數學巡禮

將目光從我們的身邊收回，正視數學王國的大門。踏入這個國度時，我們總是早早扎入了紛繁的數字里，而忽略了數學史的存在（對了，數學史還是一個專業呢）。它告訴我們，數學從哪里來。

當然，波瀾壯闊的數學史無法在小小的雜志上悉數展開。接下來，就由來自中國科學院自然科學史研究所專門研究數學史的郭園園老師，帶你領略數學史上的一些“高光”時刻！

《幾何原本》

約在公元前300年，古希臘數學家歐幾里得寫成了13卷的《原本》。在數學中，判斷某一件事情的陳述句叫作“命題”，歐幾里得將其中最重要、最基礎的命題稱為“Elements”（原本）。《原本》中共有465個命題，數學中成千上萬的命題都由它們推理而來。這本書的第一個漢譯本是1607年由意大利傳教士利瑪竇和我國的徐光啟合作翻譯的。兩人在書名上加了“幾何”二字，從此“幾何原本”的名稱沿用至今。

《幾何原本》問世之前積累下來的數學知識是零碎的，歐幾里得最大的貢獻在于他巧妙地把這465個命題排成一個清晰明確、邏輯嚴謹的鏈條。定義、公設和公理是歐氏幾何這座大廈的根基，利用它們，歐幾里得首先證明了第一個命題。然后以第一個命題為基礎，結合其他定義、公設和公理，他又證明了第二個命題。如此循序漸進，直到證明所有命題為止。這部巨著是用公理法建立起演繹數學體系的最早典范，因此歐幾里得被稱為“幾何學之父”?！稁缀卧尽凡⒉煌昝?，直到1899年德國數學家希爾伯特的《幾何基礎》問世，才彌補了其中的一些漏洞。

無理數

無理數是無限不循環小數，不能寫成兩個整數之比。無理數的發現，最早可以追溯到古希臘畢達哥拉斯學派，這個學派有一個重要的數學信條——“萬物皆數”。數，即正整數。他們認為每樣東西的長度都是可度量的。要度量長度，就需要長度單位，畢達哥拉斯學派假定這樣的單位總是存在的，一旦找到這樣的單位長度，它就不可再分。同樣，他們認為任何兩條不等長的線段，總有一條最大公度線段，也就是說，任意兩條線段的長度都可以表示成兩個正整數之比。學派成員希帕索斯通過嚴格的邏輯推理發現，等腰直角三角形的斜邊與其直角邊不存在最大公度線段，即正方形對角線與其一邊之比不能用兩個整數之比表達，以現在的眼光來看，相當于根號2∶1不能表示成兩個正整數之比。這一發現迫使畢達哥拉斯學派放棄“萬物皆數”的基本哲學觀點，產生了第一次數學危機。直到1872年，德國數學家戴德金從連續性出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了這場危機。

素數

數論是研究整數性質的一門古老數學分支。素數是數論中的一個重要概念，《幾何原本》中就已經給出了素數的定義：素數是只能為一個單位所量盡者。現代數論中的素數定義是：除1和它本身以外，再無正整數約數的數稱為素數，也稱質數。任何大于1的整數，要么本身是素數，要么可以寫成一系列素數的乘積形式?？梢哉f，素數是建筑整數大廈的基石。

古希臘數學家埃拉托塞尼曾給出過素數篩選方法：要找到不超過某個正整數Ｎ的素數，先列出不超過根號N的全體素數：2，3，5，7，…，ｐ（ｐ≤根號N）。畫去1，留下2，把2的倍數畫去；再留下3，把3的倍數畫去；繼續下去，直到最后留下ｐ，把ｐ的倍數畫去，剩下的就是全部符合要求的素數。隨著數值的增大，素數之間的“跨度”似乎越來越大，那么素數會不會有盡頭呢？《幾何原本》命題IX.20證明了“素數的無窮性”——預先給定任意多個素數，則有比它們更多的素數。從素數出發，可以提出極難證明的問題，例如至今尚未解決的“孿生素數猜想”“哥德巴赫猜想”等。正是這些問題，使得數學青春常在。

《九章算術》

儒家經典《周禮》中記載了西周初年貴族子弟要學習的“六藝”：禮、樂、射、御、書、數。其中，“數”即“九數”，是數學的9個分支。西周初年的“九數”已無可考。到先秦時，“九數”經過發展形成《九章算術》，這本書很可能在秦始皇焚書或秦末戰亂時遭到破壞。后來，西漢數學家張蒼和耿壽昌憑借殘缺的原文，刪補成了現在的《九章算術》。

書中共含有約90條抽象性公式和算法，246個應用問題，按照問題類型分為9卷：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股?！毒耪滤阈g》中的分數四則運算法則、比例和比例分配算法、“盈不足”算法、“開方術”、線性方程組解法、正負數加減法則、勾股數組及部分解勾股形的方法等等，在很長一段時間里都處于世界領先地位?？梢哉f，《九章算術》構筑了中國古代數學的基本框架，這個框架以“九數”為主體，影響了此后2000年來的中國乃至東方數學。同時，《九章算術》確立了中國古代數學長于計算、以機械化和程序化的算法為中心、理論密切聯系實際的風格。

