合理利用教材,提升數學思維品質

廣東省中山紀念中學(528454)許文

數學教學的本質就是要教學生學會思考,在教學中,老師要給學生選擇適合學生的學習資料,提供探索知識的平臺.而教材是很重要的學習資源,課本中例題及習題都是經過反復斟酌,有著很高的利用價值.對于學生來說,教材中的材料入手較為容易,而且有很大的思考空間,這就需要老師深度挖掘好課本資源.

1 深度挖掘,培養學生思維的深刻性

在習題變式時,可以從知識的“深度”入手,探求簡單的現象背后隱藏的本質,讓學生深刻了解知識的產生和應用.

案例1 等差數列的性質

(人教A 版必修5 第39 頁練習題第4 題)

已知一個無窮等差數列{an}的首項為a1,公差為d.

(1)將數列中的前m項去掉,其余各項組成一個新的數列,這個數列是等差數列嗎? 如果是,它的首項與公差分別是多少?

(2)取出數列中的所有奇數項,組成一個新的數列,這個新數列是等差數列嗎? 如果是,它的首項和公差分別是多少?

(3)如果取出的數列所有序號為7 的倍數的項,組成一個新的數列呢? 你能根據得到的結論作出一個猜想嗎?

這一道練習題給我們提供了一個很好的切入點,教師可以引導學生對等差數列的性質作進一步的探索,以達到開拓學生思維的目的,問題源于教材,但又不局限于教材,從而達到真正意義的利用好教材.

變式1已知一個無窮等差數列{an},若從中抽取一些項:組成一個新的數列,仍成等差數列,這些項的下標有什么特點嗎?

變式2如果我們從等差數列{an}中抽取三項an,ak,am成等差數列,那么下標n,k,m滿足什么關系呢?

設計意圖引領學生逆向思考問題,得到成等差數列與下標k1,k2,k3···成等差數列是等價的.特別地,m+n=2k ?am+an=2ak.另外,引導學生再體會等差數列與一次函數的關系”,也就是說,任取m,n和r,s,若有r-m=n-s,必有ar-am=(r-m)d=(n-s)d=an-as,即當m+n=r+s時,am+an=ar+as.等差數列兩個非常重要的性質,很好的詮釋了等差數列的變化屬性”.從教材習題出發,對其深度挖掘,深化了題目的內涵,對培養學生思維的深刻性,靈活性和創造性都起到了很大的作用.

2 順勢而為,培養學生思維的廣闊性

我們可以從知識的“互通性”來入手,即注重知識間的聯系,從一個知識點可以推導到另一個知識點,知識之間相互印證,加強對知識的理解.這里講的“互通性”并沒有注重知識發生的邏輯順序.此時,課本的例習題就可以當作“藥引子”,將其做更多的推廣.

案例2 數列的構造

(人教A 版34 頁B 組第3 題)

已知數列{an}的第1 項是1,第二項是2,以后各項由an=an-1+an-2,(n ＞2)給出.

(1)寫出這個數列的前5 項.

(2)利用上面的數列{an},通過公式構成一個新的數列{bn},試寫出數列{bn}的前5 項.

這個問題的解答較為容易,進一步思考,為什么會做這樣的構造呢? 新的數列{bn}又會滿足什么遞推關系式呢?

在an=an-1+an-2兩邊同時除以an-2可以得到即1+bn-2=bn-1·bn-2,所以{bn}滿足的遞推公式為1+bn-1=bn · bn-1即

構造新數列是從一個已知的數列出發,通過運算的方式構造新數列,如已知數列{an}將其每一項加上n可以得到數列{an+n},即數列:a1+1,a2+2,a3+3,···,還可以得到數列,即數列,···,另外還有很多的構造方式,如{ann },{nan},{an+an+1}等等.

從熟知的等差等比數列出發,通過構造新數列的方式,能否得到一些熟知的遞推公式呢?

變式1已知等比數列{bn},公比為q(q為非零常數),若構造新數列{an}滿足an=bn+λ,那么數列{an}滿足什么遞推關系式呢?

變式2若數列{bn}滿足bn=rbn-1+s(r,s為非零常數),若構造新數列{an}滿足,那么數列{an}滿足什么遞推關系式呢?

變式3若數列{bn}滿足bn=rbn-1+s(r,s為非零常數),若構造新數列{an}滿足,那么數列{an}滿足什么遞推關系式呢?

設計意圖在這里只是略談了幾種構造新數列的方式,將熟知的遞推公式相互轉化,由基本的等比數列轉化成幾種常見的遞推公式,這只是起到了拋磚引玉的作用,通過這種方式可以構造很多的遞推公式,還可以進一步探討.通過這種相互轉化,讓學生體會到許多常見遞推公式的來龍去脈,提升學生思維的廣闊性.

3 深挖圖形,培養思維的靈活性

在立體幾何的教學中,要重視對圖形的理解,課本上的例習題給出了很多的經典圖形,但限于難度,并沒有深入的挖掘,我們可以結合要學習的知識點,采取不同的設問方式,不同的條件給出方式等方法,“用盡”圖形.

案例3 立體幾何的圖形研究

原題:人教A 版選修2-1 第118 頁練習題第11 題.

如圖1,在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,點M,N分別是A1B1,A1A的中點.(1)求BN的長; (2)求的值; (3)求證:A1B⊥C1M.

圖1

解決本題是很簡單的事情,其實本題還蘊藏著很多可以挖掘的東西,如這里給出了,在矩形ACC1A1中,AA1=2CA,則一定會有C1N⊥CN,另外可以看到NC1⊥NC,AC⊥BC,NC1⊥NB三個垂直的條件是可以互換的,由其中任意兩個垂直就可以推出剩余的一個垂直,因此可以借助這些思考做一些變式.

變式1如圖2,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AC⊥BC,若點N是AA1上的動點,是否存在點N使得C1N ⊥面BNC,若存在求出二面角A1-BN-C1的大小.

變式2(2012年新課標卷(理)改編)如圖2,直三棱柱ABC-A1B1C1中,,N是棱AA1的中點,NC1⊥BN.

圖2

(1)證明:NC1⊥BC; (2)求二面角A1-BN-C1的大小.

其實我們還可以做這樣的變換,由AC⊥BC,NC1⊥NB推得NC1⊥NC,再加一個條件“N是棱AA1的中點”,進而得到.又或者將用線面角替換掉.

變式3(2013年廣一模的第18題改編)如圖3,在直三棱柱ABC-A1B1C1,AC=BC,AC⊥BC,N是棱AA1的中點,若點H為A1B上的動點,且C1H與面ABB1A1所成的角的正切值的最大值為,求二面角A1-BN-C1的大小.

圖3

在變式的過程中,所有的要素在課本習題中的圖形都給出了,但是課本習題只是點到即止,經過深入挖掘可以發現里面別有洞天,棄之實在是可惜了.進行深入挖掘,可以讓學生思考問題時更加靈活.

設計意圖通過挖掘圖形的本質特征,設置不同的題目條件,讓學生對問題認識更加深刻,也使學生思維方式更加靈活,這也是提升邏輯推理能力的有效途徑.

4 結束語

深度挖掘課本例題習題,揭示知識的內在聯系,讓學生了解知識的來龍去脈,留下廣闊的思維空間,激發學生的求知欲,引領學生走上數學的探究之路.這就要求老師對待課本例題與習題時,在學生學習基本知識,掌握基本方法與基本技能的基礎之上,充分發揮教學的智慧,最大限度的利用教材資源,讓學生從不同的角度,不同的層次,認識問題,以提高自己的思維能力.