以“閱讀理解”講授“弧度制”的初體驗(yàn)

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630)申西芬

1 背景

1.1 數(shù)學(xué)閱讀能力的重要性

根據(jù)近幾年對(duì)高考數(shù)學(xué)試題的研究發(fā)現(xiàn),高考中數(shù)學(xué)試題的文字量逐年上升,而且這種閱讀量還有繼續(xù)上升的趨勢(shì).學(xué)生剛接觸問題,閱讀理解能力起首要作用,而對(duì)于數(shù)學(xué)試題中的閱讀,可以分為三個(gè)層次,第一層就是基本閱讀能力,第二層是閱讀中能提煉出要考察的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想,第三層,是利用所學(xué)知識(shí)思考出如何解決問題.但事實(shí)上,學(xué)生在閱讀試題時(shí),功利心驅(qū)使,普遍淺層閱讀,過度或者只關(guān)注數(shù)字,忽略文字中隱藏的一些關(guān)鍵詞,信息點(diǎn),分析技能薄弱,從而無法透徹理解數(shù)學(xué)本質(zhì),故而在前兩關(guān)就被擊敗了,導(dǎo)致在數(shù)學(xué)考試中不只是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)掌握不足更多是因?yàn)殚喿x中思考不深入而失分,令人十分惋惜! 數(shù)學(xué)閱讀能力——這個(gè)體現(xiàn)學(xué)生素質(zhì)的重要指標(biāo)不容忽視,在教學(xué)中要為學(xué)生營造良好的閱讀氛圍.

1.2 數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈的缺席

每一個(gè)納入教材的數(shù)學(xué)知識(shí)不是為了邏輯結(jié)構(gòu)杜撰而來,都是有其客觀的發(fā)生發(fā)展的歷程.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師希望能給學(xué)生講清楚一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的由來和它為什么會(huì)出現(xiàn)教材的這個(gè)位置,也就是常會(huì)遇到兩類不同的“為什么”? 一類是“邏輯上的為什么”,另一類則是“歷史上的為什么”.由于高考的壓力,高中的日常教學(xué)中,更多是講邏輯,講做題方法技巧,即使是數(shù)學(xué)概念教學(xué),也多數(shù)停留在“邏輯上的為什么”.HPM 研究表明,數(shù)學(xué)史對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教師的專業(yè)發(fā)展都有著重要的促進(jìn)作用,筆者設(shè)想以材料閱讀代替教師敘述的方式讓數(shù)學(xué)史走進(jìn)課堂,能營造出不一樣的課堂.

1.3 以往授課方式和教學(xué)效果的啟示

本案例涉及的這一概念課——“弧度制”,是人教A 版(2017)高中數(shù)學(xué)必修一第五章“三角函數(shù)”第一節(jié)“任意角的三角函數(shù)”第二課時(shí),從單元結(jié)構(gòu)來看,如圖1,“弧度制”在“任意角”之后,“任意角的三角函數(shù)”之前,承上啟下,為三角函數(shù)后續(xù)的學(xué)習(xí)和研究做足了準(zhǔn)備,但是以往這一塊知識(shí)學(xué)完之后,學(xué)生僅僅記住一個(gè)角度制與弧度制的換算公式,體驗(yàn)到弧度制帶來的便利但卻不能掌握這個(gè)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程,以及前人在研究過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維、學(xué)習(xí)毅力.

