小學數(shù)學深度教學應(yīng)“深”在何處？

摘要：在“雙減”及新一輪課程改革背景下，針對小學數(shù)學學科教學現(xiàn)狀中的淺層學習問題，依據(jù)數(shù)學學科教學特點，在深度教學理論指導下，在教學中落實深度教學，提出指向數(shù)學本質(zhì)的“深”問題，從淺認知轉(zhuǎn)向真探究；組織多形式“深”互動，從知識取向轉(zhuǎn)向素養(yǎng)取向；激發(fā)內(nèi)在“深”動力，從教師立場轉(zhuǎn)向?qū)W生立場。

關(guān)鍵詞：深度教學；數(shù)學本質(zhì)；學科素養(yǎng)；學生立場

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2023）07-0074-05

減負的本質(zhì)在于增效，如何提升課堂教學質(zhì)量，是所有一線教師關(guān)注的焦點和亟待解決的困惑。雖然經(jīng)歷了多年課堂教學改革，小學數(shù)學課堂仍普遍存在著以下“淺”的現(xiàn)狀：一是認知淺層，對數(shù)學本質(zhì)的理解不足；二是知識取向，缺乏數(shù)學思想方法的揭示；三是學習過程被動，課堂沉悶無生機。這些淺層學習的表現(xiàn)直接影響著數(shù)學教學高效能目標的達成，與以素養(yǎng)培養(yǎng)為目標的課程改革方向相背離。深度教學理念倡導以學生為中心，被廣大教師所關(guān)注。然而，如何在小學數(shù)學課堂教學中落實深度教學？小學數(shù)學深度教學應(yīng)深在何處？以下從三個角度的“深”對該問題進行探討，以求真正實現(xiàn)減負增質(zhì)。

一、提出指向數(shù)學本質(zhì)的“深”問題，從淺認知轉(zhuǎn)向真探究

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022版）》中多處強調(diào)數(shù)學本質(zhì)，深度學習也強調(diào)基于理解的學習[1]，反對將知識“窄化”，實現(xiàn)理解學科本質(zhì)的目的。在課堂中開展真正意義的探究性學習，正是促進學生在觀察、對比、發(fā)現(xiàn)、驗證中形成可理解的學習方式，它能幫助學生從直觀走向抽象，從現(xiàn)象走向原理。反觀當下的數(shù)學課堂，教師借以引發(fā)學生探究的許多問題，常常只關(guān)注了教材中例題表面的“淺問題”，未能提出有效引導學生挖掘現(xiàn)象背后指向數(shù)學本質(zhì)的“深”問題，因此學生所經(jīng)歷的探究過程也常常是缺乏認知含量的“假探究”，難以對數(shù)學本質(zhì)有深刻的理解。為解決這一問題，我們須設(shè)計課堂中的“深”問題，幫助學生由表及里，做指向數(shù)學本質(zhì)的真探究。那么數(shù)學課堂中的“深”問題應(yīng)具有哪些特點呢？

（一）問題應(yīng)指向數(shù)學內(nèi)在邏輯關(guān)系

數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學，而這也正是數(shù)學本質(zhì)的體現(xiàn)，是所有數(shù)學概念和原理的內(nèi)在邏輯。這些內(nèi)在邏輯隱藏在具體表象的背后，教師只有在教學中提出指向數(shù)學內(nèi)在邏輯關(guān)系的問題，才能引導學生的探究活動由表及里，進而發(fā)現(xiàn)深層的數(shù)量關(guān)系及數(shù)學規(guī)律，將認知引向深處。

例如，在學習“長方體的認識”一課時，教師往往認為學生能正確摸出長方體的面、棱、頂點，就是理解了“面”“棱”“頂點”的概念。然而教材是這樣描述的：“棱”——面和面相交的線段，“頂點”——棱和棱的交點。也就是說，對“棱”的理解只停留在能摸出來還遠遠不夠，它必須建立在對面與面之間的關(guān)系和相交的結(jié)果的認知基礎(chǔ)上，這就是概念的內(nèi)在邏輯。一旦脫離對面的研究，就不能深刻理解棱的概念。頂點亦然。為此我們設(shè)計了這樣的提問：“哪個面和哪個面相交成哪條棱？哪條棱和哪條棱相交成哪個頂點？”這個問題看似簡單，卻將學生的認知聚焦在了“關(guān)系”上，通過面與面的關(guān)系認識“棱”，通過棱與棱的關(guān)系認識“頂點”。在這一問題的激發(fā)下，學生不再停留在“摸”的認知層面，而是仔細觀察、思考，再用數(shù)學語言表達：“上面和前面相交成一條水平的棱，前面和左側(cè)面相交成一條打豎的棱……”隨后學生指著不同的三條棱相交的位置解釋頂點，實現(xiàn)對兩個幾何概念的深層理解。

