活用“1”之“妙筆”巧繪“齊次”之美
——齊次化在2022年高考試題中的應用例析

江蘇省天一中學(214101) 安愷凱

江蘇省前黃高級中學(213172) 周大勇

英國著名數學家哈代說:“不美的數學在世界上是找不到永久容身之地的”,在一個多項式或分式中,各個單項式的次數都相同的式子通常被稱為齊次式,由于齊次式各項的次數相同,其結構特征別具簡潔美、對稱美、規律美,這份美彌漫在2022年高考的多份試卷中和多個模塊內容中.但齊次式的美往往被淹沒在形式演繹的海洋里,需要借用“‘1’的代換”這支“妙筆”,才能描繪構建出問題中齊次式的美來,從而促使問題化難為易,化繁為簡,達到運用智慧優化解題的效果.以下筆者結合2022年高考中的具體實例,與讀者一起來賞析齊次式的獨特魅力和自然數“1”的獨具妙用.

1 齊次化在不等式中的應用

例1(2022年全國新高考Ⅱ卷第12 題)若x,y滿足x2+y2?xy=1,則( )

A.x+y≤1 B.x+y≥?2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

解析當x,y中僅有一個為0 時,x2+y2=1.當x,y都不為0 時,

若x,y同號,則從而1

評注注意到C、D 選項中要求一個齊二次整式的取值范圍,而題目條件恰巧給出了另一個值為“1”的齊二次整式,“齊次化”呼之欲出,可分前后兩步實施,第一步先將選項中的齊二次整式除以“1”,再將“1”代換為條件中的齊二次整式,自然構建出齊二次分式.第二步在齊二次分式中構建出齊次分式以達到符合基本不等式的使用條件,從而實現問題的解決.對于A、B 選項中的齊一次整式,則不能直接除“1”,這也是實施齊次化需要注意的一點,分子分母次數要一致,故可通過平方先化為齊二次整式,再施以同樣的齊次變換得以圓滿解答.

例2(2022年高考全國甲卷(理科)第23 題)已知a,b,c均為正數,且a2+b2+4c2=3,證明:

(1)a+b+2c≤3;(2)若b=2c,則.

解析(1)由三元柯西不等式,可得(a+b+2c)2≤3[a2+b2+(2c)2]=9,所以a+b+2c≤3,當且僅當a=b=2c=1 時等號成立.

(2)(解法1)由0

當且僅當a=2c=1 時等號成立.

(解法2)由a2+b2+4c2=3 及b=2c,得a2+8c2=3,即.因為a,c均為正數,所以要證即證即證即證a4+2a3c?18a2c2+16ac3+8c4≥0.因為a4+2a3c?18a2c2+16ac3+8c4=(a2+6ac+2c2)(a?2c)2≥0,所以.

評注本題第一問可用柯西不等式直接證明,柯西不等式作為高考階段中的重要不等式,本身就是齊次不等式,讓人有和諧對稱之感.第二問的解法1 運用“1”來進行不等放縮,巧妙地找到了利用基本不等式的解題途徑.解法2 則運用“1”來進行恒等變形,最后轉化為證明一個齊四次整式非負,雖不具運算優勢,但也稱得上別具匠心.

2 齊次化在三角函數中的應用

例3(2022年高考浙江卷第13 題)若3 sinα?sinβ=,則sinα=____,cos 2β=____.

解析(解法1)因為,所以

平方得9sin2α?6 sinαcosα+cos2α=10=10(sin2α+cos2α),整理得(sinα+3 cosα)2=0,即

(解法2)由解法1 中的②式可得tanα=?3,從而.所以

評注解法1 通過對條件中的數式平方后,由“1 的代換”化得齊二次完全平方式,其本源是同角三角函數的平方關系式:1=sin2α+cos2α.解法2 則在解法1 的基礎上,運用三角恒等變形中的重要變形技巧——弦切互化,實現三角函數名的“減名增效”,其本源是同角三角函數的商數關系式:,其本身亦是齊次化思想的體現.同角三角函數的平方關系式與商數關系式可以說是三角函數問題中齊次化實施的獨有“妙筆”,但在其它模塊內容的問題中,若題目條件中出現數式平方和恒為1的形式,亦可考慮引入三角函數,進行三角換元,使得三角函數中的齊次化關系式亦能在其它模塊內容的問題中“妙筆生花”,以下便是一個具體實例.

