拋物線焦點弦的又一推論及應用

四川省綿陽第一中學(621000) 吳博 歐偵偵

在拋物線問題中,焦點弦的定比分點問題一直都是高頻考點,也是實際教學過程中的難點,如何讓學生順利解決該問題成為了眾多一線數學教師頭疼的問題.作者查詢了諸多資料之后,發現有關該問題的資料十分匱乏,為數不多的幾個結論又顯得繁雜,不利于學生掌握.經筆者深入探究,終有所獲,就此成文,以饗讀者.

一、結論的陳述證明

性質已知拋物線y2=2px(p >0)的焦點為F,過F且傾斜角為θ(0)的直線l交拋物線于A,B兩點(A在x軸上方,B在x軸下方),設,則cosθ=2t?1.

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),記l:,將其與拋物線方程聯立得到y2?2pmy?p2=0,故

二、推廣

使用上文性質中的記號,易得如下推論:

推論1焦半徑.

推論2焦點弦長.

推論3.

三、應用

例1過拋物線y2=4x的焦點F的直線l交拋物線于A,B兩點,且|AF|=3|BF|,則該直線的傾斜角為____,弦長|AB|=____.

解析因為不知道A,B的具體位置,故存在兩種情況,得則則傾斜角或,弦長.

例2過拋物線y2=4x的焦點F的直線l交拋物線于A,B兩點,O為坐標原點,若|AF|=3,則三角形AOB的面積為____.

解析由.