解三角形最值問題的多角度探究

最近，在高三的一些模擬試題中，三角形面積的最值問題反復出現，這種題型屬于中檔題，難度適當，但對于基礎薄弱的學生來說，想要拿下滿分也并非易事，究其原因，屬于思維太拘謹，沒有形成發散思維，所以做不下去，下面，略舉一例，從多角度探究。

試題：在三角形ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c， 已知a=1，c=2b，求三角形ABC的面積的最大值。

思路一：走常規路線，先選面積公式，[s=12bcsinA]， 從而有[s=b2sinA]，然后利用余弦定理消去一個變量。可以選擇消去角A，也可以選擇消去邊b，從而把問題變為單變量問題處理。

具體解答如下：

解一：在ΔABC中，由余弦定理可知[cosA=b2+c2-a22bc=5b2-14b2=54-14b2]

又∵" [ s=12bcsinA]

∴" " [s=b2sinA]

即：[s2=b4sin2A=b41-cos2A=b41-54-14b22]

=[-916b4+58b2-116=-916（b2-59）2+19]

∴ 當[b2=59]時，[（s2）max=19] ，即：[smax=13]

解二：在ΔABC中，由余弦定理可知[cosA=b2+c2-a22bc=5b2-14b2=54-14b2]

∴" [b2=15-4cosA]

又∵" [ s=12bcsinA]

∴" " [s=b2sinA=sinA5-4cosA]

從而有：[5s-4s·cosA=sinA] ，即有：[5s=4s·cosA+sinA]

∴" [5s=16s2+1cos （A+φ）]

∴[5s16s2+1=cos （A+φ）] ，故有：

[|5s16s2+1|≤1]，從而有[smax=13]

解三：在ΔABC中，由余弦定理可知[cosA=b2+c2-a22bc=5b2-14b2=54-14b2]

∴" [b2=15-4cosA]

又∵" [ s=12bcsinA]

∴" " [s=b2sinA=sinA5-4cosA=0-（-sinA）5-4cosA]

從而上式的幾何意義是：平面內點A（5，0）與點B[（4cosA，-sinA）]的連線的斜率

又因為點B的軌跡方程為：[x216+y2=1" （ylt;0）]

∴過A點的直線與橢圓相切時達到最大值。

設過A點的直線方程為：[y=k（x-5）]

聯立[y=k（x-5）x216+y2=1]消去參數y得[1+16k2x2-160k2x+400k2-16=0]

令[?=25600k2-416k2+1400k2-16=0] 得 [k=13] ，即：[smax=13]

上述解法中，因為所求的表達式中有兩個參數，所以求最值之前先想辦法消去一個參數，再根據留下的參數，據其特點，確定解決問題的辦法。往往涉及一元二次函數的配方法、三角函數的有界性，或者直接考慮式子的幾何意義。

思路二：思路一中選擇的面積公式不可避免地出現兩個變量，給問題帶來一定的不便，是否可以選擇一個面積公式只出現一個變量呢？基于此思考方向，我們可以選擇海倫公式[s=pp-a（p-b）（p-c）]，其中[p=a+b+c2] 來解決這個問題。

具體解答如下：

解：由題知：[p=a+b+c2=1+3b2] ，且 [13lt;blt;1]

∴[s=pp-ap-bp-c=]

[1+3b2?3b-12?1+b2?1-b2=（9b2-1） ? （1-b2）4=][ 34（b2-19） ? （1-b2）≤34 ?][b2-19+1-b22=13]

當且僅當[b2-19=1-b2]，即[b2=59] 時取“=”

∴ [smax=13]

此法的優點是表達式中只有一個變量b，并且可以根據三角形的性質得b的取值范圍，正好保證了使用基本不等式的基礎條件[——]正。當然，此法需要熟練掌握均值不等式的應用，“湊定”為關鍵的步驟。

思路三：用解析法，把問題坐標化，在坐標系中來解決問題。

具體解答如下：

解：以B點為坐標原點，BC所在直線作為x軸，過點B作y軸，建系

不妨設點A[（x，y）y≠0]，則B[（0，0）]，C[（1，0）]

由題知：c=2b 即AB=2AC

∴ [x2+y2=4（x-1）2+4y2] 即：[（x-43）2+y2=49 （y≠0）]

∴ 點A的軌跡是以點[（43，0）]為圓心，半徑為[23]的圓，除去X軸上的兩個點。

∴ [y≤23，且y≠0]

又∵ [s=12?a?|y|]

∴ [s=12?a?y≤12?23=13] ， 即：[smax=13]

解析法的優點是把代數問題直觀化，簡單化，降低計算量。在平面向量數量積的最值問題中也經常用到。