加強變式探究，提高初中數學課堂教學的有效性

摘 要：新課改背景下，提高課堂教學有效性成為一項重要任務，其既要求提高“教”的有效性，也要求提高“學”的有效性。變式探究教學方法在數學課堂上應用廣泛，有利于調動學生的學習興趣，發展學生的高階思維，提升課堂整體效率，促進數學課堂中“教”與“學”的優化開展。本文圍繞提高初中數學課堂教學有效性這一目標，分析了加強變式探究的具體實施路徑，以期培養學生的變通思維，使學生感知數學思想方法，發展數學學習能力，提高數學課堂有效性。

關鍵詞：初中；數學課堂；變式探究；有效性

作者簡介：郭曉梅（1980—），女，甘肅省金昌市龍門學校。

數學在學科領域與社會生活中扮演著極其重要的角色。根據數學學科的特性來看，它研究的是人類社會各種數量關系，對學習者的思維廣度與深度有一定的要求，倘若學習者不具備變通思維，數學學習便是“一汪死水”，無法做到融會貫通。在課程改革浪潮下，變式教學法在數學課堂上得到了廣泛應用，其以“變式”引導學生變換學習視角，深入探究問題本質，學會舉一反三，形成變通思維，對數學教學與學生學習產生了有利的影響。因此，初中數學課堂應加強變式探究教學，拓寬學習廣度，延展思維深度，積極構建高質量課堂。

一、變式探究在初中數學課堂中的應用價值

（一）調動學生的學習興趣

變式探究可分為兩個層面去理解，一是“變”，二是“探”。所謂“變”是指改變題目關鍵條件或改變常規解題方法，“探”則是指基于變式觀察、分析、思考一題多變或一題多解的方法。這種教學方法改變了常規的死記硬背學習模式，強調將復雜的數學問題簡單化，在變式訓練中讓學生對題目從表象認識轉變為深入把握，透徹理解所學內容，生成新的解題思路，直觀地發現數學的奧妙，感受數學的趣味，激活學生的求知欲，調動學生的學習興趣。

（二）發展學生的高階思維

變式探究強調學生的自主學習，要求學生從不同視角去探究，以不同思維方式去辨析數學問題，或將已熟練掌握的解題思路遷移運用到不同題型之中，這個過程有利于培養學生的變通思維，激發其思維活力［1］。在數學課堂上加強變式探究學習，圍繞核心概念、數學問題、解題方法進行不同形式的變換，組織學生探究學習，可以使學生從不同思維視角得到不同的認識和理解，逐步理清數學概念與數學問題的本質，收獲不同的解題方法，有效建構知識體系，提高數學學習能力，促進思維進階發展。

（三）提升課堂整體效率

在數學課堂上加強變式探究學習，有助于學生從淺表性學習轉變為縱深性學習，通過探究不同題型發現題目設計的本質，理解相關概念、公式及定理，總結數學理論的變化規律，再通過變式訓練舉一反三，讓學生對數學知識觸類旁通，順利達成高效學習的目的［2］。另外，在對課堂進行縱深延展時，要體現學生在數學課堂中的主體地位，體現教師的科學引導作用，讓深度學習真實發生在數學課堂之中，提升課堂整體效率。

二、初中數學課堂教學實施變式探究的路徑

初中數學課程在小學數學課程的基礎上進一步拓展提升，內容設計有梯度，結構安排有層次，數學理論知識、例題與習題的設置均經過反復考量，整體上契合初中生的數學核心素養發展要求。數學課堂教學主要圍繞教材內容展開，筆者從新知講授、習題訓練、知識鞏固三個方面探索了變式探究的實施路徑，具體闡述如下。

（一）新知講授，利用變式探究夯實基礎

新知講授是數學課堂教學的核心任務。雖然初中數學教材安排的內容難度適中，但對于從未接觸過相關知識的初中生而言，他們在學習新的知識時很難在短時間內快速消化，且在課堂練習與課后作業中的出錯率較高。針對這一問題，數學課程改革也在持續優化，人教版教材在相關概念、法則和公式后設置了例題，這些例題有助于學生理解核心概念、定理和公式，在整體教學中發揮了重要作用。因此，教師在講授新知時，針對核心概念、定理和公式的講授應發揮例題的教學功能，將例題作為變式探究的載體，設計層次分明、難度適中的變式訓練，組織學生圍繞變式前后進行對比分析，使其理清相似概念或類似題型的異同，進而準確把握核心理論知識，加深對新知的理解，在變式探究中夯實基礎［3］。

例如，在人教版八年級上冊“乘法公式”的教學中，本課重點在于講授平方差公式和完全平方公式，這兩個公式都是多項式乘法的特殊情形，可用于簡化運算。在數學課堂上，為了幫助學生掌握平方差公式，理清平方差公式的運用條件，教師可結合具體例題組織變式探究。

