數學建模：實現現實世界與數學世界的對話

康葉紅　葉旭山

摘? 要：2022年中考數學江蘇南京卷第25題是整份試卷的代數壓軸題，以問題串的形式呈現試題，以水池注水為實際情境，考查學生綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力. 以該題為例，從試題評析、解法賞析、拓展研究和教學啟示等方面進行了思考.

關鍵詞：一次函數；數學建模；核心素養

2022年中考數學江蘇南京卷第25題以純文字的形式呈現，側重基礎，重視思維，聚焦能力和素養立意，重在考查學生運用一次函數模型分析、解決簡單實際問題的能力及建模思想，凸顯對學生的抽象能力、模型觀念和應用意識等的考查.

一、試題呈現

二、試題評析

三、思路探析及解法賞析

【評析】函數刻畫了兩個變量之間的對應關系. 該題刻畫了甲、乙水池注水時間差與每分鐘向甲水池注水量a之間的關系，可以用函數觀點來解決問題，充分利用函數的表達式與圖象，滲透數形結合思想. 用函數觀點處理實際問題時，關鍵在于分析實際情境，建立函數模型，將實際問題數學化，利用數學知識重新解釋“是什么”和“為什么”來求解模型，最終嘗試基于實際背景驗證模型和完善模型，逐步形成解決實際問題的能力.

四、拓展研究

【評析】拓展1的兩種解法分別從“數”和“形”兩個角度解釋了甲水池的水量始終比乙水池水量多900 m3，也就是題目的第（2）小題. 算術方法質樸易思考，而圖象方法自然簡潔，往往會使抽象問題直觀化、復雜問題簡單化，達到優化解題途徑的目的.

五、教學啟示

1. 建立模型觀念，注重數學化能力的培養，重在“真”

初中階段學生的思維正處于形象思維向邏輯思維過渡的時期，將實際問題抽象成數學問題對學生有一定的難度. 例如，將注水問題抽象成數學問題（甲、乙水池注水時間差t與每分鐘向甲水池注水量a之間的關系），教師如何組織學生經歷數學化的過程促進學生模型觀念的建立，無疑是數學教學中的重要課題. 教師需要在“真”上下功夫，通過真實情境和真實問題，給學生提供充分的自主探究與合作交流的機會，引導學生動口、動腦，經歷真思考，培養學生的數學抽象能力.

2. 強化應用意識，重視一次函數概念和本質的理解，意在“深”

3. 關注思維發展，引導學生一題多解和多解歸一，貴在“廣”

一題多解、多解歸一是促進學生思維發展的好方法. 一題多解是從不同的角度、用多種方法、運用多種思考方式解決同一問題，思維是發散式的，體現其廣度. 在第（3）小題求a的值時，可以用算術、方程和一次函數模型等方法求解，從“數”與“形”的角度多途徑思考. 如圖11，在利用一次函數解決實際問題時，可以追求方法多樣，通過對多個解法的思考，促進學生對數學知識之間邏輯關系的理解，有助于學生把理解的知識和形成的基本技能遷移到新的問題情境中，積累數學活動經驗.

多解歸一是選擇最優化的方法解答問題，思維呈聚合式. 例如，拓展2是探求變量t（甲、乙水池注滿水的時間差）與變量a（每分鐘向甲水池注水的量）之間的關系，在一題多解之后思考多解歸一，可以促進學生在潛移默化中提升解題思維，形成解題策略.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］史寧中，曹一鳴.《義務教育數學課程標準（2022年版）》解讀［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.