適用于優化建筑結構聲振特性的多重模態減縮策略

摘要 建筑結構的聲振特性是衡量建筑舒適性的重要指標之一，也是直接影響建筑使用壽命的重要因素，開展建筑結構聲振特性優化的設計方法研究具有重要的工程意義。以建筑結構為研究對象，將其看作聲固耦合系統——固體域為混凝土材質的樓板和墻壁板構成的長方體結構，結構內部腔體填滿可壓縮空氣。引入分支模態發展了多重模態綜合理論，建立了基于子結構固定界面模態、連接面分支模態和聲學體自由子結構模態的減縮模型，極大地提升了聲固耦合系統聲振特性的分析效率；基于該減縮模型發展了一套建筑結構內部聲壓級優化方法，重點分析了建筑結構內部聲壓級與墻壁厚度、樓板?墻壁連接面上剛度之間的定量關系，并以腔體內部平均聲壓級為優化指標給出了優化策略。本文所提出方法和分析結果可為建筑結構聲振特性的分析和設計提供參考。

關鍵詞 聲模態; 聲固耦合; 模態綜合; 固定界面模態; 分支模態

引 言

大跨度框架結構愈來愈多地使用薄而輕的材料，對隔聲隔振設計提出了更高的要求［1?4］；由于中國城鎮化程度越來越高，使得城鎮房屋越來越密集，電梯、水泵、空調、洗衣機等室內噪聲源和汽車、城市軌道交通等室外噪聲源，使得人們受噪聲影響越來越多［5?7］。這些噪聲主要通過建筑結構的門、墻、樓板等結構傳聲，因此合理優化結構設計、控制結構傳聲路徑是提高室內聲學質量的有效途徑。

隨著現代科學技術的發展，建筑聲學設計在理論分析、數值仿真和實驗研究等方面均取得了顯著的進步。其中數值仿真設計在近幾十年來發展比較突出，為建筑聲學設計提供了一種有效的研究手段。基于有限元、邊界元和統計能量方法，美國ANSYS公司（基于有限元），比利時LMS公司（包含有限元和邊界元模塊），法國ESI集團（有限元和統計能量法混合建模）等開發了ANSYS，SYSNOISE和VA ONE等大型工程分析軟件［8?11］。這些軟件已大量應用于建筑結構的墻、樓板等結構振動和聲輻射仿真分析、室內室外的聲場模擬等，使得建筑聲學設計更為方便。然而到目前為止，尚未有一套能快速、準確地預測建筑結構聲振耦合效應及內部聲壓級影響因素的數值算法。

建筑結構可看作是由門、墻和樓板等結構以及室內聲場組成的聲固耦合系統［12］。當結構系統與室內聲場固有頻率接近時會形成聲振耦合，室內噪聲水平會大幅增加。一方面，可通過改變結構的局部質量、阻尼及剛度來改善聲振耦合特性；另一方面，墻和樓板作為振動傳遞環節，可通過控制其連接面特性參數來控制聲振傳播路徑，從而優化聲學設計。然而聲固耦合系統的定量關系求解復雜且耗時，若直接求解會導致計算效率低下或結果精確度低，不適用于推廣到建筑結構聲振特性分析和優化［13］。為了克服這一困難，可以采用模態綜合法將復雜系統按需劃分成若干子系統，首先保留每個子系統的低階主要模態信息以分析每個子結構的動力學特性，然后根據各子結構之間的界面協調關系，組合各子結構獲得減縮自由度后的整體系統運動方程，求解該降階方程即可獲得整體系統的動力學特性［14?16］。模態減縮方法按子結構界面的處理方式可分為固定界面、自由界面和混合界面三大類［17?21］，它們在處理子結構之間的界面協調關系上有所差異。

本文運用模態綜合法建立一套高效數值計算方法，并借助結構和聲模態特征參數分析聲固耦合系統的聲振特性。根據復雜聲固耦合系統的自然邊界將其劃分成若干子結構：由樓板結構組成的結構內部子結構、墻壁和樓板結構間界面子結構、聲固耦合邊界子結構以及樓板和墻壁圍成的聲學體子系統。先采用固定界面模態單獨分析結構內部子結構的模態特性并利用約束模態處理不同子結構間的耦合關系；接著應用分支模態分析結構間界面和聲固耦合邊界子結構的模態特性；而后對聲學系統采用自由子結構模態綜合法保留其研究頻段內的聲模態。經過以上三步模型減縮策略，系統的自由度被大幅縮減，在保留系統動力學基本信息的基礎上極大地減少了計算量。