【例題】計算（3x+2）（3x-2）。

【變式1】計算（3x+2）（2-3x）。

【變式2】計算（3x+2）（-3x-2）。

【變式3】計算（-3x+2）（3x-2）。

通過對例題進行變式設計，形成了三個相似題目，教師圍繞這四個題目組織學生探究辨析，即依據平方差公式明確其運用條件，綜合對比例題與變式后的題目，排除干擾條件后根據題目條件判斷是否可以利用平方差公式進行計算。

顯然，原例題（3x+2）（3x-2）結構符合（a+b）（a-b）=a2-b2公式條件，因此，可用平方差公式進行計算，即（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4。變式1和變式3均不符合平方差公式條件，只能根據多項式乘多項式的乘法法則計算。雖然變式2也不符合平方差公式條件，但稍做變形就可以運用完全平方公式進行簡化運算，即（3x+2）（-3x-2）=-（3x+2）（3x+2）=-（3x+2）2。

在此基礎上，教師可進一步啟發學生深入探究，發散思維，舉一反三，根據例題設計更多變式，得出（-3x-2）（3x-2）、（-3x-2）（-3x+2）等變式。師生圍繞這些變式繼續探究分析，結合教材內容歸納總結：只有符合平方差公式條件的乘法，才能運用平方差公式進行簡化計算，其他仍按照多項式x乘法法則進行計算。

此數學學習活動以變式探究輔助對平方差公式的理解和運用，引導學生在變式探究中熟悉平方差公式及其運用條件，領悟平方差公式是特殊多項式乘法的本質，學會判斷題目條件，必要時適當變形，在探究學習與拓展運用中掌握平方差公式，學會簡化計算，順利完成新知學習。

（二）一題多變，利用變式探究積累經驗

在數學課堂上，新知鞏固離不開習題訓練，習題訓練過程是對所學概念、公式、定理遷移運用的過程，抓好習題訓練相當于拿到了拓展學生思維的鑰匙。在習題訓練中幫助學生深化理解所學知識，系統建構知識體系，根據訓練結果及時發現問題，明確掌握不到位的地方，不但能幫助學生及時掌握數學知識，提高學生“學”的有效性，而且能優化課堂教學結構，提高教師“教”的有效性。基于變式探究的習題訓練可以理解為一種創造性學習活動，教師要加強變式探究引導，讓學生調取知識經驗，拓寬解題思路，圍繞所學知識多角度練習，通過一題多變靈活掌握相關概念、公式和定理，并適當向外延伸，充分感受數學知識的靈活性與實用性，在高效的習題訓練中生成新的解題思路，積累不同的解題方法。當然，數學課堂上的習題訓練并不是多而廣的“題海式”訓練，而須有目的、有計劃地設計變式訓練題目，遵循少而精的原則，切實提高習題訓練的質量，同步提升教與學的有效性［4］。

例如，在人教版八年級下冊“一次函數”的教學中，經過課堂理論知識學習，學生在習題訓練中可以準確解答見過的題型，但只要題型稍做變化，其解題思路便會受到干擾，無法準確、快速地解決問題。為了讓學生學會運用待定系數法求解一次函數的解析式，靈活掌握一次函數的概念，教師可以在課堂上運用變式探究法展開教學，圍繞習題組織變式訓練。

【原題】已知一個一次函數，當自變量x=2時，函數值y=-1；當x=5時，y=8。求這個函數的解析式。

【變式1】已知一個一次函數，經過點（2，-1）和（5，8），求這個函數的解析式。

【變式2】已知一個一次函數，經過點（2，-1），且截距是8，求這個函數的解析式。

【變式3】已知一個一次函數，經過點（2，-1），且平行于直線y=3x+2，求這個函數的解析式。

【變式4】已知一個一次函數，平行于直線y=3x+2，且截距是8，求這個函數的解析式。

上述變式訓練屬于“一題多變”，且“萬變不離其宗”，主要考查學生運用待定系數法求一次函數解析式的知識。教師在課堂上組織學生探究原題和變式習題的異同點，對不同題目中的關鍵信息進行提取轉化，將自變量與因變量、點（x，y）、截距等信息聯系起來，最終發現所有題目只是已知條件在變化，解題思路十分相似。解答此類題目可先設函數解析式為：y=kx+b，再根據變式后的已知條件依次確定解析式中未知的系數，進而得出函數解析式。在此習題的變式訓練中，教師引導學生圍繞一個知識點接觸不同題型，通過解題總結經驗，逐步形成解答此類題目的思路，掌握運用待定系數法求解一次函數的方法，既拓展了學生的思維寬度，又促進了學生對本課核心知識點的透徹理解。

