發展了分析、評價、創造等高階能力.

三、布置選擇性作業

一般一堂新課涉及5個知識點，每個知識點設置3個層次的練習題，遵循學生的思維特征與知識點之間的邏輯聯系，以知識模塊為中心，編排一定秩序的序列作業題，那么每天的數學作業量約是15道數學題.

1. 作業選擇

對于“三角形的中位線”這節課，教材上有9道數學題（教材第99頁的課內練習有2道題，第100頁的作業題有5道題，第107頁的目標與評定有2道題），加上作業本中的7道題，共16道數學題，可以供學生進行如下選擇.

（1）由學生選擇其中涉及不同知識點或不同層次的9道數學題. 這個作業比讓學生完成全部作業要求更高，因為它要求學生區分題目所考查的具體知識要素和思維層次.

（2）由學生選做其中涉及不同知識點的6道題，并分解每道題中的基本要素和基本圖形. 要求學生厘清要素，體現分析、綜合、解決問題的能力.

（3）由學生選做其中涉及不同知識點的3道題，同時由學生根據知識要素自主編題. 選出學生編的好題，以學生姓名命名向全班張貼展示，其他學生若有更好的解答，則姓名會被相繼替換. 這種作業可以體現學生的創造能力和比較反思能力.

2. 作業交互

每周末學生輪當“小老師”向全班反饋編題意圖及關鍵點、解法優越性及突破點、不同解法比較和改進策略. 這個環節給學生提供思維碰撞、創造的平臺，學生以題目原創新穎、思維含量高、解法多樣為評價標準，掀起討論數學、研究數學的熱情. 學生在實際交互中發展評價、反思、創造等高階能力.

為了實現作業探究實踐、學生團隊合作，得到學習創造性成果，可以把作業前置，使學生有充足的時間和空間保障.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］張娟萍. 高階思維：初中數學教學變革的新視角［M］. 杭州：浙江大學出版社，2017.