1 聲固耦合系統的運動方程

記結構域為ΩS，結構表面域為?ΩS，結構位移為u，垂直于結構表面指向外側的法向單位向量為nS，結構內部空氣域為ΩF，空氣壓強為p，垂直于流體表面指向外側的法向單位向量為nF，結構和內部空氣的耦合界面為∑，如圖1所示［14］。

當結構受到外界簡諧激勵fd時，該聲固耦合系統滿足下列方程：

3 基于多重模態減縮模型的耦合系統動力學特性分析

3.1 聲固耦合系統有限元模型建立

建立建筑物同一樓層中相同尺寸兩個相鄰房間模型如圖2所示。

模型中單個房間腔體幾何尺寸為5.8 m×4.8 m×2.5 m，墻壁厚度為0.1 m，樓體采用C30型號混凝土材料，其質量密度ρ=2300 kg/m3，彈性模量E=3×104 MPa，泊松比μ=0.18。

利用ANSYS軟件建立其有限元模型，并分析其聲振特性。首先進行網格無關性分析，經過對比計算發現，聲固耦合模型（模型一）單元尺寸為0.5 m和0.55 m的誤差小于5%，為了保證結果準確性的同時兼顧計算效率，最終選擇單元尺寸為0.5 m進行分析。所建立的有限元模型共有22714個節點和5374個單元，包括526個SOLID 187單元、1824個SOLID 186單元（用于對墻壁建模）和3024個FLUID 220單元（用于對腔體建模）。

對建筑物底部樓板邊緣施加固定邊界條件約束，設置腔體和墻壁接觸面為聲固耦合面，求解該耦合模型的固有頻率，得到65 Hz以下的前33階固有頻率如表1所示。

3.2 基于多重模態綜合法的耦合系統聲振特性分析

根據耦合系統的自然邊界劃分子系統：整體墻壁和中間隔墻作為子系統1，左、右室聲學體作為子系統2。子系統1中，墻壁和梁結構為子結構1，各墻壁和梁結構的連接面為子結構2，墻壁和聲學體連接面為子結構3。將有限元模型中整體耦合系統的質量和剛度矩陣方程分別導出，質量和剛度矩陣的階數為50368×50368。子系統1對應1～35718階，子系統2對應35719～50368階。

首先，利用固定界面模態和分支模態減縮方法，對耦合系統中的子結構1、子結構2和子結構3分別進行模態減縮，確保整體減縮前后的誤差不超過5%，求得耦合系統65 Hz以下的固有頻率如表2所示。

經過結構體模態減縮，子系統1的自由度從35718降為120，減少了99.66%，仍有14650個聲學體自由度。

最后，利用自由子結構模態綜合法，對耦合系統腔體中的聲學體進一步進行自由度減縮，求得耦合系統65 Hz以下的固有頻率如表3所示。

經過聲學體模態分析，耦合系統腔體內聲學體的自由度從14650降為40，減少了99.72%，以上計算在CPU主頻為2.50 GHz的計算機上實現，其計算效率和誤差對比數據如表4所示。

為驗證模態減縮算法的有效性和實用性，選擇［20 Hz， 65 Hz］作為主要研究的頻率范圍，此頻段內，本文研究模型存在一階結構共振頻率（21 Hz）、一階聲模態共振頻率（29 Hz）和三階聲固耦合共振頻率（39 Hz，57 Hz，59 Hz），可以較好地反映聲固耦合系統的振動特性。在模態減縮過程中，結構部分保留了前120階模態（最高階對應200 Hz），聲模態部分保留了前40階（最高階對應147 Hz），以保證這段頻率范圍內計算的準確性。

結構體減縮后和聲學體減縮后的固有頻率對比如圖3所示。

在房間最左端墻壁外側施加x方向均布載荷，幅值為100 N，隨時間正弦變化，掃頻范圍為20～65 Hz，如圖4所示。

求解耦合系統中右室內部的平均聲壓級，可得聲壓級隨激振頻率的變化曲線如圖5所示。

經過三重模態減縮，整體模型自由度從50368減少至160，縮減了99.68%；模態計算時間從111.01 s降低至0.04 s，計算效率提高了99.63%。

當激振頻率在20～65 Hz頻段范圍內變化時，最大誤差在第5階固有頻率處，誤差為4.38%，其他階數基本保持一致，基本可以滿足精度需求，和模態頻率對應的模態振型也可保證精度，聲學體的聲壓級響應計算誤差均在可接受范圍內，為下文借助模態減縮方法進行敏感性分析提供有力支撐。

4 耦合系統動力學特性對局部幾何和力學特性參數的敏感性分析

4.1 耦合系統動力學特性對墻壁厚度的敏感性分析

設墻壁厚度分別為0.1 m，0.12 m，0.14 m，0.16 m，0.18 m和0.2 m，求解相應系統中右室內部的平均聲壓級，可得聲壓級隨激振頻率變化曲線如圖6所示。

