“放”飛智慧收獲驚喜*
——探究一個定理的教后反思

山東省淄博市博山中學(255200)鄭文博 孫豐文

“你還記得怎樣證明嗎? ”

“你還能想到其他方法嗎? ”

歷年中考第一輪復習總會遇到:定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的再證明,因為這一定理在幾何圖形的計算和證明中占據(jù)著極為重要的地位,所以筆者在課堂上特意提出了上述問題.并將此定理的再證明直接放手給學生解決,學生們的表現(xiàn)讓筆者喜出望外,給出了多種精彩的證法.現(xiàn)整理學生的證題方法和筆者的一些反思感悟與大家交流分享.

1 定理呈現(xiàn)

直角三角形斜邊中線定理

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

已知:在RtΔABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC的中線,

2 證法展示與思考

2.1 第一種情況:從矩形的性質入手

證法1如圖所示,延長AD到E,使DE=AD,連接BE,CE,易證四邊形ABEC是平行四邊形,又因為∠BAC=90°,所以四邊形ABEC是矩形.再因為矩形對角線相等,所以.

證法2如圖所示,取AB,AC的中點E,F,連接DE、DF、EF,得DE、DF、EF均為三角形的中位線,進而DE//AC、DF//AB且,所以四邊形AEDF為平行四邊形.又因為∠BAC=90°,所以四邊形AEDF為矩形,從而推出AD=EF,即.

思考以上兩種證法本質相同,都是通過輔助線構造矩形,再利用矩形對角線相等來證得此定理.因為這個定理是學生學習矩形時給出的,所以從借助矩形性質這個角度來思考的這兩種方法,學生還是比較容易想到.

2.2 第二種情況:從證明三角形全等出發(fā)

證法3延長AD到E,使DE=AD,連接CE.易證ΔADBΔEDC,得AB=EC,∠B=∠DCE,這時可得出∠ACE=90°,進而推出ΔABCΔCEA,所以BC=EA,又因為所以.

證法4延長BA到E,使AE=AB,連接CE.易得AD是ΔBEC的中位線,所以.這時可證ΔBACΔEAC,進而推出BC=EC,從而得出結論.

思考對于線段之間的等量關系證明,學生常用的方法是通過證明三角形全等得出.證法3 是利用倍長中線的輔助線作法來構造全等得出結論;證法4 是通過添加輔助線,利用中位線性質和構造三角形全等得出結論.

2.3 第三種情況:從構造中位線角度考慮

證法5取AC的中點E,連接DE,易得DE是ΔABC的中位線,進而DE//AB.因為∠DEC=∠BAC=90°,所以DE垂直平分AC,從而推出原題得證.

證法6過點D作DE//AB,交AC于點E,可得DE是ΔABC的中位線,又因為∠BAC=90°,所以∠AED=90°.由此可在RtΔAED中,根據(jù)勾股定理得易知所以

思考看到中點如何思考? 證法5 從構造中位線入手,借助垂直平分線性質證得結論,其中輔助線作法也可過點D作DE//AB;證法6 的出現(xiàn)讓人眼前一亮,利用中位線得出線段關系,再通過勾股定理將線段代換,從而得證,著實讓人感到意外,學生開闊的思路,值得點贊.當然前面證法2、證法4 證明過程中也都運用到了中位線性質.

2.4 第四種情況:從特殊角度突破

證法7運用圓周角定理證明.

作RtΔABC外接圓,由90°的圓周角所對的弦是直徑,可得點D是圓心,AD是半徑,BC是直徑,所以.

證法8運用參數(shù)法證明.

不妨設AB=c,AC=b,BC=a,知b2+c2=a2.過點A作AE⊥BC,垂足為E,因為∠BAC=90°,所以∠BAC=∠AEB.又∠ABC=∠EBA,所以ΔABC∽ΔEBA.由三角形相似的性質可得.易知所以

證法9運用解析法證明.

可以建立平面直角坐標系:以點A為坐標原點,AB邊所在直線為x軸,AC邊所在直線為y軸建立直角坐標系.設點B:(b,0)、點C:(0,c),則點D:所以.

證法10運用反證法證明.

證法11運用作圖法證明

如上圖,以點A為頂點,作∠BAD=∠B,可知AD=BD.又∠BAC=90°,所以∠CAD=∠ACD,所以AD=CD,由此推出.

思考通過觀察圖形,發(fā)現(xiàn)圖中存在直角三角形,證法7通過構造輔助圓來解決問題,雖然此法看似簡單,但同學們極少有這種做題儲備和經(jīng)驗.證法8 中求線段AE的長還可以利用面積法,如上圖易知AB×AC=BC ×AE,所以,在RtΔABE中利用勾股定理計算,然后再利用上面的方法即可求證.對于證法9、證法10、證法11 屬于另辟蹊徑,證法獨到.

