做好數學積累，關注方法尋找

尹雪山

【摘? 要】? 波利亞說過：“好問題同某種蘑菇相似，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍再找一找，很可能附近還有好幾個.”在解題教學中，以問題為導向開展探究性學習活動，可以充分調動學生學習的主動性，激發學生學習興趣，進而強化學生的解題能力.學生通過解題獲取數學知識，數學方法和數學經驗，進而提升自己的思維能力.教師同樣要解題，解完題后還要回顧自己是怎么想到的，然后思考如何讓自己的學生也能想到，所以數學教師學生生一樣，都要經歷解題過程并在解題中獲取數學經驗，積累解題方法，提高思維能力，從而能更高效的解決問題.下面筆者就自己最近遇到的幾道動點軌跡問題談談自己的解題思路及教學方法.

【關鍵詞】? 初中數學；動點軌跡；解題教學

1? 教學過程

1.1? 解題初探，發現方法

例1? 已知點A的坐標是（，-1），點B是正比例函數y=kx（x＞0）的圖像上一點，若只存在唯一的點B，使△AOB為等腰三角形，則k的取值范圍是_________.

探究活動：引導學生思考該題的主要數學方法為分類討論和數形結合，首先應該分析符合題意的點B有哪些情況，然后根據動點軌跡結合函數圖像求出k的取值范圍：

解析：（1）帶領學生分析符合題意的點B集合：

①如圖1，當△AOB中OA=OB時，此時符合條件的點B到點O的距離等于點A到點O的距離，那么所有符合條件的點B集合就是以O為圓心OA長度為半徑所作的圓，結合題目中的（x＞0）可知在這種情況下所有符合題意的點B集合為處于第一和第四象限的圓弧.

②如圖1，當△AOB中OA=AB時，此時符合條件的點B到點A的距離等于點O到點A的距離，那么所有符合條件的點B集合就是以A為圓心OA長度為半徑所作的圓，結合題目中的（x＞0）可知在這種情況下所有符合題意的點B集合為處于第一和第四象限的圓弧.

③如圖1，當△AOB中OB=AB時，此時符合條件的點B到O點和A點的距離相等，結合線段的中垂線性質可知所有符合條件的點B的集合就是線段OA的中垂線，結合題目中的（x＞0）可知在這種情況下所有符合題意的點B集合為線段OA的中垂線處于第一象限的射線.根據題目中提供的數據以及結合交點的坐標可以解得此時線段OA的中垂線處于第一象限的射線所在直線的函數表達式.

（2）緊接著引導學生畫出函數y=kx（x＞0）的圖像，隨后數形結合分析存在唯一的點B使得△AOB為等腰三角形時函數圖像所處狀態，最終計算出k的取值范圍是k≥或k=.在教學時，本題的難點主要是點B軌跡的集合以及數形結合分析k的取值范圍，所以在本題講解時要留給學生充足的思考時間.

教學分析：在教學時，教師要切實做好引導著角色，拋出問題觀察學生反應，，并在恰當的時機給予學生思路上的引導，本題中在給予學生思路引導時應該著重強調的是分類討論和數形結合的方法，將復雜的問題分類簡單化處理.值得關注的是在本題中，x的取值范圍在三類情況下對應的B點軌跡中都不能取0，這是學生容易忽略的細節，教師要在學生出現這個問題后再做提醒，因為出錯才有教訓，記憶才能更深刻.

1.2? 深入研究，挖掘本源

例2? 如圖2，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），點C是y軸上的動點，線段CA繞著點C按逆時針方向旋轉90°至線段CB，CA=CB，連接BO、BA，則BO+BA的最小值是_____.

探究活動：很多學生拿到該題時容易想到利用“兩點之間線段最短”來解決問題，但此題中點B是動點，還無法找到對稱軸來確定點O的對稱點，所以本題應該引導學生首先找出點B的運動軌跡.

