電機定子振動模態頻率分裂特性分析

摘要 有效抑制由電機徑向電磁力激發的電機定子振動是實現電機減振降噪的一個重要途徑，而對電機定子模態頻率及模態振型的準確分析是抑制電機定子徑向振動的基礎。采用圓環的彈性力學解析模型作為電機定子振動的分析模型，對無約束狀態下電機定子的模態進行分析，得到了電機定子徑向振動模態頻率和模態振型的解析解。以齒槽和底腳為典型附加結構，采用攝動法對電機定子模態頻率的分裂現象進行分析，總結了頻率分裂與否以及分裂階次的判定準則。通過ANSYS有限元軟件驗證了理論方法和計算的有效性。結果表明，所建立的二維圓環模型可以準確、高效地應用于電機定子模態特性的分析；附加結構的分布形式對定子頻率分裂特性具有重要的影響。

關鍵詞 電機定子; 模態頻率; 模態振型; 圓環模型; 頻率分裂

引 言

電機的振動和噪聲是電機的一項重要技術指標，同時也是制約電機向高性能方向發展的一個關鍵因素。由電機氣隙磁場產生的徑向電磁力所激發的電機定子的電磁振動是電機振動噪聲的重要來源，在電機減振降噪領域引起了廣泛關注［1］。為了減小電機的電磁振動，除了需要控制電磁力的幅值外，還需要避免電機定子的模態頻率及其模態階次與電磁力的頻率及其階次相等或者接近導致的定子結構的共振［2］。因此，電機定子的模態特性分析對電機的減振降噪具有重要意義，并且在電機的設計階段就需要進行校核和規劃。

準確獲得定子的模態頻率和模態振型，一直是電機定子模態特性分析的重要內容。國外的研究在20世紀30年代就已開始，國內學者對該問題的研究開始于20世紀80年代［3］，目前還有學者在繼續開展相關的研究。電機定子的整體框架近似為圓柱殼體結構［4?6］，但作為三維連續結構，圓柱殼體的振動特性分析相對復雜［5?8］。為此，在以往的諸多研究中，經常采用二維圓環模型作為電機定子振動的分析模型。

邱家俊等［9］、于慎波等［10］分別通過解析計算和有限元仿真說明了兩端無約束狀態下圓柱殼體與圓環的徑向模態頻率十分接近，驗證了采用圓環作為電機定子分析模型的合理性。基于圓環模型的機電類比法［4，11］具有公式簡單、求解方便等優點，在電機定子模態頻率計算中得到了廣泛應用。李曉華等［3］考慮了繞組和浸漆結構對定子模態頻率的影響，基于圓環模型計算了含繞組定子鐵心的模態頻率。王宏華等［12］考慮了定子凸極對磁軛質量和剛度的影響，采用等效圓環模型計算了開關磁阻電機的定子模態頻率。邢澤智等［13］考慮了定子齒槽結構對定子模態頻率的影響，基于數據擬合法提出了一種定子鐵心等效圓環尺寸計算公式，有效提升了定子徑向模態頻率的計算精度。然而以上研究主要圍繞模態頻率的準確計算開展，對模態振型的理論研究較少。并且機電類比法屬于公式法，只能用于計算定子的模態頻率，不能揭示定子的模態振型特性，方法的局限性較大。因此，為了深入分析定子的模態特性，需要建立相應的理論模型。

在電機定子的模態試驗中，文獻［14?16］均提到了“雙共振峰”的現象。Girgis等［7］指出定子結構中的不對稱是導致這一現象產生的原因。陳永校等［14］提出了“廣義齒槽”的概念來描述定子在尺寸、材料、約束等方面的不均勻性，從理論上對“雙共振峰”現象進行了解釋。然而相關文獻均沒有給出“雙共振峰”出現與否的判斷標準。實際上，“雙共振峰”是定子同一階模態對應了兩個接近但不相等的模態頻率的一種現象（又稱為“頻率分裂”現象）。理想的對稱結構往往具有重特征值（模態頻率相等）的特性，此時的系統又稱為退化系統。當退化系統發生小參數變化后，原本的多重模態頻率可能會分裂成多個數值不等的模態頻率［17］，即所謂的頻率分裂現象。在早期的研究中，胡海昌［17］和陳塑寰［18］分別采用變分原理和攝動法實現了小參數變化下退化系統的模態特性分析。實際上，結構參數或者約束條件的變化均可能引起頻率分裂現象。Wu等［19］采用攝動法和Galerkin離散法對不同形式彈性支承下圓環的動力學特性進行了研究，得到了附加剛度對圓環模態頻率分裂的影響規律。Bisegna等［20］采用線性彈性理論和攝動法分析了結構缺陷引起的圓環頻率分裂現象，得到了缺陷圓環模態頻率和振型的閉環解，并通過Rayleigh?Ritz法驗證了理論計算的有效性。Wang等［21］采用攝動法對含有附加質量和附加剛度的圓環的模態特性進行了分析，推導了圓筒形超聲電機中模態頻率分裂的一般規律；并研究了分組對稱形式的附加單元對旋轉周期結構頻率分裂特性的影響規律［22］。以上文獻在分析結構的頻率分裂特性時，廣泛采用了攝動法的思想。

