非接地負剛度動力吸振器動力學設計及優化

摘要 接地負剛度動力吸振器有著良好的振動控制效果，但是在實際工程應用中，負剛度元件往往無法與地面直接相連。提出一種非接地負剛度動力吸振器，根據所建理論模型，得到系統的頻響函數，利用最大值最小化理論獲得非接地負剛度動力吸振器的最優設計參數，并與其他典型的動力吸振器模型進行對比。計算結果表明，由于引入負剛度元件，非接地負剛度動力吸振器的振動控制效果顯著優于傳統線性動力吸振器，為負剛度動力吸振器的工程應用提供了一定理論參考。

關鍵詞 動力吸振器; 非接地; 負剛度; 參數優化

引 言

動力吸振器（DVA）又稱調諧質量阻尼器，是一種附加在受激勵主系統上以抑制其動態響應的控制措施。Frahm［1］發明了第一個無阻尼DVA，受其窄帶特性影響導致對主振系動態響應的抑制效果有限。在此基礎上，通過配置不同的線性元件（如：阻尼單元和剛度單元）分別提出Voigt型含阻尼DVA［2］和三要素型DVA［3］，其減振性能得到進一步改善。

近年，眾多學者通過在動力吸振器中引入接地非線性負剛度元件的方式探索提升其減振性能的方法和途徑。文獻［4?5］提出兩種含有接地負剛度彈簧元件的動力吸振器，通過固定點理論對該類動力吸振器的最優參數展開研究，該方案不僅能顯著降低主系統幅頻曲線的峰值，而且能拓寬有效減振頻率范圍。范舒銅等［6］將具有黏彈性特性的Maxwell模型引入系統，提出一種含慣容和接地負剛度的動力吸振器。陳杰等［7］將慣容器和負剛度彈簧引入動力吸振器實現對梁橫向振動的抑制。Zhou等［8］在兩類典型動力吸振器模型中插入接地負剛度，建立相應的理論模型并給出閉環最優解析解。為進一步降低接地負剛度動力吸振器在低頻范圍的共振峰幅值，代晗等［9］引入時滯反饋控制，并完成等峰值優化。劉剛等［10］設計了一種變質量?接地負剛度動力吸振器，具有較好的低頻減振效果。

在工程應用領域，Huang等［11］以潛艇傳動軸系縱向振動為抑制對象，采用碟簧和橡膠墊構成接地負剛度動力吸振器實現對其振動的有效抑制。蘇智偉等［12］從理論角度研究了負剛度動力吸振器作為艦船大型機械設備減振抗沖擊器件的可行性。Liu等［13］則將負剛度動力吸振器引入到軌道交通領域，通過理論方法重點研究其對鋼軌振動噪聲控制的有效性。Yao等［14］為抑制轉子系統的振動，提出一種利用環形永磁體實現負剛度的接地負剛度動力吸振器，通過實驗證實所提方案可以實現有效抑振。Zhou等［15］研究一種接地負剛度動力吸振器并將其應用在浮置板軌道上，以降低小質量比條件下的軌道振動。Chen等［16］分析了負剛度機構用于斜拉橋拉索振動控制時的多模態阻尼效應，并發現負剛度機構可以改善所有拉索模態的阻尼效果。

綜上所述，在已有研究中，負剛度元件均采用接地的配置方式。但在實際工程中，如：輸油管道、橋梁、空間展開臂等多種應用場合，負剛度元件往往無法與地面直接相連。因此，本文提出一種非接地負剛度動力吸振器并建立其理論模型；利用所建模型，推導出系統的頻響函數；進一步，利用最大值最小化理論獲得非接地負剛度動力吸振器的最優設計參數。

1 動力吸振器建模

本文提出的負剛度動力振器模型，如圖1所示。其中，M，m1，K，k分別表示主系統和動力吸振器的質量和剛度；c表示動力吸振器阻尼；k1為負剛度彈簧元件的剛度；m2為引入的支撐質量；k2為支撐質量與主系統的連接剛度；F為激勵力；ω表示激勵力頻率；x1，x2，x3分別代表主系統和動力吸振器的位移。

2 優化設計

由式（6）可以看出，采用固定點理論［17?18］推導過程復雜，較難獲得解析解。本節基于序列二次規劃算法［19?22］，對主振系振幅放大因子進行優化分析，利用MATLAB優化工具箱編寫優化程序。

由于主系統的幅頻曲線存在2個峰值，H∞優化的最終目的是實現等峰降幅，本質上是最大值最小化問題。本文所提出負剛度動力吸振器模型的優化設計思路是：使振幅放大系數Am的峰值達到最小。優化目標為振幅放大系數Am，優化設計變量為頻率比ν，阻尼比ξ1，剛度比α1和α2。其中，頻率比ν的取值范圍為（0，2］，阻尼比ξ1的取值范圍為（0，1］，剛度比α1的取值范圍為［-1，0），剛度比α2的取值范圍為［-0.5，0）。相應負剛度動力吸振器的H∞優化數學模型可以表示為：

式中 Am為由頻率比ν，阻尼比ξ1，剛度比α1和α2，以及質量比μ2作為自變量的目標函數。

本文采用序列二次規劃算法對負剛度動力吸振器進行優化設計，具體計算流程如圖3所示。

3 計算結果分析

為了便于分析，暫定含負剛度動力吸振器動力系統的初始設計參數為：M=1 kg，K=1000 N/m，μ1＝0.05，μ2＝0.05。利用第2節提出的優化設計方法計算得到非接地負剛度動力吸振器的最優設計參數，如表1所示。

3.1 頻響曲線

為了評價非接地負剛度動力吸振器的減振效果，分別將相同主系統未加吸振器、安裝傳統線性動力吸振器、接地負剛度動力吸振器［19］和非接地正剛度吸振器，由最優設計參數計算得到幅頻響應曲線，并進行對比，結果如圖4所示。從圖4中可以看出，非接地負剛度動力吸振器相比傳統線性動力吸振器，能夠大幅降低主振系的共振峰值，并有效拓寬減振頻帶；相比非接地正剛度動力吸振器未引入顯著的共振峰；相比接地負剛度動力吸振器則可以保證主振系在低頻范圍的響應未被放大。

3.2 時域響應

工程中，系統所受激勵大多為隨機激勵，這里給出安裝不同類型動力吸振器主系統受隨機激勵的動態響應。

為了便于對比分析，此處將主系統位移進行無量綱化處理：

式中 x1（t）為主系統位移。

構建50 s服從正態分布的隨機力激勵，均值為0，方差為1，可以得到未安裝動力吸振器主系統的位移時程曲線，如圖5所示。圖6為引入不同類型動力吸振器后主系統的位移時程曲線。從圖6可見，在系統中引入負剛度元件減振效果較好。通過比較可以發現接地負剛度動力吸振器的振動控制效果最好。

為了更直觀地分析，采用主振系位移響應均方根值作為評價指標，對比不同類型動力吸振器的減振效果，如圖7所示。由圖7可見，非接地負剛度動力吸振器和非接地正剛度動力吸振器可以分別使主系統響應衰減72.8%和72.3%，減振效果比接地負剛度動力吸振器差，但優于傳統線性動力吸振器。

4 結 論

考慮在工程實際中負剛度元件無法直接接地的難題，本文提出一種非接地負剛度動力吸振器模型并進行優化設計與分析。通過與已有動力吸振器方案對比發現，非接地負剛度動力吸振器的減振控制效果較接地方案差，但優于傳統線性動力吸振器。相關研究可為負剛度動力吸振器的工程應用提供一定理論參考。

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