論題、論挫、論法、論道
——2022年高考全國乙卷理科第12題評析

安徽省濉溪縣第二中學(235100) 丁正義 祝峰

研究試題,啟示教學,是中學數學教師教研活動的形式之一.高考試題的探討應在論題、論挫、論法的基礎之上,深入至論道層面.論題聚焦問題的本質揭示;論挫集中分析試題難度,定位學生解題的思維挫點及挫因;論法則圍繞探究自然、合理的問題解決方法開展;論道意在揭示知識本質,給出啟發性、鞏固性變式,總結一般觀念,反思對高考備考的啟示,體會試題對教學、特別是高考備考教學的引領性.下文以2022年高考全國乙卷理科第12 題為例,呈現論題、論挫、論法、論道的過程,旨在為高考試題的教研提供一個鮮活案例.

1 試題

題目(2022年高考全國乙卷理科第12 題)已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7,若y=g(x)的圖像關于直線x=2 對稱,g(2)=4,則=( )

A.?21 B.?22 C.?23 D.?24

為行文方便,記

函數y=g(x)的圖像關于直線x=2 對稱,所以

2 論題

考查函數奇偶性、周期性、圖像對稱性,以及三者之間的內在關聯.兩函數f(x)、g(x)密切相關,圖像均具有雙對稱性、均為周期函數,且相關復合函數具備奇偶性.在題設條件下,以下基本事實成立.

事實1 函數g(x)的圖像關于直線x=2 對稱

且以下五命題等價:g(x)的圖像關于直線x=2 對稱?g(2+x)為偶函數?g(2+x)=g(2?x)?g(2+x)圖像關于y對稱?g(x)=g(4?x).

事實2 函數g(x)圖像關于點(3,6)中心對稱

證明①中用x?4 替換x,得f(x?4)+g(6?x)=5,結合②得g(x)+g(6?x)=12.設P(x,g(x))為函數g(x)圖像上任意一點,則其關于(3,6)點的對稱點為P′(6?x,12?g(x)).注意到g(6?x)=12?g(x),所以點P′在函數g(x)圖像上,所以函數g(x)圖像關于點(3,6)中心對稱.

進一步,以下五命題等價:函數g(x)圖像關于點(3,6)中心對稱?函數g(3+x)?6 為奇函數?g(3+x)+g(3?x)=12?g(x)=12?g(6?x)?函數g(3+x)?6 的圖像關于原點對稱.

(附:或者②中用x+4 替換x,得g(x+4)?f(x)=7,結合①得g(2?x)+g(x+4)=12,再用2?x換x,也可得g(x)+g(6?x)=12.)

事實3 函數g(x)是以4 為周期的函數

證法一注意到對稱中心(3,6)關于對稱軸x=2 的對稱點(1,6),也是函數g(x)的對稱中心.所以g(x)+g(2?x)=12,又g(x)=12?g(6?x),故g(2?x)=g(6?x),用2?x替換x得g(4+x)=g(x),即g(x)為周期函數,4 為其一個周期.

證法二注意到對稱軸x=2 關于對稱中心(3,6)的對稱直線x=4,也是函數g(x)的對稱軸.所以g(x)=g(8?x),又g(x)=g(4?x),所以g(8?x)=g(4?x),用4?x替換x得g(4+x)=g(x),即g(x)為周期函數,4 為其一個周期.

事實4 函數f(x)是偶函數

證明由①得f(x)=5?g(2?x),則f(?x)=5?g(2+x),結合③,得f(x)=f(?x),所以函數f(x)為偶函數.

事實5 函數f(x)圖像關于點(?1,?1)中心對稱

證明①中用2?x換x得f(2?x)+g(x)=5,結合②得f(2?x)+f(x?4)=?2,所以f(x)圖像關于(?1,?1)中心對稱.(證法同事實2,過程略)

事實6 函數f(x)為周期函數

T=4(結合事實4、5,證法同事實3,過程略)

3 論挫

3.1 難度

為了考查學生的創新意識和關鍵能力,以數學情境為載體.看似平淡無奇,但新穎、嚴肅、規范、工整的呈現方式,別致的問題情境,巧妙的設問,讓學生在“嘗鮮”中發揮自己的問題解決能力.這種獨特的情境,對學生而言是陌生的.