（二）問題的解決須借助高階思維的參與

對于學習者而言，低階思維往往使其停留在對事物表面的感知，然而數(shù)學本質(zhì)的抽象性決定了高階思維在學習中發(fā)揮重要的作用。學生的探究過程是否需要高階思維的參與，取決于教師所提問題的質(zhì)量。如果問題只要求學生把看到的讀出來、記下來，這樣的思維水平只會讓學生的學習停留在知識的表層；如果問題的解決需要學生經(jīng)歷分析、綜合、評價和創(chuàng)造等高階思維過程，需要比較異同、有依據(jù)地證明、綜合歸納，那么就能幫助學生實現(xiàn)對知識本質(zhì)的深層理解。

如人教版五年級上冊“位置”單元的例2，表面上只是讓學生在方格圖中學會用數(shù)對表示位置，而學生很輕易就能讀出指定位置的數(shù)對。然而這一步的思維水平較低，認知還很表淺，數(shù)對的內(nèi)在特點并未被發(fā)現(xiàn)。這就需要教師創(chuàng)設(shè)更具啟發(fā)性的問題，激發(fā)學生往數(shù)對更本質(zhì)的特點探究。我們提出了以下問題：“是不是所有的數(shù)對都能找到它的位置？是不是所有的位置都能用數(shù)對表示？”圍繞這兩個問題，學生將目光從例題中的“有限”拓展到“無限”，并引發(fā)了激烈的辯論，最終憑借想象超越了眼前可見的范圍，再通過綜合分析（0，0）的作用以及方格圖中行與列的特點、點與格的對應(yīng)關(guān)系，更深刻地理解了數(shù)對的本質(zhì)特征。這個問題有效調(diào)動了學生的高階思維，幫助學生探究現(xiàn)象背后蘊含的內(nèi)在原理。

（三）立足單元、學段、學科知識組塊設(shè)計問題鏈

數(shù)學課程內(nèi)容中的四大領(lǐng)域，以主題的形式分布在不同的學段、學期、單元、課時中。知識間存在著嚴密的內(nèi)在聯(lián)系，且螺旋上升。孤立的知識難以建立起觀念系統(tǒng)[2]128，而以往教師卻習慣著眼于課時的某個知識點，問題設(shè)計也僅限于本節(jié)課的內(nèi)容。這樣設(shè)計問題必然缺乏了連貫性和整體性，降低課堂提問應(yīng)有的效能。教師應(yīng)站在知識發(fā)展的視角上，在不增加學習難度的前提下加強問題間的關(guān)聯(lián)性，并在單元甚至學段、學科的高度上設(shè)計出系列進階性的問題鏈，激發(fā)學生真實的深層思考。

如關(guān)于分數(shù)的學習，三年級教材安排了一個單元學習“分數(shù)的初步認識”，而到五年級將繼續(xù)學習分數(shù)的意義和相關(guān)性質(zhì)。雖然認知水平不同，但兩段學習存在著密切的聯(lián)系，教師也應(yīng)把握契機向?qū)W生做適當?shù)臐B透。在三年級學習“分數(shù)的初步認識”中，教師設(shè)計了這樣的問題鏈：

問題1.圖1中的陰影部分能否用? ?表示？

問題2.如果增加虛線，陰影部分能用哪個分數(shù)表示？

問題3.你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

這三個問題組成了既立足于本單元對分數(shù)的初步理解，又體現(xiàn)知識發(fā)展的問題鏈。在第一個問題中，學生根據(jù)分數(shù)的由來和分子、分母的含義，較易判斷出涂色部分顯然不能用

表示。在第二個進階問題的引導下，學生根據(jù)虛線的特點聯(lián)想到：如果把圓平均分成8份，涂色部分占了3份，就可以表示? ? 。又有學生說：“還可以平均分成16份，涂色部分占6份，也就是? ? ?。”第三個學生說：“還可以平均分成24份，涂色部分就是9份，也就是? ? ? 。”“還有? ? ?！”此時教師繼續(xù)引導：“是啊，那可以有多少種情況啊？”學生立即回答說：“無數(shù)種！”此時學生的認知已經(jīng)水到渠成，他們針對第三個問題回答說：“我發(fā)現(xiàn)同樣的陰影部分可以用不同的分數(shù)來表示。”其實，這個問題與五年級將學習的“分數(shù)的基本性質(zhì)”具有本質(zhì)上的一致性。這樣的問題鏈更能將學生的思維引向深處，學生頭腦中對“分數(shù)”這一概念的理解也更加豐富和立體，通過結(jié)構(gòu)化知識的構(gòu)建實現(xiàn)對概念的深刻理解。