低階模態對振動貢獻更大，且在聲模態和結構模態相近處更易引起共振，在實際聲壓級計算結果中，20～65 Hz頻段范圍內，聲壓級分別在第一階結構模態（21 Hz）、第一階聲模態（29 Hz）以及結構模態和聲模態相近處（39 Hz，57 Hz，59 Hz）達到峰值。

根據質量效應，墻壁厚度增加，聲壓級普遍降低，但墻壁厚度的改變對聲模態沒有影響，受限于實際情況，墻壁厚度增加有限，在合理可變范圍內，墻壁增厚，結構模態頻率會有小幅變化，但無法與聲模態在頻率上錯開，體現為聲壓級峰值無法消除。

4.2 耦合系統動力學特性對墻壁連接面剛度參數的敏感性分析

在原模型中，墻壁之間的連接為剛性連接，剛度系數足夠大，再增加其剛度系數對模態影響很小，幾近可以忽略，分析策略為：首先選擇模型在墻壁連接面上的x，y，z方向節點自由度，比較聲壓級對各方向剛度系統的敏感性；然后選擇敏感性大的方向優化其剛度系數取值，從而優化內部聲壓級。

將墻壁連接面處x，y，z方向的剛度系數均減小10倍，保持激勵不變，計算右室聲壓級，得到三種情況下的聲壓級和原模型對比如圖7所示。

從圖7中可以看出，減小三個方向的剛度系數，右室聲壓級均有所減小，但相比之下，x方向對聲壓級影響更大，且在40 Hz峰值處和55～65 Hz頻段范圍內降噪效果更明顯。

改變x方向的剛度系數，觀察聲壓級變化，如圖8所示。

減小連接面x方向剛度系數，使得結構固有頻率降低，內部聲壓級也普遍降低；當減小3倍時，35 Hz和46 Hz的聲模態和結構耦合，出現兩個小峰，繼續減小剛度系數，結構和聲模態共振可被消除，波峰消失；在55～65 Hz頻段范圍內，減小剛度系數，使56 Hz附近的結構模態改變，從而使峰值消失，右室聲壓級從57 dB降低至15 dB左右，降低了42 dB，降噪效果明顯。

從上述結果可知，x方向剛度系數減小7倍左右，房間聲壓級降噪效果較好，實際工程中常采用調整墻壁連接處結構預緊力等方法達到降噪效果，應用時需針對適用的模型和需要降噪的頻段合理選擇相應的手段。

4.3 耦合系統動力學特性對阻尼參數的敏感性分析

考慮結構阻尼對模型振動特性的影響，設結構阻尼系數為0.02（混凝土材料阻尼系數），計算得到右室平均聲壓級的頻響曲線。在結構連接面處鋪設阻尼系數為0.1（常見橡膠材料阻尼系數）的阻尼材料，計算得到另一組右室平均聲壓級的頻響曲線如圖9所示。

考慮結構阻尼后，整體聲壓級降低，在連接面處鋪設阻尼材料后，聲壓級降低更為顯著，56 Hz附近的共振峰值被消除。

通過鋪設阻尼材料可以改變墻壁連接面的阻尼系數從而達到較好的降噪效果，鋪設的面積相比于整個墻壁厚度要小得多，需要的成本更低，更方便和高效。

5 結 論

本文針對典型建筑結構抽象出的聲固耦合模型，基于分支模態和動態子結構方法，發展了一套多重模態減縮策略，在保證求解精度的同時，極大地提高了求解效率，主要結論如下：

（1）綜合固定界面模態和分支界面模態減縮法，以本文研究的50368自由度建筑結構模型為例，模型自由度數目縮減了99.68%，基于減縮模型計算耦合系統內部聲壓級，計算效率提高了99.63%，大幅提高了數值仿真計算效率；

（2）根據質量效應，可采取加厚墻壁的方法來降低聲壓級，其優點是全頻段都有降噪效果，但經濟成本較高，可以根據實際需求和成本要求選擇合適的厚度達到所需降噪效果；

（3）若需降低某一頻段的噪聲，可通過改變墻壁?樓板的剛度系數或采取增設阻尼材料的方法改變阻尼系數。本模型中，對于56 Hz左右的噪聲頻段，原模型中右室聲壓級為57 dB，通過調整樓板?墻壁連接面處的剛度系數，右室聲壓級降為15 dB，通過增設阻尼材料降噪效果顯著，經濟且有效。

本文提出的多重模態減縮策略可直接應用于大型復雜聲固耦合系統動力學特性的評估和優化設計。

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