在以上文獻的基礎上，為了進一步完善電機定子模態特性分析的理論，并探究電機定子振動中“雙共振峰”現象的發生規律，考慮到機電類比法的局限性，本文首先采用圓環彈性力學解析模型對電機定子的模態特性進行分析，得到了各階模態頻率和模態振型的解析表達式。然后以齒槽和底腳為典型的附加結構，基于圓環解析模型，采用攝動法分析了這兩類附加結構對定子模態頻率的影響，總結了定子頻率分裂與否的規律，為“雙共振峰”現象提供了理論解釋。最后，通過文獻對比和有限元仿真對理論結果進行了驗證。

1 基于圓環解析模型的定子模態特性分析

圖1為電機定子的圓環模型。其中o?θz為建立在圓環中性線上的極坐標系，θ和z分別為圓環的切向坐標和徑向坐標，r為圓環中性線的半徑，h為圓環的厚度，v及w分別為圓環中性線上某點P在切向及徑向方向上的位移。

本文只考慮圓環的面內振動，圓環在面內的自由振動方程為［23］：

3 理論模型與分析方法的驗證

針對本文提出的分析模型及分析方法，本節將通過對比文獻和有限元仿真的方式驗證其有效性和適用范圍。

3.1 基于圓環模型的定子模態頻率對比

圓環模型因其簡便、高效的優點在求解定子徑向模態頻率時得到了廣泛應用。文獻［13］采用數據擬合的方法確定了含齒槽定子鐵心的等效圓環內外徑，采用機電類比法計算了圓環模型的模態頻率，并通過有限元法和模態試驗法驗證了等效模型的有效性。其所得等效圓環的內直徑為227.5 mm，外直徑為260 mm，密度為7600 kg/m3，彈性模量為195 GPa。將以上參數代入本文所建模型中進行計算，并與文獻［13］中的結果進行對比，如表1和圖4所示。表1中的誤差是以模態試驗結果為基準計算得到的，圖4中的誤差歸一化處理是以表1中最大誤差（18.03%）為基準進行的。

表1和圖4中等效前后分別表示不考慮齒槽和考慮齒槽時的情況，可以看到齒槽等效前的計算誤差可達18.03%，而齒槽等效后的計算誤差都在5%以內，因此齒槽結構對定子模態頻率的影響不可忽略。根據等效后的圓環參數，本文圓環模型的計算結果在2階頻率處取得了極小的誤差，在3階和4階時誤差也均不超過7.1%。

進一步分析本文計算誤差的形成原因可以發現，本文圓環模型是基于小厚徑比的假設建立的，而根據文獻［11］可知，機電類比法的計算公式中引入了一個影響系數來表征定子軛厚對定子模態頻率的影響。該影響系數的取值通常小于1，且厚徑比越小，該影響系數越接近于1。而當該影響系數取1時，可以驗證機電類比法所得結果與本文模型結果基本一致，這一方面驗證了本文模型的有效性，另一方面也證明了厚度對定子或圓環的模態頻率有重要影響。當定子及其等效圓環的厚度相對較大時，本文模型的計算誤差也會有所增大。

為了驗證以上分析，采用有限元法、機電類比法（不含影響系數或影響系數取1）以及本文模型方法對厚徑比在0.05～0.3范圍內的圓環進行模態分析（各圓環中性線的直徑均取260 mm，其他參數與表1所用參數一致），得到了如圖5所示的圓環低階徑向模態頻率與厚徑比的關系曲線。

在圖5中，紅色點劃線代表了有限元法的計算結果，亮藍色實線代表了不含影響系數的機電類比法的計算結果，其余曲線代表了基于本文模型所得的結果。結果表明，不含影響系數的機電類比法和本文模型所得的結果基本上是重合的，驗證了本文模型方法和機電類比法在數學上基本上是等價的。然而有限元法的結果僅在低厚徑比或低階次時與兩種解析方法接近，其余情況下兩種解析方法的計算結果均大于有限元法的結果，并且越靠近坐標系的右上方，解析結果與有限元結果之間的差距越大。

