基于波利亞解題觀例析數(shù)學(xué)試題及其核心素養(yǎng)探究

馮亞芳　李書海

摘 要：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)和高考的熱門考點(diǎn)。三角函數(shù)相關(guān)習(xí)題情境靈活多變，解題方法多種多樣，基于波利亞解題觀，結(jié)合“怎樣解題表”的相關(guān)提示語，可以較高效率地進(jìn)行解題。因此，本文根據(jù)波利亞解題觀對(duì)高考中三角函數(shù)問題進(jìn)行實(shí)例分析，就如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行探索，以期幫助學(xué)生更好地掌握這一高效解題方法并深入了解相關(guān)問題，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：波利亞解題觀；核心素養(yǎng)；怎樣解題表；三角函數(shù)；高考試題；解題研究

中圖分類號(hào)：G424.1? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2023）02-0079-05

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）中規(guī)定的課程目標(biāo)之一是“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”[1]。處于高中學(xué)段的學(xué)生，主要的數(shù)學(xué)活動(dòng)就是解決問題，而解題能力的培養(yǎng)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的前提和保障。因此，本文對(duì)數(shù)學(xué)解題研究進(jìn)行系統(tǒng)論述，以求得出解決此類問題的一般結(jié)論。

關(guān)于數(shù)學(xué)解題研究，目前我國學(xué)者和研究人員主要集中在中學(xué)數(shù)學(xué)解題能力和教學(xué)的研究，其中研究主題主要體現(xiàn)為高中數(shù)學(xué)、函數(shù)、數(shù)學(xué)思想方法、應(yīng)用題等，對(duì)于數(shù)學(xué)解題研究集中體現(xiàn)在結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行論述，其中較為突出的解題理論就是波利亞的解題思想。結(jié)合波利亞解題觀進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，對(duì)教師而言，可以更有效地開展解題教學(xué)，從理論角度出發(fā)，上好每一節(jié)課，真正將課標(biāo)的要求落到實(shí)處，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展；對(duì)學(xué)生而言，可以更有效地掌握解題的一般思路，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，使學(xué)生真正學(xué)會(huì)自己解決問題。

三角函數(shù)作為每年高考的必考內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位。對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)都起到重要作用。但在實(shí)際解題過程中，學(xué)生面對(duì)此類問題往往會(huì)陷入知道公式卻不會(huì)用、看到問題解題思路不清晰等困境，而數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》中為人們提供了一套系統(tǒng)的解題途徑，這有利于人們掌握解題過程的一般規(guī)律[2]。而當(dāng)前，基于波利亞解題觀求解函數(shù)問題且對(duì)三角函數(shù)解題的研究并不是很多。通過閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，受學(xué)者李敏、姜文、駱萬麗等人的研究啟發(fā)，本文將根據(jù)波利亞解題觀對(duì)高考中三角函數(shù)問題進(jìn)行實(shí)例分析并就如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行探索，以期幫助學(xué)生更好地掌握這一高效解題方法并深入了解相關(guān)問題[3，4]。

2 實(shí)例分析

在歷年的高考題中，三角函數(shù)題難度往往并不是很大，此題對(duì)學(xué)生來說，應(yīng)該是必得分的題型。但是在實(shí)際情況中，部分學(xué)生并不能做到把這些題完全解決，面對(duì)簡(jiǎn)單的已知條件，學(xué)生并不能快速有效地提取相關(guān)公式，精準(zhǔn)找到解題思路，從而浪費(fèi)大量時(shí)間，增加考試負(fù)擔(dān)，影響學(xué)生水平的正常發(fā)揮。波利亞“怎樣解題”表，展示了解題的四個(gè)階段：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化[2]。結(jié)合具體實(shí)例，基于波利亞“怎樣解題”表的相關(guān)提示語，對(duì)近兩年高考三角函數(shù)的題進(jìn)行分析及其拓展。

