加速度-位移關(guān)系的貝葉斯推理方法

摘要 動(dòng)力位移是地震工程、軍事武器設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域重要的物理量，但在實(shí)際測(cè)試過程中，通常能直接量測(cè)的只有振動(dòng)加速度信號(hào)。由于受環(huán)境等不確定性測(cè)試條件影響，加速度信號(hào)不可避免地含有低頻和高頻噪聲，導(dǎo)致在加速度積分過程中，速度和位移時(shí)程會(huì)產(chǎn)生較為明顯的漂移現(xiàn)象。基于貝葉斯理論框架，構(gòu)建了動(dòng)力位移貝葉斯學(xué)習(xí)識(shí)別方法，針對(duì)不同噪聲工況（白噪聲、人工噪聲）反演獲取了位移響應(yīng)，識(shí)別出的動(dòng)力位移與解析位移基本一致；利用大型振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)比了不同性能加速度傳感信號(hào)反演的位移，并分析了其不確定性。結(jié)果表明：該動(dòng)力位移貝葉斯學(xué)習(xí)識(shí)別方法在加速度?位移關(guān)系表征方面具備一定的優(yōu)勢(shì)，可不依賴對(duì)加速度信號(hào)的處理實(shí)現(xiàn)位移求解，從而避免了噪聲累積誤差導(dǎo)致的位移積分失真。

關(guān)鍵詞 信號(hào)處理; 貝葉斯推理; 位移重構(gòu); 不確定性分析

1 概 述

振動(dòng)過程中的物理量測(cè)試及表征是地震工程、軍事武器設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)、飛行器及醫(yī)學(xué)等多行業(yè)的共性科學(xué)問題［1?6］，眾多研究成果都指向加速度?位移關(guān)系這一關(guān)鍵轉(zhuǎn)換指標(biāo)上。在實(shí)際測(cè)試過程中，通常在直接測(cè)量振動(dòng)加速度信號(hào)后通過積分得到位移數(shù)據(jù)，積分方法大體上分為時(shí)域積分法及頻域積分法，時(shí)域積分法直接對(duì)所測(cè)加速度信號(hào)進(jìn)行一次積分和二次積分獲得速度響應(yīng)與位移響應(yīng)；頻域積分法通過傅里葉變換將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)，然后在頻域內(nèi)進(jìn)行積分計(jì)算，最后將頻域信號(hào)通過傅里葉逆變換重構(gòu)時(shí)域信號(hào)。由于加速度測(cè)試常受到噪聲干擾，導(dǎo)致積分得到的速度和位移產(chǎn)生漂移現(xiàn)象。眾多學(xué)者在本領(lǐng)域開展研究工作并取得了一些研究成果，SINHA等［7］研究表明，采用Newton?Cotes積分公式為代表的時(shí)域積分難以獲得相對(duì)準(zhǔn)確的速度或位移，而采用四階Runge?Kutta方法等高階積分算法，干擾噪聲會(huì)引起更大的誤差。Boore等［8］指出在地震動(dòng)記錄中不可避免地含有低頻和高頻噪聲，高頻噪聲需要低通濾波器進(jìn)行濾波，低頻則需要基線修正以還原地震造成的永久位移，但對(duì)于分段參數(shù)的確定并沒有標(biāo)準(zhǔn)且有效的方法；Dai等［9］采用L1范數(shù)的方法針對(duì)基線校正問題提出了一種最優(yōu)化并可自行對(duì)基線分段識(shí)別的方法；鄭水明等［10］、陳為真等［11］將加速度進(jìn)行基線校正并積分給出了準(zhǔn)確度顯著提高的位移結(jié)果；Lee等［12］則是從設(shè)計(jì)更具備適應(yīng)性的信號(hào)濾波器的角度入手開展研究，提出了FDM?FIR 濾波器； Hong等 ［13］通過改進(jìn)FDM?FIR濾波器，提出了FEM?FIR濾波器，在頻域內(nèi)確定控制方程的正則系數(shù)，并結(jié)合有限元思想，將加速度看成梁的彎矩、速度看成轉(zhuǎn)角、位移看成撓度，運(yùn)用形函數(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。這些方法針對(duì)的對(duì)象都是加速度信號(hào)中的噪聲項(xiàng)，通過各種信號(hào)處理手段實(shí)現(xiàn)降噪并使得積分位移更趨合理，但實(shí)現(xiàn)零噪聲的積分條件難度極大，因此，積分獲取動(dòng)力位移結(jié)果或多或少存在偏差。

以概率統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)的機(jī)器學(xué)習(xí)在近年來(lái)受到工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的極大關(guān)注，并在視覺、語(yǔ)音、自然語(yǔ)言、生物、結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域獲得了很多重要的成功應(yīng)用。其中貝葉斯方法作為重要分支得到了大量應(yīng)用，從單變量的分類與回歸到多變量的結(jié)構(gòu)化輸出預(yù)測(cè)、從有監(jiān)督學(xué)習(xí)到無(wú)監(jiān)督及半監(jiān)督學(xué)習(xí)等［14?18］，加速度?位移關(guān)系的研究情況如表1所示。

