巧用切線法妙證不等式

江西省九江市第三中學(332000) 盧恩良

1 模型總結

問題模型對于x1,x2,x3,···,xn∈D,有k(≥k,≤k),證明:.

解法歸納令設函數f(x)在處的切線為y=kx+b.根據函數的凹凸性,確定f(x)≤kx+b(或f(x)≥kx+b)在區間D上恒成立,再證的成立.

2 模型應用

類型一 直接套用模型

例1若a≥0,b≥0,c≥0,a+b+c=1,求證:.

簡析設因為所以f(x)在處切線方程為因為在x∈[0,1]上恒成立,所以f(x)在區間[0,1]上是上凸函數,對x∈[0,1]恒成立.因為a,b,c∈[0,1],所以即成立.

評注本題屬于問題模型的標準形式,主要是熟悉模型,掌握方法.由待證結論中各項結構特點,構造相應函數,再根據二階導函數的符號,判斷函數凹凸性,從而得出切線不等式,最后三式相加證得結論.

類型二 變形后構造模型

例2(2004年新加坡國家隊選拔試題)已知a,b,c∈(0,1),且ab+bc+ac=1,求證:.

有些人不解：為什么要費那么多時間和精力，去復原沒有多少實穿價值的服裝？楚艷說：“這不僅僅是一件衣服，更是拾起了千百年的文化自信，彌補了斷層的文化殘缺。將每一個細節做到極致，不僅是對人和衣服最基本的尊敬，更是對衣服背后所承載文化的虔誠與敬畏！”

簡析設函數因為所以f(x)在.因為f′′(x)=處切線方程為在x∈(0,1)上恒成立,所以f(x)在區間對x∈(0,1)恒成立.因為a,b,c∈(0,1),所以(0,1)上是下凸函數,

因為a2+b2+c2≥ab+bc+ac,所以(a+b+c)2≥3(ab+bc+ac),得,即成立.

評注本題中條件不符合模型中單變量求和的形式,需要將條件ab+bc+ac=1 推理得到轉化到問題模型的標準形式再進行證明.運用切線法證明不等式時,需要注意模型中的條件與待證不等式均是單變量的和.

同類題目[3]設正實數x,y,z滿足yz+zx+xy=1,求證:.

類型三 換元后構造模型

例3已知a,b,c是正數,a+b+c≤abc,求證.

簡析由a+b+c≤abc得則x,y,z均為正數,且x+y+z <1.設.因為,所以f(x)在處切線方程為.因為f′′(x)<0 在x∈(0,1)上恒成立,f(x)在區間(0,1)上是上凸函數,f(x)≤對x∈(0,1)恒成立.因為x,y,z∈(0,1),所以,即.

評注本題條件和待證不等式都不屬于模型中單變量和的形式,因此破解問題關鍵是通過換元手段將條件和待證不等式化為單變量和的形式.

例4(數學通訊問題征解514)已知a,b,c是正數,求證:.

分析將不等式化為

左邊各項分子分母同除以(a+b+c)3,化為

已知x,y,z是正數,且x+y+z=1,求證:.

證明設則f′(x)=容易求得f(x)在處的切線為y=因為在x∈(0,1)上恒成立,所以f(x)在區間(0,1)上是下凸函數,因此在x∈(0,1)恒成立.根據題意知x,y,z∈(0,1),所以成立.即得證.

評注本題中沒有出現模型中的條件k(≥k,≤k),待證不等式也不屬于單變量求和形式.因此,破解問題關鍵在于巧妙變形,然后換元后轉化到問題模型的標準形式.

同類題目已知a,b,c均為正數且互不相等,求證:.

提示將待證不等式化為

類型四 放縮后構造模型

例5已知a,b,c是三角形的三邊,求證:

分析將待證問題化為

由基本不等式知,

令

則問題可化為:

已知x,y,z是正數,x+y+z=3,任意兩數之和大于另一數,求證:.

證明設則.因為f(1)=1,f′(1)=1,所以f(x)在x=1 處切線方程為y=x.因為在上恒成立,所以f(x)在區間上是下凸函數,因此f(x)≥x對上恒成立.

因為x,y,z是正數,x+y+z=3,且任意兩數之和大于另一數,所以x+y+z=3 成立.

綜上所述,待證不等式成立.

評注本題不屬于問題模型中的類型,是無條件不等式的證明.通過先放縮的方法,將待證不等式放縮到符合問題模型的結構,再巧妙換元,把無條件不等式化為問題模型中的條件不等式.此處需要注意原題中“a,b,c是三角形的三邊”這個條件,結合任意兩邊之和大于第三邊,得出.

3 小結

運用切線法證明符合上文模型的不等式時,需要注意條件與待證不等式均為單變量和的形式.當發現條件或待證不等式形式不符合時,需要合理進行變換.尤其是在證明無條件不等式時,如何變形與換元更是具有極高的技巧,將其化成模型中的形式后可嘗試采用切線法進行證明.最后需要注意的是,切線法僅是解決此類不等式的一種方法,不是唯一的方法,也不是一定有效的方法.