二、組織多形式“深”互動，從知識取向轉(zhuǎn)向素養(yǎng)取向

“學科思想表現(xiàn)了學科的精神實質(zhì)，它內(nèi)隱于學科知識體系之內(nèi)，統(tǒng)攝學科方法，凸顯學科價值，流動于教師的教和學生學的過程之中，關(guān)照著深度教學的達成。”[3]164“我們強調(diào)‘雙基’教學的重要性，但是我們更加強調(diào)以知識和技能為載體，引導學生感悟其中的數(shù)學思想。”[2]268可見，數(shù)學課堂教學存在兩條線索：一條是看得到的明線，如例題、練習等；還有一條是隱藏在更深處的暗線，那就是數(shù)學思想方法。如果只教看到的，就會錯失數(shù)學教學在學科素養(yǎng)培養(yǎng)上的深層價值。這條“暗線”，學生難以自己發(fā)現(xiàn)，需要教師有意識地引導學生將其揭示出來。從數(shù)學知識到數(shù)學思想方法的轉(zhuǎn)化，需要通過互動的學習過程來實現(xiàn)。如何組織深層互動，實現(xiàn)數(shù)學思想方法的揭示？以下從兩個方面分別闡述。

（一）在反思性互動中揭示數(shù)學思想方法

小學生的概括能力和元認知能力還比較欠缺，注意力往往放在知識的形成和問題解決的結(jié)果上，數(shù)學思想方法難以自然而然地形成，必須通過反思才能完成。教學中教師應(yīng)有意識地組織指向思想方法的反思性互動，在學生完成知識層面的學習后，引導其對數(shù)學結(jié)論的形成過程以及數(shù)學問題的解決過程進行反思，幫助學生從關(guān)注書本知識轉(zhuǎn)向關(guān)注數(shù)學思想方法，并在學生相互補充中加以整理，共同提煉形成數(shù)學思維。

例如在“長方體的認識”一課中，學生在數(shù)出長方體有6個面、12條棱、8個頂點，以及相對的面相等、相對的棱相等這幾個特征后，往往就覺得已經(jīng)完成了特征的學習。然而在這個單元中，更重要的教學目標是發(fā)展學生的空間觀念，因此在教學中，教師在組織學生互動時提出：“大家回想一下剛才探究的過程，你們都是怎樣展開聯(lián)想的呢？”一生回答說：“可以從體想到面，再從面想到棱，再從棱想到頂點。”又有學生補充：“也可以反過來又面聯(lián)想到體，由體也可以聯(lián)想到棱……”多個學生互動后，教師用文字和圖示表示出這些思維過程（如圖2）。

通過對探究過程的反思性互動，空間觀念的思想方法內(nèi)涵得到了揭示，學習也更有深度。

（二）在對比性互動中揭示數(shù)學思想方法

同一個問題的解決，可能有多種路徑，這不僅體現(xiàn)了算法多樣化，每個路徑也許蘊含著不同的數(shù)學思想方法。教師應(yīng)捕捉這些契機，引發(fā)學生開展對比性互動，將關(guān)注點聚焦在不同解法的思想方法上，逐步發(fā)展學生數(shù)學學習大觀念。

例如在學習三位數(shù)乘兩位數(shù)時，生1用以下方式計算“145×24”。他將145拆分為（100+40+5），將24拆分為（20+4），然后如表1計算。

生2則呈現(xiàn)了另一種計算方法（如圖3）：首先同樣將145拆分為（100+40＋5），將24拆分為（20＋4），然后用長方形表示出它們的關(guān)系，再計算。

教師提問：“他們的思考方法有什么不同？”確定生生之間互動的焦點，學生通過對比互動發(fā)現(xiàn)兩個學生計算結(jié)果相同，然而不同的推導過程也代表了不同的思維方法。一種是列表法，另一種是圖示法。這兩種方法都是數(shù)學學習中重要的方法，在學生互動中得以呈現(xiàn)，相互學習。

