初中數(shù)學解題中的函數(shù)思想應用策略

曹峰

【摘要】本文主要對初中數(shù)學函數(shù)解題中的函數(shù)思想應用策略進行研究，包括函數(shù)思想在其中的應用意義和應用策略.希望通過本次的研究，可以為初中數(shù)學函數(shù)解題教學質(zhì)量的提升提供一定參考.

【關鍵詞】初中數(shù)學；函數(shù)；解題教學

在初中數(shù)學函數(shù)解題中，通過函數(shù)思想的合理應用，不僅可以幫助初中生建立起更加清晰的解題思路，同時也可以使其解題步驟得到進一步的簡化，這對于初中數(shù)學函數(shù)解題效率、準確度的提升都十分有利[1].另外，通過函數(shù)思想的深入理解和應用，也可以幫助初中生在數(shù)學函數(shù)解題中形成良好的數(shù)學素養(yǎng)，從而為其后續(xù)的數(shù)學學習與發(fā)展奠定堅實基礎.

1函數(shù)思想的應用

對于一次函數(shù)、二次函數(shù)等的這些圖象問題，更應該將其對稱性、位置、形狀以及和坐標軸之間的交點等主要特征作為依據(jù)，對特殊的自變量或函數(shù)值加以應用，以此來實現(xiàn)初中數(shù)學函數(shù)習題的快速、準確求解.

例1針對這樣一道習題：已知一個二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+c，其中的a不為零，圖1為該二次函數(shù)的圖象.

針對該二次函數(shù)，有以下的幾條結論：①abc＞0；②a-b+c＞0；③如果ax21+bx1=ax22+bx2，x1和x2不等，則x1與x2的和為2；④如果m不等于1，則有a+b＞am2+bm；⑤2a+b=0.其中哪些結論正確？

（A）①④⑤.（B）②⑤.

（C）③⑤.（D）③④⑤.

解在該二次函數(shù)圖象中，

因為拋物線開口朝下，且與y軸正半軸相交，

所以a＜0，c＞0.

因為其對稱軸為x=-b2a=1，

所以b=-2a＞0，

所以abc＜0.

結論①錯誤，結論⑤正確.

因為y（1）=a+b+c，y（m）=am2+bm+c，

x=1時，y最大，且m≠1，

所以y（1）＞y（m），

a+b+c＞am2+bm+c，

a+b＞am2+bm，結論④正確.

設x=-1，則y（-1）=a-b+c，

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性，y（-1）在第三象限，

所以a-b+c＜0，結論②錯誤.

設直線l與x軸平行，與y=ax2+bx+c有兩個交點分別是x1、x2，

因為y（x1）=y（x2），且對稱軸為x=1，

所以x1+x2=2，結論③正確.

由此可得出，（D）選項正確.

2數(shù)形結合思想的應用

在初中數(shù)學函數(shù)解題中，數(shù)形結合思想也是一種非常重要的解題思想.基于此，在函數(shù)習題解題教學中，教師應引導學生通過數(shù)形結合思想來進行解題.通過數(shù)與形之間的結合，便可幫助學生快速準確地理清解題思路[2].

例2如圖2所示，A和B是反比例函數(shù)y=kx與直線y=-x的交點，P是一個圓上的動點，其所在圓的圓心為C（2，2），半徑是1.將AP連接，其中點是Q.如果OQ的值最大為2，試求出k的值.

對于這道習題，教師便可引導學生通過數(shù)形思想來進行解題.

解根據(jù)反比例函數(shù)特征，

因為該反比例函數(shù)的對稱軸是y=x，

所以OA=OB，

因為Q是AP中點，

所以OQ=12PB，

通過圖象可知，在P、C和B共線時，線段PB的長度最大.

因為OQ值最大為2，

所以PB=4，

因為圓C的半徑是R=1，

所以CB=3，

設B的坐標為（x，-x），則有

CB=（2－x）2+（2+x）2=3，

所以x=22或x=－22（舍去），

將22，-22入到y(tǒng)=kx中，

解得k=－12.

3方程思想的應用

在初中二次函數(shù)解題教學中，方程思想也是一種重要的解題思想.基于此，教師可引導學生將相應的二次函數(shù)習題轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠探忸}，以此來實現(xiàn)二次 函數(shù)習題的快速求解.

例3已知y=x2+bx+3這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=1，在-1＜x＜4的情況下，x2+bx+3-t=0這一方程有實數(shù)根，且t為實數(shù)，試判斷t的取值范圍.

針對該習題，解題中，教師便可引導學生通過方程思想進行求解.

解因為y=x2+bx+3的對稱軸是x=1，

所以x=-b2a=1，

所以b=-2，

因為x2-2x+3-t=0在-1＜x＜4范圍內(nèi)有實數(shù)根，

所以當-1＜x＜4時，y=x2-2x+3和y=t的圖象有交點.

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當x=1時，該二次函數(shù)有最小值，即y=2；

當x=4時，該二次函數(shù)有最大值，即y=11.

所以2≤t＜11.

4結語

總之，函數(shù)思想的合理應用對于初中數(shù)學函數(shù)解題具有很大幫助.因此，具體教學中，教師應根據(jù)實際情況，引導學生通過合理的數(shù)學思維進行解題.這樣才可以獲得更好的教學效果，促進初中生數(shù)學學科的良好學習與發(fā)展.

參考文獻：

[1]馬玲.初中二次函數(shù)教學中重要函數(shù)思想的滲透策略研究[A].現(xiàn)代化教育國際研究學會論文集（二）.2022：3.

[2]張園園，姜金平.初中函數(shù)教學中函數(shù)思想的滲透[J].成才，2022（13）：47-48.