圖1 三角函數(shù)知識(shí)架構(gòu)

2 教學(xué)過程片段

基于以上四點(diǎn)考慮,筆者選擇了4 段數(shù)學(xué)歷史材料,設(shè)置了如圖2 的授課流程,嘗試以“自主閱讀+問題串”的組合方式來完成“弧度制”這一教學(xué)內(nèi)容,

設(shè)計(jì)是分五個(gè)環(huán)節(jié),環(huán)節(jié)一是回顧圓周角,引出角度制,閱讀史料1,啟發(fā)學(xué)生思考角的多種度量方式,環(huán)節(jié)二是閱讀史料2,探究弧度制的發(fā)展過程,閱讀史料3 和4,理解弧度制下用半徑度量弧長的度量本質(zhì),環(huán)節(jié)三則是弧度制與角度制的關(guān)系,弧度與角度的互化,環(huán)節(jié)四就是弧度制下扇形弧長與面積公式的推導(dǎo)與應(yīng)用,環(huán)節(jié)五則是小結(jié)和作業(yè)布置.教學(xué)設(shè)計(jì)中是利用環(huán)節(jié)一和環(huán)節(jié)二生成概念.環(huán)節(jié)三實(shí)現(xiàn)公式互化,環(huán)節(jié)四和五實(shí)現(xiàn)應(yīng)用.

圖2 “弧度制”授課流程

在實(shí)際教學(xué)中,因?yàn)閷W(xué)生有提前預(yù)習(xí)過課本,因此在環(huán)節(jié)一、三、四、五都很順利,但是在環(huán)節(jié)二:探究弧度制發(fā)展過程,理解弧度制度量本質(zhì),卻有意外發(fā)現(xiàn).這一環(huán)節(jié)的基本設(shè)想是,學(xué)生自主閱讀材料2,思考并回答問題,具體內(nèi)容如下:

材料2公元6世紀(jì),印度數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿耶頗多(公元476-550),以固定的圓作為研究對(duì)象,他將圓周等分為21600 份,每一份為記為1′,讀作1 分,由于他計(jì)算出圓周和直徑的比約為3.1416:1,因此他計(jì)算出半徑等于.

教師嘗試在問題沒有指向性的情況下,學(xué)生如何閱讀和思考? 設(shè)計(jì)第一次提出問題1:從材料中能得到哪些信息? 學(xué)生回答主要以下兩點(diǎn):一是當(dāng)時(shí)的圓周率已經(jīng)算到3.1416;二是阿耶婆多跟巴比倫人一樣將圓周分成60 份,每一份再分60 份,然后每一份再分60 份.

這確實(shí)是材料中直接呈現(xiàn)和可以推理出的信息,但是它不不夠深入.然后追問“還有別的發(fā)現(xiàn)嗎? ”,沒有學(xué)生給出相關(guān)的正面回答.這就說明在問題設(shè)置指向性不夠明確的情況下,學(xué)生是不知道如何深度理解材料,更不知道老師教師想問什么或者想知道什么.于是開始采用第二種問法:

問題2:材料中阿耶頗多度量半徑時(shí)用所用的度量單位是什么?

追問1:換一個(gè)圓,材料中1′會(huì)有不同的意義嗎?

追問2:那它對(duì)應(yīng)的圓心角的大小是一樣嗎?

學(xué)生:一樣.

追問3:根據(jù)材料你能用半徑反過來表示1′嗎?

追問4:換一個(gè)圓,上式還成立嗎?

學(xué)生:成立.

追問5:你能得出什么結(jié)論嗎?

追問6:那長度等于半徑的弧對(duì)應(yīng)的圓心角是多少呢?

學(xué)生:1.

課堂進(jìn)行到這里,已經(jīng)呈現(xiàn)了本節(jié)課的高潮,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)不可思議的是,角居然可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示,然后大家繼續(xù)閱讀了教師播放的閱讀材料3:即:1748年,偉大的數(shù)學(xué)家歐拉在《無窮小分析引論》一書中提出把圓的半徑作為弧長的度量單位,使一個(gè)圓周角等于2π弧度,1 弧度等于圓周角的.至此,本節(jié)課的核心概念就完成了.

3 教學(xué)效果

3.1 學(xué)生表現(xiàn)

在整個(gè)教學(xué)過程中,學(xué)生表現(xiàn)得很認(rèn)真,除了第一次回答材料2 時(shí)有點(diǎn)茫然,其他時(shí)候都能認(rèn)真思考問題,有針對(duì)性的從材料中捕捉信息,深刻解讀.課堂練習(xí)以及課后作業(yè)也都能高質(zhì)量得完成.