（三）一題多解，利用變式探究拓展思維

在數學學習中，同一類型的數學問題往往可以從不同角度進行思考，通過探究分析形成不同的解題方法，再對不同解題方法進行對比，確定最優解法。一題多解的根本在于改變解題思維，以解決問題為目的，對數學問題的已知條件和本質做出不同的理解，改變解題思維以探索新的解題方法，對所學知識進行靈活轉化，在深度探究中形成多個解題方法。為了提高數學課堂教學有效性，在加強變式探究的要求下，教師應有意識地培養學生的變通思維，引導他們在解題時學會運用不同思路分析問題，運用不同方法解決問題，經歷對比、分析、歸納等過程，形成更完善的思維網絡，能夠從多個解題方法中找出最簡便、最適宜的那一個，并對解題方法進行優化。如此不僅可以增強學生的思維活力，還可以促使學生靈活運用所學概念、定理、公式等理論知識，充分拓展解題思維［5］。

例如，在復習人教版九年級下冊“相似三角形”時，教師引入變式探究方法，組織學生強化練習，拓展解題思維。

第一步，利用“如何證明三角形相似”導入，引導學生回顧三角形相似的證明方法：（1）兩角對應相等；（2）三邊對應成比例；（3）兩邊對應成比例并且夾角相等。

第二步，出示例題，引導學生運用所學知識解決問題。

【例題】如圖1，O為三角形ABC內任意一點，連接OA、OB、OC，在OB上任取一點E，作EF∥AB交OA于點F，作DE∥BC交OC于點D，連接DF。求證：△DEF∽△CBA。

【思路1】利用兩邊對應成比例，夾角相等證明△DEF∽△CBA。由DE∥BC，EF∥AB可知∠DEO=∠CBO，∠FEO=∠ABO，所以∠FED=∠ABC。且EF∶AB=OE∶OB=DE∶CB。因此，△DEF∽△CBA。

【思路2】利用兩角對應相等證明兩個三角形相似。由DE∥BC，EF∥AB可知OF∶OA= OE∶OB=OD∶OC，可知DF∥CA。由DE∥BC，EF∥AB可知∠FED=∠ABC，由DE∥BC，DF∥CA可知∠FDE=∠ACB。因此，△DEF∽△CBA。

【思路3】利用三邊對應成比例證明兩個三角形相似。根據前面的解題思路得出EF∶AB=DE∶CB，同理有EF∶AB=DE∶CB=OD∶OC=DF∶AC。因此，△DEF∽△CBA。

學生圍繞題目提出了三種不同的解題思路，分別運用兩邊對應成比例并且夾角相等、兩角對應相等、三邊對應成比例證明兩個三角形相似，思路不同但結果一致，均合理地證明了兩個三角形相似。對此，教師應肯定學生的解題思維，鼓勵他們積極思考一題多解的方法，并組織變式拓展練習。

【變式1】如果把原題中“O為三角形ABC內任意一點”改為“O為三角形ABC外一點”，在其他條件不變的情況下，求證：△DEF∽△CBA。

針對此題，依然利用兩邊對應成比例并且夾角相等、兩角對應相等、三邊對應成比例分別證明，引導學生進行簡單思考，自行說明解題思路，寫出解題過程。

【變式2】如果把原題中“O為三角形ABC內任意一點”改為“O在AB邊上”，在其他條件不變的情況下，求證：△DEF∽△CBA。

針對此題，大多數學生運用了兩角對應相等、兩邊對應成比例并且夾角相等這兩種方法進行解答，極少數學生運用三邊對應成比例進行解答，說明學生在解決問題時習慣性運用簡單方法去解答，師生共同圍繞三邊對應成比例的思路完成變式2的證明。

完成上述變式探究后，師生共同總結規律：很多數學問題可利用不同解題思路去解答，很多類似數學問題也可利用同一解題思路去解答。因此，我們在解答一些相似題目時，可以把相關題目綜合在一起，對比分析其中的異同，運用不同解題思維去解答一個題目，運用同一解題思維去解答不同題目，如此才能真正做到舉一反三，促進知識運用，提高解題質量和效率。變式探究學習有助于培養學生解題思維的靈活性和思考問題的深刻性，使其感受到數學的奧妙，形成進一步探索的意識，靈活運用數學知識和數學思想方法，在一題多解中實現對知識的復習鞏固目標。

結語

綜上所述，提高課堂有效性是數學教學始終不變的追求，變式探究教學方法在其廣泛運用中表現出了獨特的優勢。初中數學教師應加強變式探究教學，有目的、有計劃地設計教學活動，在新知講授、習題訓練、知識鞏固等教學活動中，培養學生的變通思維，鍛煉其知識遷移運用和解決問題的能力，幫助他們夯實數學基礎，積累解題經驗，拓展數學思維，優化數學教學成效，切實提高數學課堂有效性。

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