以上結果表明：在低厚徑比和低階模態頻率的情況下，本文模型方法和機電類比法（不含影響系數）的計算結果與有限元法的計算結果基本一致；但隨著厚徑比的增大以及階次的升高，兩種解析方法的結果逐漸高于有限元法的計算結果，即相比于有限元法的計算誤差越來越大。此時為了保持解析方法的有效性，需要引入小于1的影響系數，且厚徑比越大，該影響系數越小。

3.2 基于圓環模型的定子模態振型分析

在諸多的定子振動特性分析研究中，以模態頻率的準確計算為主要內容，然而模態振型的確定對于頻率階次的判定，以及相關振動試驗中測試點的布置均具有重要意義。本節將基于圓環解析模型和不同長度的圓柱殼體模型（有限元仿真）對定子的模態振型進行研究。

本節有限元仿真中涉及的圓柱殼體與圓環解析模型具有相同的周向參數，具體為：內直徑227.5 mm，外直徑260 mm，密度7600 kg/m3，彈性模量195 GPa；軸向長度l分別為20，100，200，300，400 mm。不同模型計算得到的定子模態頻率值如表2所示，對應的各階模態振型如圖6～8所示（有限元結果以l=20 mm和l=100 mm時的仿真為代表）。

從表2中可以看出：基于圓環解析模型計算得到的各階模態頻率與有限元法的計算結果都是比較接近的，包括呼吸模態（n=0）和伸縮模態（n=1）等非彎曲模態；且n=0和n=1階模態對應的模態頻率是顯著高于低階彎曲模態（n=2，3，4，…）的。當軸向長度逐漸增大時，n=2，3，4，…階模態頻率基本保持不變，但n=0階模態頻率出現了明顯的減小。通過對比振型特征可以發現，當軸向長度較大時，圓柱殼體的呼吸模態振型沿軸向出現了波動，此時采用圓環模型不能完全表征圓柱殼體的呼吸模態（n=0）。因而采用圓環模型得到的呼吸模態頻率與圓柱殼體的呼吸模態頻率之間出現了較大差別。此時如果要求解圓柱殼體的呼吸模態頻率，需要采用三維圓柱殼體模型。此外，當l≥200 mm時，圓柱殼體模型中出現了大量軸向模態與周向模態耦合的情況，對應的頻率分布非常密集，導致n=0或n=1階模態的求解難度加大，因此表2中沒有給出有關頻率。

從圖6～8中可以看出，基于圓環解析模型與基于圓柱殼體有限元計算得到的定子各階周向振型也是基本一致的。其中各振型中藍色區域對應于振幅較小的位置（節點或節線），紅色或黃色區域對應于振幅較大的位置（反節點或反節線）。周向模態的階次等于（反）節點（線）數的一半。由于節點（線）附近振動較小，所以在模態試驗中，應避免激振點和傳感器位置布置在各節點（線）附近。

需要指出的是，有限元計算結果表明，圓柱殼體模型的低階模態中不僅存在如圖8所示的純周向振型，也存在如圖9所示的軸向振型與周向振型耦合的振型。圖9為1階軸向振型與2～4階周向振型耦合時的振型（圖中展示的是l=200 mm的圓柱殼體有限元仿真結果，n=2，3，4）。

圖9中從左往右各模態對應的模態頻率依次為995.9，2440.4和4229.7 Hz，由于（1， n）階模態對應的模態頻率相對較低，且交錯在低階周向模態頻率中間，引起了一些學者的關注［3，8］，但有關研究均沒有交代（1， n）階模態與低階周向模態在響應方面的區別。

基于此，本文以表2中軸向長度200 mm的圓柱殼體為例，用有限元法對不同方向激振下殼體的諧響應進行了分析，結果如圖10所示。

結果表明，當激振力的方向為徑向時，頻率響應譜圖中激起的頻率以（0， n）階純周向模態為主；當激振力的方向為軸向時，軸向階次為1的耦合模態被激起。而電機中的激振力以徑向為主，因此在電機的電磁振動中主要關注軸向階次為0的純周向模態即可，這與文獻［11］中提及的觀點是一致的，這也是圓環模型可以作為定子振動分析模型的重要原因之一。

3.3 電機定子模態頻率分裂現象及其規律驗證

3.3.1 旋轉對稱附加結構引起的定子模態頻率分裂規律驗證

以齒槽作為旋轉對稱結構的代表，用有限元法對含齒槽圓環模型與標準圓環模型進行對比分析。有限元仿真模型的材料參數與前文一致，結構參數為：內直徑227.5 mm，外直徑260 mm；含齒模型中沿圓環內圓正交均布了4個齒結構（用長方體模擬），齒高33.75 mm，齒寬30 mm。通過有限元法對模型進行模態分析和諧響應分析，結果分別如表3和圖11所示。

