模4法在清華北大強基計劃(自主招生)數學試題中的應用

廣州市花都區秀全中學(510800) 林堃

一、考情分析

數論題目在清華大學和北京大學的強基計劃中的分量越來越大,2021年和2020年這兩年,北京大學強基計劃數學試題都考了五道數論題目,占全部數學試題的四分之一.在十年前的清華北大自主招生中,數論題目只是偶爾出現,是配角.2020年我國實施強基計劃以來,數論題目成為了清華北大強基計劃試題的主角.有志于參加清華北大強基計劃招生考試的同學,要加大對數論的重視程度.筆者研究了近十年來清華大學和北京大學的強基計劃(自主招生)數論題目,發現有很多題目可以用“模4”這一方法解決問題.本文對這些題目進行了解答以及分類整理.

二、相關數論知識和應用

1.平方數模4 余0 或1

定理1偶數的平方除以4 的余數是0,奇數的平方除以4 的余數是1,平方數除以4 的余數不可能是2 或3.

證明如果n是奇數,設n=2k+1,k∈Z.則n2=(2k+1)2=4k2+4k+1≡1( mod 4);如果n是偶數,設n=2k,k∈Z.則n2=(2k)2=4k2≡0( mod 4).

例1(2021年北京大學強基計劃)設n≤2021,且n5?5n3+4n+7 是完全平方數,則可能的n的個數是( )

A.1 B.2 C.3 D.前三個答案都不對

解n5?5n3+4n+7≡ n5?n3+3≡n3(n+1)(n?1)+3( mod 4).如果n是偶數,則n2≡0(mod 4);如果n是奇數,則n+1 和n?1 都是偶數,所以(n+1)(n?1)≡0( mod 4).所以n5?5n3+4n+7≡3(mod 4),由定理1 可知,這是不可能的,所以符合條件的n不存在,選D.

例2[1](2019年北京大學自主招生暨博雅計劃)已知x,y為整數,若(x2+x+1)2+(y2+y+1)2為完全平方數,則數對(x,y)有( )組.

A.0 B.1 C.無窮多 D.前三個答案都不對

解由于x(x+1)為兩個相鄰整數的積,其必為偶數,所以x2+x+1=x(x+1)+1 必為奇數,同理y2+y+1 也是奇數.由定理1 可得,(x2+x+1)2+(y2+y+1)2≡1+1≡2( mod 4),由定理1 可知(x2+x+1)2+(y2+y+1)2不是完全平方數,與題意矛盾,所以本題無解,選A.

2.兩個完全平方數之差模4 不余2

定理2兩個完全平方數之差模4 不余2.

證明n,k是兩個整數,對n,k的奇偶性進行分類討論,由定理1 可得

所以兩個完全平方數之差模4 只能余0,1,3,不余2.

例3(2018年清華大學自主招生暨領軍計劃)在2000,2001,··· ,2017 這18 個連續整數中,能表示成兩個整數平方之差的數的個數為( ).

A.9 B.10 C.14 D.15

解由定理2 可知,兩個完全平方數之差模4 不余2.在2000,2001,···,2017 這18 個連續整數中,2002,2006,2010,2014 這4 個數模4 余2,不符合條件,其余14 個數能表示成兩個整數平方之差.選C.

3.5 n+1 的標準分解式中素因數2 的冪數是1[2]

定理35n+1 的標準分解式中素因數2 的冪數是1,其中n是正整數.

證明由下面兩個引理,定理得證.

引理1模4 余2 型整數的素因數2 的冪數是1.

證明4n+2=2(2n+1),由于2n+1 是奇數,里面沒有2,得證.

引理25n+1 是模4 余2 型整數,其中n是正整數.

證明5n+1≡(4+1)n+1≡1+1≡2( mod 4).

例4(2015年北京大學自主招生)已知1020?220是2n的整數倍,則正整數n的最大值是( ).

A.21 B.22 C.23 D.前三個答案都不對

解這道題實際上問的是1020?220素因數2 的冪數.

由定理3 可知,510+1 和55+1 里面素因數2 的冪數都是1,54+53+52+51+1 是奇數,它沒有2 這個因數.所以1020?220里面素因子2 的冪數是22+1+1=24 個.選D.

4.不定方程ax+by=cxy 的解法

由ax+by=cxy可得cxy?ax?by=0,所以原方程可以化為:

這樣就能將x,y分離,把問題轉化成ab的分解問題.分解滿足cx?b ≡?b( modc),cy?a ≡?a( modc)即可.

例5(2020年北京大學強基計劃)方程19x+93y=4xy的整數解的個數為( ).

A.4 B.8 C.16 D.前三個答案都不對

解由題可知4xy?19x?93y=0.注意到

由于4x?93≡3( mod 4),4y?19≡1( mod 4),3≡3(mod 4),19≡3( mod 4),31≡3(mod 4),所以

共8 種情況,選B.

5.其他用模4 法解答的題目

例6(2015年北京大學自主招生暨博雅計劃)已知n為不超過2015 的正整數,且1n+2n+3n+4n的個位數字是0,則滿足條件的n有( )個.

A.1511 B.1512 C.1513 D.前三個答案都不對

解①若n ≡0( mod 4),即n=4k,k∈Z.

②若n ≡1( mod 4),即n=4k+1,k∈Z.

③若n ≡2( mod 4),即n=4k+2,k∈Z.

④若n ≡3( mod 4),即n=4k+3,k∈Z.

只有當n ≡0( mod 4)時不符合題意,有個,所以符合題意是有2015?503=1512 個.選B.

另解由于題目是選擇題,對嚴謹性要求不是特別高.我們可以通過列表找規律的方法得到答案.令Sn=1n+2n+3n+4n,列表如下:

n 1n 的個位數2n 的個位數3n 的個位數4n 的個位數Sn 的個位數1 1 2 3 4 0 2 1 4 9 6 0 3 1 8 7 4 0 4 1 6 1 6 4 5 1 2 3 4 0

我們發現從n=5 開始出現循環,所以1n+2n+3n+4n的個位數字的周期是4,按照0,0,0,4,0,0,0,4 這樣的規律出現,符合題意的n一共有=1512 個.

例7(2014年清華大學自主招生)已知正整數a1,a2,a3,a4,a5滿足:任意四個數之和構成集合{44,45,46,47},求a1,a2,a3,a4,a5的值.

解a1,a2,a3,a4,a5任取四個數,一共有C45=5 種情況,這五個和全部加起來等于4(a1+a2+a3+a4+a5),它模4 余0.因為44+45+46+47≡2( mod 4),所以第五個和一定是模4 余2 型整數,只有46 符合條件.所以這五個和分別是44,45,46,46,47.我們有4(a1+a2+a3+a4+a5)=44+45+46+46+47=228,所以a1+a2+a3+a4+a5=57,所以a1,a2,a3,a4,a5,這五個數分別是57?44=13,57?45=12,57?46=11,57?46=11,57?47=10.

三、反思與建議

作為數學培優教師或者數學競賽教練,我們在研究和講解數學競賽和強基計劃(自主招生)中相關問題的時候,要保持對數學競賽和強基計劃(自主招生)試題的熱情,勤做題,多思考,多研究.本文就是筆者近期對近十年清華北大強基計劃數學試題進行重新解答后,進行反思歸類的結果.

教學中我們也要培養學生對數學競賽知識的熱愛,激發他們自主獲取新知識,學習新方法,處理新問題的意愿,以期獲得持續性的發展.數學競賽內容的學習從來不是“一日之功”,需要大量時間和精力的付出,更需要不畏難題,鍥而不舍的精神和態度.[3]