解法1：

（1）幾何直觀猜測點B運動軌跡：

數學學科核心素養要求培養學生的幾何直觀能力進而進行幾何猜想，本題中應該及時引導學生通過多構造幾種不同位置的點C位置情況下的對應圖形，找到對應情況下點B的位置，結合所作圖像合理猜想點B的運動軌跡，如圖3，點B，B’，B’’三點在同一條直線上，本題作為填空題，當解題時間有限的情況下，學生可以大膽猜測放手一搏，直接根據所作圖像直觀猜想出點B的運動軌跡是直線：y=x+1，但是在課堂上時間充裕的情況下，教師應該本著知其然并知其所以然的精神，帶領學生一起論證點B的軌跡為什么是這樣的一條直線.

（2）理論驗證點B運動軌跡：

數學學科素養強調學生的邏輯推理能力，所以理論驗證點B的運動軌跡是必不可少的，只有讓學生從本源理解了點B的運動軌跡，才能在同類問題中做到思維不卡殼.本題中只要設參數將點B的坐標表示出來就可以結合函數知識表示出點B的軌跡函數.如圖4，過點B作y軸垂線交y軸于點D，此時構造出了經典的“K字型全等三角形”，可以證明：△AOC ≌ △CDB ，設OC長為t，可以得到點B坐標為（t，t+1），設x=t，y=x+1，可得y=x+1，所以點B的運動軌跡是函數y=x+1的圖像.

（3）構造對稱點解決問題：

分析完點B的運動軌跡后，剝離出“將軍飲馬”模型，如圖5，作點O關于直線：y=x+1的對稱點O’，可以根據軸對稱的性質求出點O’坐標為（-1，1），此時BO+BA的最小值是線段AO’的長度，過點O’作x軸垂線段交x軸于點E，此時在RT△AEO’中根據勾股定理可以求得AO’=，所以BO+BA的最小值是.

解法2：

解法1是從幾何直觀出發，隨后從數的角度嚴謹論證，從幾何直觀為切入點比較容易聯想出解題思路，所以這種方法是大多數學生首先采取的方法.本著一題多解的想法，在教學時可以適當的穿插些讓學生“跳一跳”就能“夠得著”的方法，以此打開學生思維的深度和廣度.

在介紹本方法前，先帶領學生結合直角三角形勾股定理以及平面直角坐標系推導出平面直角坐標系中兩點之間距離公式，即：平面內有兩個點A（a，b）和B（c，d），那么AB=.如圖6，過點B作y軸垂線交y軸于點D，此時構造出了經典的“K字型全等三角形”，可以證明：△AOC ≌ △CDB ，設OC長為t，可以得到點B坐標為（t，t+1），根據平面上兩點間距離公式可得：BO+BA=+，即BO+BA的值相當于求點p（t，t）到點（0，-1）和（1，-1）的距離之和最小值，而點p是直線y=x上的點，所以問題轉化為在直線y=x上找一個點p，使得p到（0，-1）和（1，-1）的距離之和最小值.作點（0，-1）關于直線y=x的對稱點（-1，0），此時問題繼續轉化為在直線y=x上找一個點p，使得p到（-1，0）和（1，-1）的距離之和最小值，根據兩點之間線段最短可知當點p和點（-1，0）點（1，-1）三點共線時距離之和最短，通過代值計算可以解出BO+BA的最小值為.

教學分析：本環節是問題1的拓展延伸，本題中主要考察學生的幾何直觀想象能力和邏輯推理能力.解題過程是一個不斷聯想、不斷猜測、不斷嘗試、不斷實踐的過程，結合本題情境，在解法1中，當學生思路受阻時應當及時引導學生多畫幾處符合條件的點B，然后結合所作的幾處點B大膽猜想點B的軌跡，最后從數的角度驗證自己猜想的正確性；而解法2中涉及到的平面中兩點之間的距離公式雖然沒有出現在課本中，但考試中經常作為新概念題型出現，學生是可以根據已學知識推導出該公式的，解法2主要利用了問題轉化思想，通過合理的轉化將復雜的問題簡單化，但解法2與解法1是有區別的，解法1主要思路是由形到數，而解法2是由數到形，光說方法的話兩者各有其優點.本著為了打開學生思維廣度及讓學生思維的可持續性發展，在教學時不應該淺顯的用哪個方法簡單哪個方法繁雜來定義哪個方法好，畢竟學生與學生之間的思維存在差異性，所以在教學時應該多鼓勵學生嘗試用不同的方法解決問題，最終在多種方法體驗后體會到每種解題方法獨特之處.解題教學不光關注學生的解題結果，還要關注解題思路的尋找過程并及時復盤整個解題過程.在解決完問題后，教師應當帶領學生對解題過程進行反思，在解題過程中用到了哪些思想方法、問題涉及到哪些知識點、問題的拓展等，并總結該題給學生本人帶來的啟發.

