探索幾何概型問題

江蘇省張家港中等專業學校(215600) 周文國

對于一個隨機試驗,我們將基本事件理解為從某個可度量的幾何區域G內隨機地取一點,該區域中每一點被取到的機會都一樣,而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域的某個指定區域G0中的點,則稱這個隨機試驗為幾何概型隨機試驗,或稱幾何概型.一般地,在幾何區域G中隨機地取一點,記事件“該點落在其內部一個區域G0內為事件A,則事件A發生的概率.這里需要注意幾何概型的特點:(1)試驗中所有可能出現的基本事件有無限多個;(2)每個基本事件出現的可能性相等,且要求G的度量不為0,當G分別是線段,平面區域,立體圖形時,對應的“度量”分別是長度、面積和體積.

因此探索幾何概型問題,其最重要的一個知識點是注意“測度”問題.同時,幾何概型與各個知識點結合,則是幾何概型的最精彩之處.

一、幾何概型與一元二次方程相結合

例1已知關于x的一元二次方程x2?ax+b=0(a∈R,b∈R),若當b=1 時,a是從區間[0,5]任取的一個數,求上述方程有實數根的概率.

分析可以根據方程有實數根求出滿足條件的a的取值范圍,且利用幾何概型公式進行計算.

解設事件A={上述方程有實數根},當b=1 時,方程為x2?ax+1=0,該方程有實數根,則判別式?=a2?4 ≥0,得到a≥2 或a≤?2,因為0 ≤a≤5,則得到2 ≤a≤5,所以,所以方程有實根個概率為.

評注這是長度的幾何概型問題,基本事件總數是區間[0,5]的長度,基本事件數則滿足方程有實根的長度.

二、幾何概型與曲線方程相結合

例2已知曲線C:x2+y2+mx+ny+1=0,若m=?2,n=4,在此曲線C上隨機取一點Q(x,y),求點Q位于第三象限的概率.

分析解決題可從角度的測量或者是弧度的測量來求解該幾何概型問題.

解設事件A={點Q位于第三象限},如圖1,由|MN|=可得到∠MCN=120?,因此也可以從弧長的角度來思考,則所以點Q位于第三象限的概率為.

圖1

評注上述問題研究的也是長度的幾何概型問題,注意研究總的長度問題和適合該問題的基本事件數的測度,則可迅速尋求解決上述幾何概型問題.

三、幾何概型與不等式相結合

例3已知正方形OABC(如圖2)的邊長為4,在其四邊或內部任取一點P(x,y),求點P恰好落在不等式組

圖2

所表示的平面區域內部的概率.

分析可將不等式所表示的平面區域表示出來,本題的基本事件總數是正方形的面積,發生的基本事件數就是為不等式的適合平面區域.

解設事件A={點P恰好落在不等式組(?)所表示的平面區域內部},作出不等式所表示的平面區域(如圖3):結合圖象可以知道.

圖3

評注本題是以面積為測度的幾何概型問題,注意結合不等式確定面積,這是解決問題的關鍵.

四、幾何概型與相遇問題相結合

例4某校早上8:10 開始上課,假設該校學生小張與小王在早上7:30 ～8:00 之間到校,且每人到該時間段內到校時刻是等可能的,求兩人到校時刻相差10 分鐘以上的概率.

分析設出小張與小王的到校時間分別為7:00 后第x分鐘,第y分鐘,建立不等式組關系,求出對應區域的面積,結合幾何概型的概率公式進行計算即可.

解設小張與小王的到校時間分別為7:00 后第x分鐘,第y分鐘,因此基本事件總數滿足30 ≤x≤60,30 ≤y≤60,根據題意畫出形如圖4 的圖形,則基本事件總數所占的面積為30×30=900.

圖4

兩人到校時刻相差為10 分鐘,則隨機事件A滿足可作出對應的區域圖,由得到即F(30,40);由得到即E(50,60);所以?DEF的面積為S=則陰影部分面積為S=200+200=400,則兩人到校時刻相差10 分鐘以上的概率.