九九乘法表

九九乘法表以1—9每兩數相乘所編成，共45句，古代從“九九八十一”開始，因此稱“九九表”，在我國春秋時期已經廣泛流傳。2002年，考古人員在湖南省里耶鎮發現了37000多枚秦代簡牘，其中九九表從“九九八十一”起到“二二而四”止，只有36句，與今天相比，缺少“一九而九”“一八而八”等9句。同時，多出了“一一而二”（1+1＝2）、“二半而一”（1/2+1/2＝1 ）、“凡千一百一十三字”（81+72+63+…+4+2+1＝1113）。最早記載45句完整口訣的是成書于西晉的《孫子算經》，書中通過具體的計算問題引出了九九乘法口訣。

中國傳統的九九表分為“小九九”和“大九九”。里耶秦簡和《孫子算經》中的都是“小九九”?！按缶啪拧奔?—9這9個數，每兩個數相乘所得積的81句口訣。2008年，清華大學入藏戰國晚期的2000多枚竹簡，其中包含一張“大九九”矩形數表。9世紀后，阿拉伯人和歐洲人使用從印度傳入的十進位值制記數法，因此在阿拉伯和歐洲數學書中，也可以找到類似的九九表。

阿拉伯數字

阿拉伯數字是十進位值制記數法。十進制，指個位數字從1開始增加到9后便達到個位的上限，當數字進一步增加時便需要用十位，如此繼續下去。位值制，指每個數碼所表示數的大小，既取決于它本身的數值，又取決于它所在的位置。例如數字1在個位表示1，在百位表示100。

公元前3世紀，印度人廣泛使用婆羅米數字。公元5世紀，婆羅米數字已經演變為較完善的十進位值制記數法。這些數字符號易于書寫和辨別，同時可以促進運算更高效。公元8世紀，它們傳入巴格達宮廷，很快，從宮廷天文學家到市場的商販都開始使用這種記數法。12世紀，斐波那契將其傳入意大利并在歐洲傳播。在此之前，歐洲人使用的是羅馬數字。15世紀，表述煩瑣的羅馬數字及其運算方法被阿拉伯數字及其運算方法取代，并演變成今天的樣子。16世紀，阿拉伯數字由傳教士傳入我國，但當時我國并沒有接受這些數字，原因是中國傳統的漢字數字本質上也是十進位值制記數法。19世紀末，由于大量翻譯外文數學書籍的需求，阿拉伯數字在我國逐漸推廣。

代數學

盡管在許多早期數學文明中，或多或少都出現過代數學的內容，但是首次明確提出初等代數方程思想且產生巨大影響的數學著作，是9世紀初阿拉伯數學家花拉子密所著的《還原與對消之書》（kitāb al-jabr wa-al-muqābala）。書名中的 “al-jabr”意為“還原”，花拉子密將“還原”定義為這樣一種運算——將方程一側一個減去的量轉移到方程另一側變為加上的量，例如5x+1=2-3x化為8x+1=2，這就是一個“還原”過程。書名中的“al-muqābala”的意思是將方程兩側的同類加上的項消去，例如8x+1=2化為8x=1，這就是一個“對消”過程。后世的阿拉伯數學家逐漸用“還原”一詞來代替“還原與對消”，并將其慢慢演化為今天方程化簡中的移項與合并同類項。

《還原與對消之書》基本確定了后世初等代數學中方程化簡與方程求解這兩條主要的發展脈絡，因此花拉子密被稱為“代數學之父”。后來阿拉伯代數學傳入歐洲，“還原”（al-jabr）一詞演變為英文中的“代數”（algebra）一詞。西方代數學最晚到清初已由傳教士傳入我國。1853年，傳教士偉烈亞力在與我國數學家李善蘭合作翻譯德·摩根的《代數學》時，首次用漢字“代數”作為該數學分支的代名詞。

圓周率

古代很長一段時間里，古巴比倫、古印度、中國等國家都將圓周率取值為3，例如我國成書于公元前1世紀的《周髀算經》中就有“圓徑一而周三”的說法。劉徽在《九章算術注》中創造了新的圓面積計算方法“割圓術”：從圓內接正六邊形開始計算，依次得到圓內接正十二邊形、正二十四邊形……隨著邊數的增加，多邊形面積與圓的面積越來越接近。劉徽通過圓內接正一百九十二邊形，得到圓周率的近似值為157/50，相當于取值3.14。祖沖之在《綴術》一書中將圓周率的數值計算到3.1415926<π<3.1415927。但《綴術》已經遺失，我們對祖沖之的算法并不清楚，一般認為他可能繼承了劉徽的算法。15世紀初，阿拉伯數學家阿爾·卡西在《論圓周》中使用了相似的算法，得到π≈3.1415926535897932。完整保存下來的史料為我們展現了古人高深的智慧。1676 年，牛頓開創了用近代數學中的解析方法來求解圓周率的方法，他利用反正弦函數的級數展開式在幾分鐘內就推算出π的 14 位準確小數值。今天，借助計算機可以將圓周率的準確值推算到60萬億位。不斷追求卓越是我們與生俱來的天性，人類在未來一定會計算出更高精度圓周率的值。

小編：2020年起，每年的3月14日被定為“國際數學日”，也叫“π日”，以慶祝“數學在我們日常生活中的美麗與重要”！