3.2 學(xué)生反饋

不少提前預(yù)習(xí)的同學(xué)會(huì)感慨,原以為只是一個(gè)轉(zhuǎn)換公式的記憶和使用,沒想到弧度制的產(chǎn)生如此曲折有趣,相比于枯燥去記憶,這樣的課堂生動(dòng)多了,讓自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)更加立體了,而且數(shù)學(xué)課做閱讀理解,特別不一樣的體驗(yàn).

3.3 教師反饋

相比于直接給出弧度制的概念,雖然會(huì)占用較多的時(shí)間來生成概念,但是課后學(xué)生的記憶是深刻的,心理上是滿足的.事先安排好的設(shè)想都能實(shí)現(xiàn),教學(xué)內(nèi)容得以順利完成,整個(gè)課程目標(biāo)落地,主線清晰.

4 啟示

“弧度制”這節(jié)課其實(shí)更像是一節(jié)試驗(yàn)課,所有的學(xué)生都是觀察對(duì)象,教師帶著自己的設(shè)想,試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)來完成的一次嘗試.整體效果比較滿意,但還是有幾點(diǎn)啟示:

(1)關(guān)于問題設(shè)置:第一，當(dāng)提出的問題大多數(shù)學(xué)生不能回答時(shí),教師要思考是否自己提出的問題指向性是否不夠明確? 教師要及時(shí)調(diào)整,拆分問題,使問題具體化、明確化.第二,要考慮是否是難度太大,應(yīng)該進(jìn)行怎樣的調(diào)整以適合學(xué)生的認(rèn)知水平.要實(shí)時(shí)降低問題難度,找到符合學(xué)生認(rèn)知水平的切入口提問,設(shè)置問題要螺旋式上升,要循序漸進(jìn),讓學(xué)生有思考的基礎(chǔ).第三,要多思考每一個(gè)問題可能面臨是什么? 要站在學(xué)生的角度去思考問題,可以類比,比較等等,啟發(fā)學(xué)生沿著正確的方向思考.第四,課堂上遇到突發(fā)情況,學(xué)生質(zhì)疑情況,要保持冷靜,快速詢問或思考問題癥結(jié),并有效解決,第五,教師要自己把知識(shí)融會(huì)貫通,自己形成問題串的思維,并要反復(fù)推演打磨,并要預(yù)設(shè)學(xué)生回答不出時(shí)的應(yīng)對(duì)策略.

(2)關(guān)于閱讀史實(shí)材料:數(shù)學(xué)史的融入,讓學(xué)生能夠更客觀的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展,揭示數(shù)學(xué)文化價(jià)值,感受思考的重要性,提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.但是引入時(shí)要注意以下幾點(diǎn),一內(nèi)容要與教學(xué)內(nèi)容直接相關(guān),二是要注意符合新課標(biāo)的價(jià)值要求,三是材料可以整合,但一定要確保準(zhǔn)確性.

(3)關(guān)于數(shù)學(xué)閱讀能力.通過這次課堂的觀察發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)材料閱讀的理解能力欠缺的一個(gè)很重要的原因就是:不會(huì)主動(dòng)深入思考,深層的信息捕捉要靠問題推動(dòng),沒有問題引領(lǐng)學(xué)生就沒有方向性,課堂上發(fā)現(xiàn)日常會(huì)問問題的學(xué)生這次表現(xiàn)更出彩,這也為教師后期的教學(xué)嘗試提出一個(gè)可思考的方向——如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)問.

(4)關(guān)于概念教學(xué).部分學(xué)生之所以覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很困難,概念認(rèn)識(shí)不夠清晰往往是深層次原因,這樣就不能熟練地對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行理解、應(yīng)用和轉(zhuǎn)化等.因此,抓好概念教學(xué),理清來龍去脈,對(duì)提高普通中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量具有根本性的意義.