由一道函數題引發的思考

仔細觀察，會發現很多函數問題比較典型，且出現的頻率較高.對于這類問題，教師應加以重視，引導學生對這些題目進行探究，并總結出一些題目的通性通法和解題的規律，這樣便能讓他們從“題海戰”中解脫出來，提升學習的效率.下面以一道函數題為例，談一談對結論 ex ≥ x +1的證明以及應用.

引例：設函數 f（x）=ex - x2-x （k ∈ R）.

（1）當 k =0時，求 f（x）的最小值；

（2）當 k=1時，請判斷函數 f（x）的單調性.

解：（1）當 k =0時，f（x）=ex -x ，故 f ′（x）=ex -1，當 f ′（x）=0時，x =0.

當 x ∈（-∞ ，0）時，f ′（x）gt;0，

當 x ∈（0， ∞）時，f ′（x）lt;0，

所以 f（x）在（-∞ ，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，

因此 f（x）在 x =0處取得最小值，

則 f（x）min =f（0）=1.

（2）當 k =1時，f（x）=ex - x2-x ，

故 f ′（x）=ex -x -1.

記 g（x）=f ′（x），g′（x）=ex -1，

當 g′（x）=0時，x =0，

當 x ∈（-∞ ，0）時，g′（x）gt;0，

當 x ∈（0， ∞）時，g′（x）lt;0，

所以 g（x）在（-∞ ，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，

因此 g（x）在 x =0處取得最小值，

則 g（x）≥ g（x）min =g（0）=0，即 f'（x）≥0（x ∈ R），

故 f（x）在 R 上單調遞增.

本題屬于中檔難度，解答兩個小題都需用到導數法.在解答第二個小題時，需用到第一個小題中的結論：f（x）=ex -x ≥1，即 ex ≥ x +1，并通過二次求導，來判斷 f ′（x）的符號，從而判斷出函數的單調性.

在人教版高中數學選擇性必修第二冊“5.3導數”一節的課后習題中就有這樣的題目：證明不等式e gt;x +1（x ≠0）x ，并通過函數圖象直觀驗證.類似的，在蘇教版高中數學選修2-2課本中也有相關的習題.這就說明不等式 ex ≥ x +1非常重要.

在解答完題目后，筆者說道：“在解答本題時，不等式 e x ≥ x + 1 發揮了重要的作用.那么該如何證明這 個不等式呢？”這就引發了學生去對 e x ≥ x + 1 這個不 等式進行深入的研究.通過思考，學生發現了如下的證 明思路：

設 f （x）= e x 、g（x）= x + 1 ，分別畫出兩個函數的圖 象如圖 1 所示.從圖 1 中，可以直接看出 f （x）= e x 的圖 象始終在 g（x）= x + 1 圖象的上方（在 x = 0 處有一個公 共點），這便直接證明了 e x ≥ x + 1 .

借助幾何圖象……