本文采用貝葉斯推理基本理論框架，針對(duì)加速度與位移的基本函數(shù)關(guān)系，從位移信號(hào)入手，提出了一種可多次迭代實(shí)現(xiàn)位移最優(yōu)化的方法。采用單自由度體系獲取的加速度?位移解析關(guān)系，采用不同驗(yàn)證工況，證明該方法的適用性及可行性。最后，選取大型振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過對(duì)比優(yōu)質(zhì)及不良的加速度傳感信號(hào)，分別反演給出位移數(shù)據(jù)及其不確定性，結(jié)果表明該方法在加速度?位移關(guān)系表征方面具備一定的優(yōu)勢(shì)，并可不依賴對(duì)加速度信號(hào)的處理實(shí)現(xiàn)位移求解。

2 基于貝葉斯推理的加速度-位移關(guān)系

2.1 理論方法

測(cè)定的加速度信號(hào)a=[a1，" a2，" …，" aN]T，與之對(duì)應(yīng)的位移信號(hào)的向量表征為d=[d1，" d2，" …，" dN]T，在給定初始條件下，位移可采用加速度數(shù)值積分的方法（Newmark?β法，Wilson?θ法等）進(jìn)行求解，數(shù)值方法在一定程度上可求解出加速度?位移的積分關(guān)系，但低頻漂移問題會(huì)使得加速度積分獲取的位移數(shù)據(jù)過大（低頻下限過低）或過小（低頻下限過高）。本文基于貝葉斯推理從加速度?位移關(guān)系進(jìn)行算法設(shè)計(jì)：

2.2 方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本方法的可行性，設(shè)計(jì)了單自由度系統(tǒng)，如圖1所示。采用Newmark?β法計(jì)算獲取單自由度系統(tǒng)頂部加速度u¨與位移u，兩者為解析關(guān)系；選取Kobe地震記錄作為基底輸入（u¨g），驗(yàn)證方法的適用性與可行性。輸入地震動(dòng)及頂部獲取的加速度、位移時(shí)程曲線如圖1所示。

采用本方法，以模擬得到的頂部加速度數(shù)據(jù)作為輸入，計(jì)算得到的位移時(shí)程與解析位移對(duì)比如圖2所示，圖3為參數(shù)的迭代過程。在加速度信號(hào)上分別加5%，10%及20%的白噪聲后，識(shí)別的位移參數(shù)與解析位移參數(shù)關(guān)系如表2所示。由圖2，3和表2可知：采用貝葉斯推理方法，計(jì)算參數(shù)可實(shí)現(xiàn)自行迭代，位移時(shí)程數(shù)據(jù)也在多次迭代后與解析解實(shí)現(xiàn)一致，即使在加速度信號(hào)中添加隨機(jī)噪聲，仍可有效識(shí)別位移。

在地震工程應(yīng)用中，強(qiáng)地震動(dòng)數(shù)據(jù)由于受到各種干擾，如放大器隨周圍環(huán)境溫度變化引起的零點(diǎn)漂移、傳感器頻率范圍外低頻性能的不穩(wěn)定以及周邊環(huán)境的噪聲、振動(dòng)干擾，對(duì)偏離基線的地震動(dòng)信號(hào)進(jìn)行積分變換得到的速度、位移可能完全失真。為模擬這類工程應(yīng)用問題，本文設(shè)計(jì)了Kobe地震記錄附加典型的兩段式人工噪聲模型，原始地震記錄、基線及加人工噪聲后地震動(dòng)如圖4所示。采用圖4的地震動(dòng)加噪記錄作為計(jì)算輸入，應(yīng)用貝葉斯推理方法給出的位移時(shí)程與解析位移時(shí)程對(duì)比如圖5所示。由圖5可知：采用貝葉斯推理給出的位移識(shí)別能較好地處理基線漂移的地震動(dòng)數(shù)據(jù)，并給出合理的位移時(shí)程；附加兩段式人工噪聲后，強(qiáng)非線性會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)產(chǎn)生影響，隨著基線幅值的減小，計(jì)算精度會(huì)逐步提高并接近解析解，說明此算法的魯棒性較強(qiáng)，在地震動(dòng)數(shù)據(jù)處理中，可較為準(zhǔn)確地識(shí)別出位移時(shí)程，并能適應(yīng)不同噪聲工況。

3 重大結(jié)構(gòu)工程振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)中的應(yīng)用

3.1 高層結(jié)構(gòu)振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)

將本文提出的方法應(yīng)用在結(jié)構(gòu)大型振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)中，選取6層單筒鋼結(jié)構(gòu)房屋，結(jié)構(gòu)形式及傳感器布設(shè)如圖6所示［20］。選取本次試驗(yàn)數(shù)據(jù)是由于位于同樓層的加速度傳感器X6E（測(cè)點(diǎn)A）工作性能良好，而加速度傳感器X6W（測(cè)點(diǎn)B）出現(xiàn)了異常狀態(tài)，且對(duì)兩側(cè)位移均進(jìn)行了測(cè)試，這為本方法在實(shí)際應(yīng)用中的驗(yàn)證提供了良好的數(shù)據(jù)。同樓層加速度及位移時(shí)程如圖7所示。由圖7可知：同樓層位移響應(yīng)基本一致，測(cè)點(diǎn)B處加速度數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常（傳感器傾斜或松動(dòng)）。

