求解含參不等式恒成立問題的幾種途徑

含參不等式恒成立問題的難度一般較大，常見的命題形式有：（1）求參數的取值范圍；（2）證明不等式恒成立.這類問題常與方程、函數、導數、向量、圓等知識相結合，對同學們的分析推理能力和邏輯思維能力有較高的要求.那么，如何解答這類問題呢？主要有四種途徑.

一、分離參數

有些含參不等式中的參數、變量容易分離，此時可采用分離參數法求解.首先判斷參數前面系數的正負符號；然后根據不等式的性質，將不等式變形為一側含有參數、另一側不含有參數的形式；再將不含有參數的式子構造成函數，將問題轉化為函數最值問題來求解；最后建立關于參數的不等式.

例1．

解：

運用分離參數法解答不等式恒成立問題，關鍵是將問題轉化為函數最值問題，通常可（1）將 f（x）lt; g（a）恒成立轉化為 f（x）max lt; g（a）；（2）將 f（x）≤ g（a）恒成立轉化為 f（x）max ≤ g（a）；（3）將 f（x）gt; g（a）恒成立轉化為 f（x）min gt; g（a）；（4）將 f（x）≥ g（a）恒成立轉化為 f（x）min ≥ g（a）.

二、利用函數的性質

函數性質法是指利用函數的單調性解題.對于不能分離參數或分離參數后求最值較困難的含參不等式恒成立問題，可采用函數性質法求解.首先將不等式變形為 f（x， a）≥0、f（x， a）lt;0等形式；然后根據函數單調性的定義，導函數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性；再根據函數的單調性，求得函數的極值、零點、最值等；最后得到使不等式恒成立的式子或結論.

例2.已知函數 f （x）= ex - x + x2.

（ I ）求函數 f （x）的極值；

（ II ）若 x2-f （x）≤ ax + b 恒成立，求（1- a）b 的最小值.

解：

對于含有指數、對數式的不等式，通常需對函數求導，利用導函數與函數單調性之間……