3 齊次化在解析幾何中的應用

例4(2022年上海春季高考卷第20 題)已知橢圓Γ:A、B兩點分別為Γ 的左頂點、下頂點,C、D兩點均在直線l:x=a上,且C在第一象限.

(1)略;(2)略;

(3)設直線BC、AD分別交橢圓Γ 于點P、Q,若P、Q關于原點對稱,求|CD|的最小值.

解析根據橢圓方程,可設P(acosθ,sinθ),Q(?acosθ,?sinθ),且可知點P在第一象限,即.因為A(?a,0),B(0,?1),所以直線BP的方程為y=,直線AQ的方程為從而可得所以

評注本題解析中一共先后實施了四次齊次變換,一為結合橢圓方程平方和為1 的結構特征,自然地聯想到引入三角元素,把解析幾何問題合理轉化為相應的三角函數問題:二為在轉化后的三角函數表達式中,利用二倍角公式,將非齊次分式轉化為齊二次分式:三為對轉化后的齊二次分式化弦為切,轉化為單變量函數:四為根據單變量函數中兩個分式的分母和為1 的特征,巧乘“1”配湊出基本不等式從而求得最值.齊次化在本題中的精彩演繹可謂四美其美,美美與共.

例5(2022年全國新高考Ⅰ卷第21 題)已知點A(2,1)在雙曲線C:上,直線l交C于P,Q兩點,直線AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求l的斜率;(2)略.

解析因為直線l不過點A(2,1),所以可設直線l的方程為

易得a2=2,雙曲線C的方程可等價為

由①②得

即

③式兩邊同除以(x?2)2,得

評注本題屬于解析幾何中典型的動直線定向問題,通過齊次化法解答有兩個關鍵:一是根據直線l的設定,不過點(x0,y0),可設直線方程為m(x?x0)+n(y?y0)=1;二是將曲線方程變形為關于x?x0,y?y0的形式,然后巧妙地借助所設直線方程實施齊次化,把兩直線斜率之和問題轉化為關于斜率的二次方程的根與系數的關系求解.這種解法通過重構曲線方程和巧設直線方程,進一步整合了代數與幾何的關系,“齊次化”為簡化運算找到了出路.

4 齊次化在函數導數中的應用

例6(2022年高考全國甲卷(理科)第21 題)已知函數.

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

解析(1)a≤e+1,過程從略.

(2)由(1)可知,若f(x)有兩個零點,則a >e+1,且兩個零點在極小值點x=1 兩側,不妨設0

評注本題以重要不等式——對數平均不等式為背景,考查了導數在研究函數中的綜合運用.首先由同構思想通過重構函數,化簡求得“1”恰為x1與x2這兩個變量的對數均值.其次證明對數均值不等式的關鍵是將成立,從而原不等式化為,右邊是一個齊一次分式,再通過化為用表示的不等式后,要構造的輔助函數便顯露無疑.值得注意的是,在近幾年的各類考試中,以對數平均不等式為背景的試題屢見不鮮,且常考常新,以下便又是一例.

例7(2022年全國新高考Ⅱ卷第22 題)已知函數f(x)=xeax?ex.

(1)略;(2)略;(3)設n∈N?,證明:

解析同例6 解析,先可證得不等式

(其中n∈N?),即.再用替換k,可得所以

評注本題通過巧添“1”轉化視角,將原根式轉化為幾何均值,再利用對數均值不等式得到放縮所需的不等式,整個不等式鏈的放縮過程顯得恰如其分,絲絲入扣,令人回味無窮.

對于2022年高考的幾份試卷,多種渠道都反饋出學生具有普遍的不適應性.隨著新課改的逐漸深入與成熟,高考試題呈現出“形式設計新”和“思維含量高”的典型特征,尤其注重對學生思維靈活性與創新性的考查,即考查學生轉化與化歸的思想,具體體現便是學生合理變化問題的能力.一般來說,解題始于對題目所給條件的利用與變換,有效的變換是解題成功的關鍵.因而,教學生合理地變換條件是數學解題教學的重要任務.通常來說,對一個條件進行變換的方法多種多樣,變得恰當能使問題迎刃而解,變得不當則會使解題陷入“無從入手應對”的“窘境”,或掉入“粗暴粗淺運算”的“困境”,而“齊次化”是轉化與化歸思想的一種具體實踐,是合理變化問題的一種特征方式,只要教師在平時教學中具有引導學生感悟齊次之美的意識與觀念,教學中的高質量思維活動就可能隨時隨地發生,學生合理變換問題的能力便會有顯著提升,從而更好適應新高考帶來的變化.