如何通過歸納推理求解一類圖形變換問題

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征，或者由個別事實概括出一般的結論，稱為歸納推理.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.歸納推理在解題中應用廣泛，尤其在解答一些有規律的圖形變換問題時，運用觀察、實驗、分析、比較等手段，通過歸納推理，由個別現象推理到一般的情形，便可快速總結出圖形變換的規律，求得問題的答案.

例1.2022年北京冬奧會開幕式中節目《構建一朵雪花》開始后，一朵巨大的“雪花”呈現在舞臺的中央，十分壯觀.這種圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱為“科克曲線”，是瑞典數學家科克在1904年研究的一種分形曲線.“雪花曲線”是把一個正三角形的每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程無數次，得到的閉合曲線.

若上圖中的第1個圖形中的三角形的周長為1，

則第10個圖形的周長為（" ） .

解：

仔細觀察前四個圖形，可發現圖形的邊數與周長之間存在一定的規律：當 n=1，2，3，…，n 時，這 n 個圖形的周長可構成以1為首項，為公比的等比數列.根據等比數列的通項公式即可求出 an 的表達式，經檢驗該結論正確，由此可斷定第10個圖形的周長為a10= ?（?）9.

歸納推理不是證明方法，只是一種猜測結果的途徑，通過歸納，推理出的結論不一定準確，所以在求得問題的答案后，我們還需進一步對其加以嚴格證明和檢驗答案的正確……