3.2 數(shù)據(jù)分析

采用本文提出的算法分別對(duì)加速度數(shù)據(jù)識(shí)別獲取的位移時(shí)程、頻域響應(yīng)如圖8（測(cè)點(diǎn)A、測(cè)點(diǎn)B）所示。對(duì)于測(cè)點(diǎn)A，識(shí)別獲取的位移數(shù)據(jù)在時(shí)域與頻域均與實(shí)測(cè)位移吻合較好，當(dāng)加速度信號(hào)出現(xiàn)顯著的多次、多段偏移情況（測(cè)點(diǎn)B），從位移時(shí)程波形角度，可發(fā)現(xiàn)其與測(cè)試波形較為一致，峰值略小于測(cè)試位移，兩者的頻域響應(yīng)基本一致。針對(duì)測(cè)點(diǎn)B，采用不確定性分析方法對(duì)識(shí)別獲取的位移時(shí)程不確定性進(jìn)行衡量。對(duì)于高斯隨機(jī)變量，采用海塞矩陣（Hessian Matrix）可求解其協(xié)方差矩陣（兩者為互逆關(guān)系），對(duì)角及非對(duì)角元素的求解如下式所示 ［21］：

由于位移目標(biāo)函數(shù)為隱式，因此采用差分方法對(duì)其矩陣元素進(jìn)行求解，攝動(dòng)量（Δdl及Δdl'）均取為識(shí)別位移峰值的1×10-3。

圖9給出了傳統(tǒng)方法（基線校正、濾波處理）下測(cè)點(diǎn)A的位移時(shí)程與貝葉斯方法、測(cè)試結(jié)果進(jìn)行的對(duì)比。由圖9可知，選用不同的基線、濾波范圍進(jìn)行處理時(shí)，會(huì)對(duì)位移時(shí)程的計(jì)算精度產(chǎn)生顯著影響，尤其是濾波范圍下限的選取對(duì)計(jì)算精度會(huì)產(chǎn)生比較大的影響，而貝葉斯方法在保證計(jì)算精度的條件下，采用信息更新算法，可以獲取最優(yōu)參數(shù)。圖10給出了識(shí)別位移正負(fù)一倍標(biāo)準(zhǔn)差與實(shí)測(cè)結(jié)果的對(duì)比。由圖10可知，識(shí)別獲取的位移與實(shí)測(cè)差異性均在一倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)；利用各采樣點(diǎn)識(shí)別位移量及協(xié)方差進(jìn)行蒙特卡羅模擬（1000次），可以給出識(shí)別后位移各采樣點(diǎn)的概率分布。圖11給出了A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)時(shí)刻，識(shí)別位移點(diǎn)的概率分布，任意時(shí)刻均有類似的分布特點(diǎn)，最終可給出帶有概率含義的識(shí)別位移。

4 結(jié) 論

本文基于貝葉斯理論基本框架，構(gòu)建了動(dòng)力位移貝葉斯學(xué)習(xí)識(shí)別方法，最終結(jié)論如下：

（1）針對(duì)采用加速度獲取位移的實(shí)際問題，首先給出了位移識(shí)別的理論推導(dǎo)，并采用單自由度系統(tǒng)模擬給出的加速度、位移解析數(shù)據(jù)，分別模擬了不同噪聲（白噪聲、人工噪聲）工況條件，結(jié)果表明：識(shí)別獲取的動(dòng)力位移與解析位移基本一致。

（2）利用高層結(jié)構(gòu)大型振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過對(duì)比性能優(yōu)良及不良的加速度傳感信號(hào)，反演給出了樓層的動(dòng)力位移數(shù)據(jù)，并分析了數(shù)據(jù)的不確定性，對(duì)方法的適用性及可行性進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明：本文提出的加速度?位移識(shí)別方法可較為準(zhǔn)確地給出位移時(shí)程，在時(shí)域及頻域的表現(xiàn)均較好，該方法在加速度?位移關(guān)系表征方面具備一定的優(yōu)勢(shì)，并可不依賴對(duì)加速度信號(hào)的處理實(shí)現(xiàn)位移求解，從而避免了噪聲累積誤差使得積分求解位移的失真。

（3）本文從貝葉斯學(xué)習(xí)角度構(gòu)建加速度?位移關(guān)系，給出帶有概率分布含義的位移最優(yōu)解，這是位移求解的新角度，有別于傳統(tǒng)信號(hào)處理方法（只給出積分位移量，無(wú)法給出解的概率），本文重點(diǎn)構(gòu)建方法的理論架構(gòu)并驗(yàn)證。實(shí)際應(yīng)用中，高精度差分矩陣和懲罰函數(shù)的選取是關(guān)鍵問題，針對(duì)大變形問題（地震近場(chǎng)位移、結(jié)構(gòu)倒塌等），高精度差分式的引入對(duì)算法穩(wěn)定性將具有一定的修正意義。

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