從信息量看,兩個函數、兩個關系、一個性質、一個特值、一個和式、四個選項.量大、關系錯綜,隱蔽性、干擾性、迷惑性強,且內隱著重要的數學思想、解題策略和數學模型.

從運算和推理的角度看,問題解決過程中涉及的函數均為抽象函數,沒有具體的解析式可用.運算和推理基本上都以符號進行,步驟多、思維量大、邏輯性強、指向性不明確,對考生心理的沖擊力強.

從知識的關聯性看,試題在函數奇偶性、周期性、圖像的對稱性、圖像變換等,多個邏輯關系較強的知識交匯處命制,且設置在選擇題壓軸題的位置.這種綜合性及特定位置,給學生的心理暗示是復雜、困難.

陌生的問題情境,冗雜的知識信息,繁瑣的運算推理,多重的知識交匯,特定的壓軸位置,這些因素共同促高了試題的客觀難度.

3.2 挫點、挫因

(3)函數g(x)圖像關于x=2 對稱,不能順利向事實1中的其它四個命題轉化,這是知識缺陷導致.

(4)看待“元”、“方程”的視角狹窄,沒有把f(x)+g(2?x)=5 及g(x)?f(x?4)=7 這兩條件結合,消去其中一個,獲得另一個函數性質表達式的意識,這是問題解決的一般觀念薄弱導致.

(5)賦值法.考生基本上都具有這種觀念和能力,但僅對變量賦常數有感覺,對諸如用x替換x?4 等這樣,給變量賦變量的賦值問題,應用不夠熟練.主要是對賦值的思維來源模糊導致,不能按需要恰當構造所需的抽象結構式.

4 論法

解法1(聚焦g(x),歸納得結果)由①得f(x)=5?g(2?x),結合③得f(x)=5?g(2+x),所以

把①中x換成x?4 得

結合②、④得

令x=2,代入⑤有g(2)+g(6?2)=12,所以g(4)=8;令x=3,代入⑤有g(3)+g(6?3)=12,所以g(3)=6;注意到y=g(x)的圖像關于直線x=2 對稱,所以g(0)=g(4)=8,g(1)=g(3)=6.

令x=1,代入⑤得g(5)=6.可見,g(1)=6,g(2)=4,g(3)=6,g(4)=8,g(5)=6,g(6)=4,···,g(k)的值呈現周期性變化,周期為4.所以

點評化歸思想下,“g(x)圖像關于直線x=2 對稱,g(2)=4”均是函數g(x)的性質,所以想到借助①,把轉化為問題轉化為g(x)的問題,聚焦函數g(x),消元法思想和賦值法統領下,①、②結合得g(x)+g(6?x)=12.至此,函數g(x)具備兩個性質、一個特值,按需要賦值,歸納推理下,發現其函數值呈周期性變化,獲得結果.

上述解法,可從以下不同方向細微調整:

方向1g(x)+g(6?x)=12 獲得的另一方式.x+4 替換②中的x得g(x+4)?f(x)=7,結合①得g(x+4)+g(2?x)=12.類似解法繼續解下去即可.當然,只需用x?4 替換x即可獲得g(x)+g(6?x)=12.

方向2歸納、猜想發現g(x)函數值呈周期性變化,獲得結果是正確的.選擇題這樣解無可厚非,但邏輯上欠完整,為了更嚴密,可參考事實3,嚴格證明函數g(x)是周期為4 的函數.

解法2(聚焦f(x),歸納求解)

由①得f(x)=5?g(2?x),則f(?x)=5?g(2+x),結合③,得f(x)=f(?x),所以函數f(x)為偶函數.①中用2?x替換x,得f(2?x)+g(x)=5,結合②得

令x=3,由⑥得f(1)=?1;令x=2,由②得f(2)=?3;x=5,由⑥得f(3)=?1;令x=6,由⑥得f(4)=1;令x=7,由⑥得f(5)=?1,··· ,可見,f(x)函數值呈現周期性變化,T=4.所以

點評關鍵有三,一是把g(2?x)為偶函數轉化為f(x)為偶函數,二是結合①②獲得函數f(x)的性質表達式⑥,三是把g(2)=4 利用②轉化為f(2)=?3.完成這三個轉化后,問題只與函數f(x)有關,按需要賦值,發現周期性規律,即可解決問題.集中體現了化歸思想和賦值法的應用.類比事實3,可嚴格證明函數f(x)是以4 為周期的函數.