從表3中可以看出，標準圓環的各階模態頻率都只對應了一個值；而含齒圓環的一部分模態頻率對應了一個值，另一部分模態頻率則對應了兩個值。根據式（20）可知，對于齒數為4的含齒圓環，有N =4，當n =2，4時，2n/N均為整數，對應的頻率發生分裂；而當n =3，5時，2n/N不為整數，對應的頻率重合，不發生分裂。理論預測的頻率分裂規律與有限元仿真結果是一致的。

圖11為標準圓環和含齒圓環的諧響應分析結果。從圖11中可以看到，對于含齒圓環而言，第2階和第4階模態頻率處形成了“雙共振峰”，這正是由頻率分裂現象導致的；而第3階和第5階模態頻率處均只有單個共振峰，與理論分析一致。此外，標準圓環的模態頻率成分簡單、相對分散，而含齒圓環的模態頻率成分復雜、分布密集，出現共振的可能性顯著增加。

本文的理論分析和仿真結果為文獻［11］中發現的4磁極定子結構的第3階“齒”對稱模態與“齒”反對稱模態相同、頻率重合的現象提供了理論支撐。

3.3.2 軸對稱附加結構引起的定子模態頻率分裂規律驗證

以底腳作為軸對稱結構的代表，用有限元仿真對含底腳圓環模型與標準圓環模型進行對比分析。圓環的結構參數和材料參數均同前，以長方體作為底腳模型，兩個底腳沿圓環外圓軸對稱分布，各底腳與對稱軸之間的夾角為π/4，底腳高16 mm，寬10 mm。基于有限元的模態分析和諧響應分析結果分別如表4和圖12所示。

從表4中可以看出，含底腳圓環也出現了模態頻率分裂現象，第2階和第4階模態頻率出現分裂，第3階和第5階模態頻率沒出現分裂。根據本文2.2節的式（24）可知，當n=（2l+1）π/（4φ）時（其中l為自然數），對應的模態頻率不發生分裂，其余情況下均發生分裂；表4模型中，φ=π/4，因此當n=2l+1（即奇數）時，模態頻率重合不分裂，反之當n為偶數時，模態頻率發生分裂；對比表4中的數據可知，理論預測的模態頻率分裂規律與有限元計算結果十分吻合。

從圖12中可以看到，對于含底腳圓環而言，第2階和第4階模態頻率處形成了“雙共振峰”，第3階和第5階模態頻率處均只有單個共振峰，仿真結果與理論分析是一致的。此外，還可以看出，相比于含齒圓環，底腳的引入主要引起了頻率分裂現象和頻率大小的變化，并沒有導致頻率成分發生明顯變化，但頻率分裂現象導致的“雙共振峰”仍然增加了共振頻率范圍。需要指出的是，在實際的電機中，定子的底腳通常尺寸較大、形狀復雜，并且受到基座的約束，因而會對定子的模態產生更復雜的影響，有待進一步研究。

4 結 論

本文采用圓環解析模型作為電機定子振動特性的分析模型，分析了電機定子徑向振動的模態頻率和振型。然后，以齒槽和底腳作為定子中典型的附加結構，采用攝動法對定子振動中的模態頻率分裂現象進行了理論分析和規律總結。最后，通過有限元仿真驗證了理論計算結果的有效性。得到的主要結論如下：

（1）考慮定子的無約束狀態，用二維圓環模型代替三維圓柱殼體模型，可以準確、高效地計算出電機定子的低階徑向模態頻率（n=0，1，2，3，4）。此外，圓環模型的求解精度與定子等效圓環的厚徑比密切相關，當等效圓環的厚徑比大于0.2時，求解高階徑向模態頻率（n≥5）時需要引入與厚徑比相關的影響系數。

（2）考慮定子的無約束狀態，電機定子的模態振型主要表現為純周向振型，對應的軸向振型階次為0，周向振型階次等于定子周向振型中節點數的一半。此時，雖然也存在軸向階次不為0的振型，但是僅當激振力方向為軸向時這些模態才被激起，因此在電機的電磁振動分析中，可以不予關注。

（3）附加結構的存在可能會引起電機定子的模態頻率分裂，導致“雙共振峰”的現象；附加結構的分布形式對定子頻率分裂特性具有重要影響。對于旋轉對稱結構（如齒槽），定子模態頻率分裂的階次與結構的數量相關（如齒槽數N，當階次n滿足2n/N為整數時頻率分裂）；對于軸對稱結構（如底腳），定子模態頻率分裂的階次與結構的位置角相關（如底腳間夾角2φ，僅當階次n=（2l+1）π/（4φ）時頻率才不發生分裂）。

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