巧構(gòu)函數(shù)，妙證不等式

不等式證明問(wèn)題的難度通常較大，常與函數(shù)、導(dǎo) 數(shù)、不等式等知識(shí)相結(jié)合.解答這類問(wèn)題的常用方法是 構(gòu)造函數(shù)法，即把不等式的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn) 題，通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的最值，從而間 接地證明不等式.那么如何根據(jù)不等式的特征巧妙地 構(gòu)造函數(shù)呢？主要有如下三種技巧.

一、通過(guò)移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)

若要證明的不等式左右兩側(cè)的式子均較復(fù)雜，則 可通過(guò)移項(xiàng)，即將不等式一側(cè)的式子全部移到另一 側(cè)，使新不等式的一側(cè)為0，把另一側(cè)的式子構(gòu)造成函 數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得其最 值，進(jìn)而證明不等式.

例1.

該不等式左右兩邊的式子均比較復(fù)雜，于是將不 等式兩邊的式子移項(xiàng)，并構(gòu)造出新函數(shù) h（x） ，求得函 數(shù)的最值，只需使其最小值大于0，即可證明不等式.

二、通過(guò)換元構(gòu)造函數(shù)

當(dāng)所要證明的不等式中多次出現(xiàn)同一個(gè)較復(fù)雜 的式子時(shí)，可以采用換元法，通過(guò)引入新的變量，并用 其替換不等式中較復(fù)雜的式子，來(lái)將不等式簡(jiǎn)化，然 后構(gòu)造新函數(shù)，再利用新函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明不等式 即可.

例2：

通過(guò)換元，可減少不等式中變量的個(gè)數(shù)，降低不 等式中冪的次數(shù)，再構(gòu)造出相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，就可以 達(dá)到簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的.

三、通過(guò)變更主元構(gòu)造函數(shù)

若所要證明的不等式中含有多個(gè)變量，則可以將其中的某一個(gè)變量看作主元，其他的變量看作常數(shù)，構(gòu)造關(guān)于該主元的函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證……