2? 解題教學反思

《義務教育數學課程標準（2022年版）》相比《義務教育數學課程標準（2011年版）》，在“圖形的性質”中強調通過實驗探究，直觀發現，推理論證來研究幾何問題；在“圖形的變化”中新增強調從運動變化的角度來研究試題，能夠理解圖形運動中的平移，翻折，旋轉變化中的變化規律以及運動中的變量與定量；同時在“圖形的變化”中的軸對稱模塊，能力要求從“了解”提升為“理解”層面.以上的題目都涉及到圖形的運動，在變化的過程中存在著變與不變的量，而找到不變的量是解決問題的關鍵，故該知識板塊的重要性不言而喻.以上題目在引導學生觀察、猜想、推理中落實核心素養，彰顯數學的思維價值.

2.1? 追根究底，探究問題本源

深入挖掘數學問題的本質是學生理清問題疑點，揭示問題本質，歸納總結問題的前提.本節習題課以兩道動點問題為切入點，并且第二題相對于第一題的動點軌跡分析難度稍有提升，通過探索發現歸納發掘動點問題解決的核心是先分析出動點的運動軌跡，而動點的軌跡分析方法主要為幾何分析法和函數分析法.尋找解決問題的通法才能在后續各類變式題型中順利解決問題.

2.2? 分類討論，讓問題更清晰

當一個問題無法在一個前提下統一解決時，我們就需要對問題進行分類，并且是將問題中不同預設的條件作為分類的基礎，隨后各個擊破.分類討論可以將復雜籠統的問題劃分為簡單清晰的單個情況下的問題，總的來說就是“化整為零，各個擊破，再積零為整.”當然分類討論的并非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：1.不重（互斥性）不漏（完備性）2. 按同一標準劃分（同一性）3.逐級分類（逐級性）.

2.3? 化繁為簡，問題難點迎刃而解

解決較難的問題時，要精準定位題目里的知識點并將各類知識點合理分解.動點問題經常會出現各種幾何模型，比如剛才題目中出現的“K字型全等”，“將軍飲馬模型”等，在解決問題2時，通過剝離幾何模型，將看著復雜的圖形分解，最終復雜的問題簡單化，通過本題教學，不僅總結出“動點問題”的一般化解法，而且揭示了這類題目命題的基本思路.

2.4? 數形結合，問題解決相得益彰

數形結合是數學解題的重要方法，從“形”的角度直觀清晰，從“數”的角度精準計算，兩者相輔相成不可或缺，能幫助學生由淺入深地理解解題思路.在上述題目中，都可以從形的角度先取幾個不同位置的點B，然后結合點B分布位置猜測點B的運動軌跡，緊接著從數的視角證明點B的運動軌跡函數表達式；形是數的猜想基礎，數是形的縝密驗證，兩者缺少一個都不能高效率高精度完成數形結合類題目的解題.

2.5? 回歸學生視角，經歷思辨，生成感悟

張景中院士認為：小巧一題一法，不應提倡，大巧法無定法，也確實太難，出路在于中巧.這里的中巧，指的就是數學解題中有章可循、聯想順暢、思路合理的方法.

數學倡導發散性思維，并非刻意追求一道題目有多少種解法，而是引導學生利用已有知識經驗去合理的思考解題方法.有些題目解法很多，但不一定適合所有學生，換言之，解題不是老師自己想的多么妙，而是讓學生如何想得到.學之道在于悟，教之道在于度，只有回歸學生的視角，讓他們經理思辨，生成自我感悟，才能提升學生的思維層次.

參考文獻：

[1]郭源源.“似”曾相識依“理”構圖[J].中學數學教學參考（中旬），2022（8）：60-62.

[2]向明剛.從一道網紅題引發的思考[J].中學課程輔導，2020（2）