2.1 題目1

3 思考與探討

3.1 掌握基本方法，靈活應(yīng)用“怎樣解題”表

“怎樣解題”表為解題提供了一般思路，無論是簡(jiǎn)單還是復(fù)雜題型，都可以結(jié)合波利亞的“怎樣解題”表進(jìn)行解題，那么學(xué)生應(yīng)當(dāng)如何更好的使用呢？在前面已經(jīng)結(jié)合高考三角函數(shù)的實(shí)例進(jìn)行了分析。第一，要帶有目的性。當(dāng)拿到一個(gè)問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真分析題目，確定目標(biāo)，研究和設(shè)計(jì)解題思路；第二，要有“化繁為簡(jiǎn)”“化難為易”的意識(shí)。將待解決的問題盡可能地轉(zhuǎn)化為自己熟悉、簡(jiǎn)單、易解決的問題；第三，要有創(chuàng)新性思維。當(dāng)用常規(guī)思維或正面解決一個(gè)問題比較棘手時(shí)，克服自己思維的定式，有效利用解析法和分析法，還能從問題的反面進(jìn)行思考，從而尋求新的解題思路。

3.2 基于波利亞解題觀解題，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)作為高考必考點(diǎn)，相關(guān)試題靈活多變。因此，對(duì)學(xué)生的解題能力也提出了更高的要求，基于波利亞解題觀求解相關(guān)問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過前面實(shí)例分析，將其歸納為以下幾點(diǎn)：第一，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。在解題的過程中，按照波利亞解題觀進(jìn)行解題，學(xué)生零散的、不規(guī)范的解題思路逐漸變得完整和規(guī)范，解題的思維模式也逐漸變得更加科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)；第二，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。在審題的過程中，基于波利亞解題觀，可以將原本的自然語言抽象為數(shù)學(xué)語言（文字語言、符號(hào)語言、圖表語言）等，在這些相互轉(zhuǎn)換的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力都可以得到充分地發(fā)展；第三，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。在回顧這一階段，學(xué)生回顧運(yùn)算求解的過程，去感悟運(yùn)算對(duì)象的多樣性和運(yùn)算應(yīng)用的廣泛性[5]，這對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具有重要作用。

3.3 結(jié)合“怎樣解題”表相關(guān)提示語，促進(jìn)素質(zhì)教育

“怎樣解題”表的4個(gè)步驟和程序組成了一個(gè)完善的解題教學(xué)系統(tǒng)[6]。數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題，“怎樣解題”表在解題教學(xué)中的作用不可忽視，結(jié)合“怎樣解題”表的相關(guān)提示語進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，教師不是強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生完全遵循這個(gè)模式解決問題，而是應(yīng)當(dāng)靈活、創(chuàng)造性地使用。這樣的解題教學(xué)更加注重分析解題過程和解題后的回顧，與之前那種為解題而解題、“題海戰(zhàn)術(shù)”“熟能生巧式解題”的方式截然相反。這不僅提高數(shù)學(xué)解題教學(xué)的質(zhì)量，還幫助學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上解題、掌握解題方法，從而領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，對(duì)課堂教學(xué)有回歸素質(zhì)教育的現(xiàn)實(shí)意義。

——————————

參考文獻(xiàn)：

〔1〕中華人民共和國教育部.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020修訂）.北京：人民教育出版社，2020.

〔2〕喬治·波利亞著，涂泓，馮承天譯.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

〔3〕李敏.滲透數(shù)學(xué)思想凸顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——以2021年高考三角函數(shù)試題為例[J].數(shù)理天地（高中版），2022，32（15）：55-57.

〔4〕姜文，駱萬麗.基于波利亞解題觀求解2020年高考全國Ⅰ卷第20題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2021，40（02）：55-59.

〔5〕瞿兵.基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)解題模型構(gòu)建[J].教育觀察，2019，8（14）：15-17.

〔6〕羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

收稿日期：2022-09-13

通訊作者：李書海（1966-），男，內(nèi)蒙古通遼人，教授，碩士生導(dǎo)師。研究方向：復(fù)分析及其應(yīng)用，學(xué)科教學(xué)論。

基金項(xiàng)目：赤峰學(xué)院教育碩士專項(xiàng)課題（cfxyjyss12003）