解法3(特殊函數)注意到y=g(x)的圖像關于直線x=2 對稱,g(2)=4,令符合這兩已知兩條件.由①得

則

點評抽象函數問題中,可列舉符合條件的具體函數,輔助理解問題,探究思路.客觀題中甚至可以直接用這樣的函數解決問題.瞄準函數y=g(x)的圖像關于直線x=2 對稱,g(2)=4 這兩個特征,構造一個符合條件的函數并在此基礎上用①求出進一步檢驗此函數也符合條件②.所以構造的函數符合題設中所有條件,是滿足題設的其中一組函數,可以直接利用這兩函數解決問題.

值得關注的是,所構造函數必須滿足題設中所有條件,同時應清楚滿足條件的函數不唯一.

5 論道

5.1 知識

奇偶性和周期性是函數重要的基本性質,在圖像上均有直觀體現.奇偶性、周期性定義的基礎上,復合函數的奇偶性有以下常見規律.

f(x)為定義在R 上的函數,a,b∈R.

(1)關于偶函數,以下五句話等價

f(a+x)為偶函數?f(a+x)=f(a?x)?f(a+x)的圖像關于y對稱?f(x)的圖像關于x=a對稱?f(x)=f(2a?x).

(2)關于奇函數,以下五句話等價

f(a+x)?b為奇函數?f(a+x)+f(a?x)=2b?f(a+x)?b的圖像關于原點對稱?f(x)圖像關于點(a,b)對稱?f(x)=2b?f(2a?x).

(3)關于周期函數,有以下結論

①若f(a+x)=f(a?x),且f(b+x)=f(b?x),即函數f(x)圖像有兩條對稱軸,則f(x)為周期函數,2(a?b)為其一個周期.

②若f(a+x)+f(a?x)=2m,且f(b+x)+f(b?x)=2n,(m,n∈R)即函數f(x)圖像有兩個對稱軸中心,則f(x)為周期函數,2(a?b)為其一個周期.

③若f(a+x)=f(a?x),且f(b+x)+f(b?x)=2n,即函數f(x)圖像有一條對稱軸,一個對稱軸中心,則f(x)為周期函數,4(a?b)為其一個周期.

上述結論,類比基本事實1、2、3 可證,不予贅述.

5.2 變式

變式1(不定項選擇)已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7,若y=g(x)的圖像關于直線x=2 對稱,g(2)=4,則( )

A.f(0)=1 B.g(1)=?6

C.f(?1)=f(7) D.g(?1)=g(2)

變式2已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7,g(2+x)為偶函數,g(2)=4,則=( )

A.?21 B.?22 C.?23 D.?24

變式3已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7,為偶函數,g(2)=4,則=( )

A.?21 B.?22 C.?23 D.?24

變式4已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7,g(x)=g(4?x),g(2)=4,則=( )

A.?21 B.?22 C.?23 D.?24

變式5(2022年新高考I 卷第12 題)已知f(x)及其導數f′(x)的定義域均為R.記g(x)=f′(x).若g(2+x)均為偶函數,則( )

A.f(0)=0 B.

C.f(?1)=f(4) D.g(?1)=g(2)

變式6(2022年新高考Ⅱ卷第8 題)已知函數f(x)的定義域為R,且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y),f(1)=1,則=( )

A.?3 B.?2 C.0 D.1

5.3 觀念

鞏固知識、深化理解、提高能力是解題教學的基本目的,教學中應超越具體問題所對應的知識、方法和技巧,上升到學生學科一般觀念發展的層面.學科一般觀念是指對數學學習和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數學思想方法和基本思維策略方法.[1]學科一般觀念直觀、簡明、易懂但難深入;它們在問題解決中具有統攝性、一般性和普適性.這道試題探究和解決的過程,至少體現以下一般觀念.

聚焦關鍵復雜問題解決過程中,何為關鍵所在? 何為次要因素? 這道試題要求性質的發現是關鍵;而結合條件①,得f(x)=5?g(2+x),所以

此時,關鍵在函數g(x)性質的發現.排除干擾因素,聚焦問題的主要方面,抓住關鍵所在,是一種重要的問題解決能力,是問題解決中所需的一種基本觀念.