三、激發(fā)內(nèi)在“深”動力，從教師立場轉(zhuǎn)向?qū)W生立場

在追求以學生為中心的課堂教學改革中，“學習單”“導學案”往往成為將傳統(tǒng)的“教”變?yōu)殛P(guān)注學生的“學”的代名詞。然而并非使用了這些工具，學生就在進行深度學習。許多課例都讓我們看到，學生依然學得非常被動。教師“牽”變成任務(wù)“牽”，學生缺乏內(nèi)在的學習動力，為完成任務(wù)而完成任務(wù)，課堂明顯表現(xiàn)出沉悶、冷漠、刻板。而深度教學是關(guān)注學生生命成長的教學，是關(guān)注學習者內(nèi)在意義感的教學[3]22，教師片面地將學習任務(wù)的布置理解為學習活動的全部，顯然是對學生情感態(tài)度價值觀的忽視。如何激發(fā)學生深層的內(nèi)在動力？

（一）情感推動，讓學生求知的需要得到滿足

孔子曰：“不憤不啟，不悱不發(fā)。”如果學生還沒進入“備戰(zhàn)”狀態(tài)，還沒有摩拳擦掌躍躍欲試，即使采用任務(wù)驅(qū)動的學習方式，學生仍會處于被動狀態(tài)，仍然是典型的教師立場、控制取向的教學方式。教師應(yīng)關(guān)切學生的學習狀態(tài)，不急于布置、介入、提醒、糾正，讓學生先充分表達和思維碰撞，再通過巧妙追問，推波助瀾，不斷將學生的身心帶入積極的狀態(tài)，讓探究成為學生自己內(nèi)心深處生發(fā)的動力。

（二）任務(wù)簡潔，讓學生主體意識得到尊重

許多教師簡單地把“碎片化問題”改寫成“碎片化任務(wù)”，設(shè)計繁多的填空式、碎片化、碎步子的“任務(wù)單”，仍然擺脫不了以教師為中心的“灌輸”，限制了學生主體意識的發(fā)揮。只有真正站在學生立場，尊重他們探究的主體意識，設(shè)計具有啟發(fā)性、簡潔的大任務(wù)、大問題，才能真正實現(xiàn)教學中主體的轉(zhuǎn)變，讓學生更深地體會到學習所帶來的意義和價值。

例如，在“長方體的認識”一課中，我們通過冬奧會的“冰立方”引發(fā)學生對長方體特征的探究欲望，并設(shè)計了以下的兩個大任務(wù)和四個大問題。任務(wù)一：認識面、棱、頂點的概念。本任務(wù)設(shè)計了兩個問題：1.哪個面和哪個面相交成哪條棱？2.哪條棱和哪條棱相交成哪個頂點？任務(wù)二：探究長方體的特征。本任務(wù)要求學生圍繞“面”“棱”“頂點”探究它們的數(shù)量以及形狀特征，并提出兩個問題：1.在數(shù)面、棱、頂點時，你有什么好方法做到不重復不遺漏？2.你發(fā)現(xiàn)的每個結(jié)論的依據(jù)是什么？

這里的兩大任務(wù)和四大問題取代了瑣碎的淺層問題，學生主動觀察、記錄、對比、發(fā)現(xiàn)，在自主合作學習中不但總結(jié)出長方體的特征，更運用已學知識進行推理，想辦法證明他們的結(jié)論，尋求優(yōu)化的方法。學生思維的完整性得到了尊重，學生在探究中體會到數(shù)學的魅力。

綜上所述，小學數(shù)學深度課堂，應(yīng)遵循深度教學的理念和小學數(shù)學學與教的心理規(guī)律，著眼于數(shù)學本質(zhì)、思想方法和情感態(tài)度價值觀，點燃學生求知熱情，組織學生開展有價值的“真探究”，從而獲得數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展，真正改變低效課堂，實現(xiàn)減負增質(zhì)。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022：8.

[2]何小亞.數(shù)學學與教的心理學[M].廣州：華南理工大學出版社，2021.

[3]郭元祥.深度教學[M].福州：福建教育出版，2021.

責任編輯：賈凌燕

*本文系廣州市教育科研基地項目“小學數(shù)學協(xié)作建模學習的設(shè)計與實施研究”（14XZ03）研究成果之一。

收稿日期：2022-10-22

作者簡介：孫穎，廣州市天河區(qū)體育東路小學副校長，高級教師，廣東省特級教師，廣州市名師工作室主持人，主要研究方向為小學數(shù)學教學。