直覺與聯想思維在高考解題中的運用及思考*

揚州大學數學科學學院(225002)汪韶 陳算榮

直覺與聯想思維是數學思維的重要組成部分,是一種與嚴密的邏輯思維不同的思維活動.數學直覺思維是人腦對于數學對象的某種直接的領悟或洞察,其往往產生于經驗、觀察、歸納、類比和聯想[1].數學聯想思維是在人腦內記憶表象系統(tǒng)中由于某種誘因使不同表象發(fā)生聯系的一種思維活動[2].其主要表現在對數學知識的遷移及數學方法的聯系.本文結合新高考Ⅰ卷的試題實例,探討直覺與聯想思維在解題中的運用.

1 例析直覺思維的運用

例1若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則

A.eb ＜aB.ea ＜b

C.0＜a ＜ebD.0＜b ＜ea

這是2021年新高考Ⅰ卷的第7 題,是一道單選題,條件簡單明了,以雙切線模型為背景,求一個未知點的坐標(a,b)參數所對應的代數式的大小關系.常規(guī)思路是設出切點,構建函數,通過代數轉化進行求解,這一過程避免不了較為復雜的導數運算及代數推理,要完整地解出答案有一定的難度.但是如果我們對題目條件進行簡單地分析,不難發(fā)現曲線y=ex是熟知的指數函數,容易畫出指數函數的圖象(如圖1所示),觀察圖象,可以直觀地感知到過點(a,b)作曲線y=ex的兩條切線,則點(a,b)應在曲線y=ex的下方,從而得到b ＜ea,觀察選項,快速地鎖定正確選項D.

圖1

在上述試題中,如果學生能夠根據題目所給條件直覺預測結論,將能夠大大提高解題速度,并為后續(xù)的代數證明提供有效的思路.

例2寫出與圓x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程____.

這是2022年新高考Ⅰ卷的第14 題,是一道填空題,答案是開放的,只需學生寫出滿足條件的其中一條直線方程,題目條件很簡單,與已知的兩個圓均相切.根據以往的解題經驗,我們不難想到數形結合的方法,借助圖形直觀地感知切線的位置.但我們通常借助的圖形是徒手在草稿紙上畫的草圖,且高考中的學生也是無法使用除尺規(guī)之外的精細畫圖工具的,因此,我們想要從草圖中獲取較強的直觀性,就需要充分感知題目條件,從已有的信息中挖掘更多的隱含條件.以圖2、圖3、圖4 所呈現的三種草圖為例,分析不同草圖激發(fā)出的求解思路的差異.觀察草圖不難發(fā)現,圖2 呈現的直觀性最弱,數形結合中“形”的作用無法體現,完整地解題需要復雜的代數運算.圖3 的直觀性較強,“形”的作用得到體現,通過兩圓外切能夠順利找到滿足題意的切線所在,而完整地解題只需聯立兩圓的標準方程,即可求得切線方程6x+8y-10=0.圖4 的直觀性最強,“形”的作用在該題發(fā)揮得淋漓盡致,通過圖形直接鎖定一條滿足題意的直線方程x=-1,可謂“勢如劈竹”.進一步深入分析可知,這些不同的草圖背后反映地則是學生不同的直覺思維水平,正如上述三種不同解題過程的差異,直覺思維水平較低的學生缺乏深入分析的意識,通過題目所給條件感知到的往往是淺顯的信息,而直覺思維水平較高的學生能夠“見微知著”,感知到題目背后的本質內容.

圖2

圖3

圖4

本題作為填空題的第二小題,難度系數并不高,但從上述分析不難看出,學生直覺思維水平的高低直接影響了他們的解題過程,進而影響解題效率.

2 例析聯想思維的運用

例3記ΔABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上,BDsin ∠ABC=asinC.

(1)證明:BD=b;

(2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.

這是2021年新高考Ⅰ卷的第19 題,是一道解三角形的題目.第(1)問證明較為基礎,利用正弦定理即可解決,重點討論第(2)問.首先根據題目條件畫出草圖(如圖5所示).

圖5

要求解∠ABC的余弦值,結合題中的條件和第(1)問結論中邊的關系,可以聯想到余弦定理cos ∠ABC=想要確定cos ∠ABC的值,還需確定a與c的關系,即將雙變量轉化為單變量.下述為確定a與c的關系的兩種聯想.

聯想1再次觀察條件,由(1)得BD=b,又AD=2DC,根據以往的解題經驗可以聯想到互補角余弦值互為相反數,得到cos ∠ADB=-cos ∠BDC.在ΔCDB中,則,化簡得11b2=6a2+3c2.又b2=ac,得11ac=6a2+3c2.解得c=3a,或分別代入,得

解在ΔADB中,(舍),或.

聯想2由AD=2DC聯想到平面向量,從而利用平面向量的工具解題.

解在ΔABC中,平方得解得cos ∠ABC=又因為在ΔABC中,cos ∠ABC=所以又b2=ac,解得c=3a,或.