以上幾種證法,是學生在獨立思考——展示交流——再思考——再展示的過程中得出的.應該說,學生們精彩的解答,讓人倍感驚喜.驚喜于他們能從不同的角度去思考問題、分析問題、解決問題,更為他們能獨當一面,思路開闊,感到欣慰!

3 反思感悟

3.1 “放”是踐行《義務教育數(shù)學課程標準》最新要求

雖說以學生為主體的教學理念推廣已久,但日常教學現(xiàn)實卻是不盡人意.老師們頭腦中的意識和習慣性教學方式早已根深蒂固.所謂“生本教學”,只是停留在應付檢查層面.《義務教育數(shù)學課程標準》(2022年版)明確指出:“教學活動應注重啟發(fā)式,激發(fā)學生學習興趣,引發(fā)學生積極思考,鼓勵學生質疑問難,引導學生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題.”因此,“引發(fā)學生積極思考”,是改變當前課堂教學現(xiàn)狀的突破口,同時以此入手讓老師們去嘗試、去體悟這種“放手”所帶來的變化與驚喜!

3.2 “放”會突顯“課堂留白”價值的實質

教學是一門科學,更是一門藝術.藝術中注重“空白”效應,教學也不例外.課堂中適度留給學生一點“空白”,會很好地給學生構建一個“充分思考、消化吸收”的平臺,有利于學生深思,生發(fā)智慧.而反觀實際課堂教學:“一言堂”現(xiàn)象屢見不鮮.部分老師課前預設大量知識點,將四十分鐘的課堂安排得滿滿的.究其原因是教師那份“不放心”造成的,殊不知這樣做既減少了學生對課堂教學的參與度,降低了學生學習熱情,又失去了鍛煉學生思維的機會.所以說,課堂中“適度”放手,讓學生去感受、體驗、思考和頓悟,實現(xiàn)學習真實發(fā)生,從而最大限度的發(fā)揮“課堂留白”帶來的效益!

3.3 “放”易培養(yǎng)學生獨立思考的習慣

“幾何學之父”歐幾里得曾這樣談到:“學習幾何,人人都要獨立思考,就像種莊稼一樣,不耕耘就不會有收獲.”所以說,真正的數(shù)學學習是需要每個學生在課堂中有自己獨立的空間進行思考,而課堂教學中的“放”恰好給學生提供獨立思考的時機,它能打開學生思維的閘門,讓學生進入他們“個人的思考世界”,催生“精彩瞬間”,體驗成功的喜悅.因此在平時教學中教師要“大膽放手”,多給學生獨立思考的機會,去點燃和培育學生的獨立思維之花,學生才會逐漸養(yǎng)成自己獨立思考的習慣,自主建立和完善個人的思維和認知結構,提高自己的學習力!

3.4 “放”能提高學生解決問題的能力

面對數(shù)學問題,學生如何解決? 現(xiàn)狀是:大多數(shù)學生一心想著借助外力(網(wǎng)上搜答案或老師、同學的講解)來解決問題,根本不想真心下功夫去思考問題、解決問題,其不知,解題能力的培養(yǎng)和提高這個過程是無人可以代替的.新知識不可能“給予”學生,教師必須意識到這一點(即他呈現(xiàn)給學生的知識,學生必須要重新構建其含意).也就是說:知識的獲得,不是教師“教會”的,而是學生自己“悟”出來的.而在實際教學中,教師常常預設太多,把問題“研碎磨細”,進行著保姆式的教育.有時學生會有一些有趣的奇思妙想,對于解題很有幫助,不幸的是,作為教師往往意識不到這一點.教師會固執(zhí)地習慣于堅持自己的方法去做,不給學生足夠的時間去交流和研討.這就限制了學生的思維,缺少思維碰撞以及生成的精彩,解題能力的提高又從何談起呢? 因此,課堂上應該堅持“放”在心中,充分調動學生學習的內驅力,讓學生成為課堂的主角,讓他們在探究的道路上,體驗成功與失敗,親身經(jīng)歷問題解決的全過程,在實踐中實現(xiàn)解題經(jīng)驗的積累和沉淀.更為關鍵的是這個過程將內化成學生個人解題能力的“真金白銀”,實現(xiàn)解題能力的真提升!

總之,教師的角色應該是明智的領導者,而學生則是聰慧的創(chuàng)造者.數(shù)學并不是學生很容易消化的“流質”食品,需要教師在課堂教學中善于設置問題,敢于放手,讓放手成為一種“常態(tài)”,催發(fā)學生們的“無限可能”! 讓學生在獨立思考、靜心探究、咀嚼問題的味道與營養(yǎng)、體悟思考的力量中,綻放“智慧之花”!