轉化與化歸問題的求解中,一種形式轉化為另一種形式不是無聊的游戲,而是問題解決的杠桿,沒有它,難能走遠、走深.面對問題,應從運動、變化、聯系、發展的視角認識才能發現本質所在,而構建聯系,觸及本源的最有效手段就是轉化與化歸,即不斷地尋求關聯,改變形式.把轉化為、把g(x)圖像關于x=2 對稱轉化為g(2+x)=g(2?x)、把題設中性質的混合表達式①②轉化為g(x)+g(6?x)=12 等等,這些轉化是問題得以解決的最有效思維元素.

消元解題中,常稱一些對象為“元”.方程、代數式、函數中,把具有固定結構的可變對象視為一個“元”,如一元二次方程、二元代數式、多元函數即是基于這種認識所賦予的稱謂.[2]應多視角認識和構造“元”,否則會影響問題求解的靈活性、速度和正答率.試題求解中,對于條件①②,可把f(x)、g(x)視為兩個“元”.若把轉化為則需消去f(x),得g(x)的性質表達式;若直接求解則需消去g(x),得f(x)的性質表達式.這種“消元”的觀念,在問題的解決的過程具有重要的導向作用.

賦值抽象函數問題解決過程中,賦值法特別關鍵.“對稱賦值”和“按需要賦值”是常用的兩種賦值基本技巧.“對稱賦值”一般用在與奇偶函數相關的問題中,本題解答中主要是“按需要賦值”.如解法1 中把①中x換成x?4,是結合②消去f(x?4)使然,令x=2,代入⑤有g(2)+g(6?2)=12,是想知道g(2)=4 能獲得什么? 等等,均是在“按需要”賦值觀念下的獲得的思維靈感.

5.4 啟示

高考試題除選拔功能外,更重要的是對教學的引領作用,備考過程中,高考試題是重要育人資源.高考試題的解題教學,應在“論題”、“論挫”“論法”基礎上,上升到“論道”層面.

首先,反對大量“刷題”.無論是從本題看,還是從今年全國卷的六套試卷看,試題均靈活多變.低效率的大量刷題,搞“地毯式轟炸”,通過刺激—反應訓練形成的“條件反射”,會使數學的思維屬性喪失殆盡,與智慧、思維能力沒有太多關系.

其次,辯證地看待“題型”.對試題適當的分類與辨識是值得肯定的,但教學中應注意防止題型的“泛化”,以及對于“機械記憶與簡單模仿”的不恰當強調.[3]“少而精”是題型選擇和歸納的基本原則;“變式訓練”是題型深化理解、技能有效提升的有效手段,能夠很好實現“講一題,通一類,得一法”;還應引導學生從不同角度進行分析和思考,以及更高層次的綜合,抓住重點,以主帶次,提質升效.

再次,杜絕解題活動算法化、程序化.數學問題的多樣性和復雜性,思維活動又常表現出的非邏輯性(很多時候是靈感或頓悟),所以實際上解題活動常具有或然性和個體性.通過典型高考試題的解題訓練,提升學生的辨識能力,很好地掌握相應的“解法”,并進一步凝練出解題策略、體會數學思想方法,從而在遇到困難時能夠獲得一定的啟示.當然,僅有這些還是不夠,我們應該由具體問題所體現的數學思想方法和解題策略,轉向一般性思維策略與思維品質的提升.也就是要超越具體的知識(起碼教師要具備這種意識),逐步引導學生通過數學解題逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考,努力提升學生思維的整體性與靈活性、自覺性與創造性.[4]

最后,應幫助學生提升“題后反思”的自覺性.引導學生理解為什么應當積極從事“解題活動”? 解題實踐中應特別重視哪些方面或問題? 實際上“題后反思”是解題活動成功與否的一個重要因素.通過題后反思學生才能夠獲得包括“發現的眼光、洞察本質的智慧、數學分析和解決問題的思想方法”[5]在內的學科一般觀念.這些“觀念”層面的東西,不僅對獲得數學知識的實質性理解、落實“四基”“四能”很重要,對轉變教的方式、學的方式也很重要,更是發展學生數學學科核心素養的沃土.