聯想的角度與方向是發(fā)散的,任何條件與結論的特征都可觸發(fā)聯想.本題的聯想角度遠不止以上兩種,觀察條件,不難發(fā)現題目本身并沒有給出圖形,在解決過程中需要我們根據條件畫出草圖,雖然這并不是難點,但是不同的草圖會激發(fā)我們不同的聯想.根據本題條件,我們也可能畫出如圖6所示的草圖.

聯想3在圖6 的直觀感受下容易聯想到平行線,即過點D作邊BC的平行線,利用∠BED+∠ABC=180°確定a與c的關系.

解如圖7所示,過點D作DE//BC交AB于E.在ΔABC中,因為AD=2DC,所以分別在ΔBED和ΔABC中運用余弦定理表示出cos ∠BED和cos ∠ABC,又cos ∠BED=-cos ∠ABC,解得c=3a或.

數學解題是一個不斷聯想、多次轉化的過程.本題在思考過程中涉及多次聯想:首先由問題聯想到余弦定理,其次從雙變量聯想到“減元思想”,再次是根據我們以往解題經驗的不同或構造的草圖不同聯想到“補角余弦值互為相反數”、“平面向量”和“平行線”三種方法.

例4已知點A(2,1)在雙曲線C:1(a ＞1)上,直線l交C于P,Q兩點,直線AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求l的斜率;

這是2022年新高考Ⅰ卷的第21 題,考查雙曲線,考查內容“看似平平無奇,實則暗藏玄機”,當我們按照常規(guī)思路真正去求解的時候會發(fā)現在第(1)問就對運算能力提出了高要求,而第(2)問求ΔPAQ的面積,同樣避免不了繁瑣的運算過程,讓人“食之無味,棄之不舍”.

但是,如果我們能夠認真分析此題,嘗試打破常規(guī)思維,聯想到直線方程中參數的幾何意義,借助直線的參數方程進行求解便可大大減少運算量,更有趣地,我們會發(fā)現第(2)問在第(1)問參數方程的基礎上可以直接運用參數面積公式求出ΔPAQ的面積,可謂“水到渠成”.

解(1)設直線AP的傾斜角θ,則直線AQ的傾斜角π-θ.設直線AP:則直線AQ:因為點A(2,1)在雙曲線上,所以解得a2=2.所以雙曲線方程為將直線AP的參數方程代入雙曲線方程得,(2+t1cosθ)2-2(1+t1sinθ)2-2=0.化簡得,4t1(cosθ-sinθ)+t12(cos2θ-2sin2θ)=0.解得,同理可得,則

將t1,t2代入上式化簡求得kl=-1.

上述求解思路不僅簡化了直接利用韋達定理的繁瑣運算,而且巧妙地解決了求ΔPAQ的面積問題,從第(1)問的簡便計算到第(2)問的順利求解,一氣呵成.而這樣做的前提在于我們能夠聯想到參數方程的相關內容,進行知識遷移并準確運用.

3 發(fā)展直覺和聯想思維的幾點思考

3.1 挖掘知識本質,尋找內在聯系

扎實的知識基礎是直覺和聯想思維產生的源泉.數學直覺思維并非憑空臆想,而是以扎實的知識儲備為基礎.在上述四道考題中,直覺和聯想思維都來源于頭腦中對相應知識(或模型)的準確識別.因此,教師在解題教學中要善于挖掘數學知識的本質,幫助學生理解與掌握數學方法.

尋找和發(fā)現數學材料的內在聯系,是進行直覺想象和聯想的又一途徑.例如,在例4 中,通過整體分析聯想到直線參數方程的幾何意義,利用參數方程簡便計算.因此,教師在數學教學中,應引導學生尋找數學知識之間的內在聯系,培養(yǎng)全局觀.

3.2 鼓勵數學猜想,拓展聯想空間

數學猜想是數學直覺思維的直接結果.例如,在例1 中,直覺思維的直接結果是我們針對問題條件,進行簡單分析之后,通過圖象直觀猜想得出結論.因此,教師在教學中要重視數學猜想,有意識地進行探索,引導學生大膽設問,合理猜想,促使他們的直覺思維不斷得到發(fā)展和提升.

聯想是由此及彼的思考方法,是知識遷移能力的體現.例如,在例3 中,把平面向量和平行線的相關知識遷移到解三角形的問題中來.因此,教師在教學中要不時地引導學生對所面臨的問題展開多角度、多方位、多層次的聯想,從而拓展學生的聯想空間.

3.3 關注關鍵環(huán)節(jié),抓住思維靈感

觀察、聯想、對比、分析等都是學生解題的關鍵環(huán)節(jié),這些環(huán)節(jié)為直覺和聯想思維的產生提供了強有力的動力[3].例如,在例2 中,學生通過觀察分析題目中的隱含條件便能快速地感知結論.因此,教師在解題教學中要重視這些關鍵環(huán)節(jié),以其為著力點培養(yǎng)學生的直覺和聯想思維.

直覺和聯想思維往往是相伴相隨,共同作用的,直覺誘發(fā)聯想的產生,聯想為直覺的產生創(chuàng)造條件.因此,教師在解題教學中可同時培養(yǎng)學生的直覺和聯想思維,適當的讓學生在課堂上開展頭腦風暴,幫助學生抓住迸發(fā)的靈感,并給予學生一定的思維空間.