評注本題研究的是幾何概型概率計算,其關鍵是將實際問題轉化為幾何概型,且借助于區域的面積來計算.

五、幾何概型與函數相結合

例5已知二次函數f(x)=ax2?4bx+1,若a、b滿足

求函數f(x)在[1,+∞)上是增函數的概率.

分析畫出不等式所表示的平面區域,利用二次函數的性質,結合幾何概型求解概率即可.

解設事件A={函數f(x)在[1,+∞)上是增函數},如圖5,(??)是圖中?OAB的區域,可求得?OAB的面積為由于函數f(x)=ax2?4bx+1 在[1,+∞)上是增函數,則滿足的條件是即為可求得的交點所以?OPB的面積為所以.

圖5

評注本題的關鍵要確定函數f(x)在[1,+∞)上為增函數的條件,結合不等式確定適合的區域,則可求出幾何概型的結果.

六、幾何概型與摸球問題相結合

例6已知袋子中放有大小和形狀相同的小球4 個,其中標號為0 的小球1 個,標號為1 的小球1 個,標號為2 的小球2 個．現從袋子中放回地隨機抽取2 個小球,記第一次取出的小球標號為m,第二次取出的小球標號為n.(1)記“m+n=3”為事件A,求事件A發生的概率;(2)在區間[0,4]中任取兩個實數x,y,求事件“x2+y2>(m+n)2恒成立”發生的概率.

分析第(1)問是古典概型,第(2)問是幾何概型問題,其中m+n的最大值為4,則滿足x2+y2>16 表示的區域是圓心為(0,0),半徑為4 的圓盤外側.畫出適合的區域確定幾何概型.

解(1)記標號為0 的小球為s,標號為1 的小球為t,標號為2 的小球為k,h,則取出2 個小球的可能情況有:(s,s),(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,t),(t,k),(t,h),(k,s),(k,t),(k,k),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),(h,h)共16 種,其中滿足“m+n=3”的有4 種:(t,k),(t,h),(k,t),(h,t).所以所以事件A發生的概率是.

(2)設事件

評注對幾何概型,需要特別注意適合的基本事件數能夠正確地表示出來.

圖6

七、幾何概型與解析幾何相結合

例7(1)從區間[?1,1]內任意取實數a,從區間[0,1]內任意取實數b,求事件直線ax?by=0 與圓(x?1)2+(y?2)2=1 相交的概率.

(2)在區間[1,5]和[2,4]上分別取一個數,記為a、b,求方程表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率.

分析(1)先求出所有試驗的全部區域圍成的圖形的面積,而直線與圓相交可得到整理得到4a?3b >0,確定該區域的面積,則可求出幾何概型.

圖7

解(1)設事件A={直線ax?by=0 與圓(x?1)2+(y?2)2=1 相交},由于a∈[?1,1],b∈[0,1],則構成區域的面積為1×2=2,則直線ax?by=0 與圓(x?1)2+(y?2)2=1相交,可得到整理得到4a?3b >0,則該區域的面積為則幾何概型的概率為.

(2)設事件B={ 焦點在x軸上且離心率小于,則到化簡得到畫出不等式所滿足的區域,如圖8,得到A(2,2),B(4,4),C(4,2),D(5,4),則陰影部分的面積為?ABC的面積加上梯形BCED的面積,所以焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率.的橢圓},由于a∈[1,5],b∈[2,4],則全部區域的面積為4×2=8,而要滿足焦點在x軸上且離心率小于

圖8

評注本題研究與面積有關的幾何概率的求解,解題的關鍵是要能求出構成試驗的全部區域的圖象的面積及基本事件的圖象的面積,同時要注意結合解析幾何中的相關知識列式求解.

當然,幾何概型的研究角度還有很多,如與三角、向量、立體幾何及古代的一些文化知識結合等,內容新穎,角度多變,但只要把握幾何概型的概率計算方法,無論問題如何變化,天塹依舊是通途.