求解平面向量數量積問題的三種常用方法

平面向量數量積問題常見的命題形式有：（1）根據已知向量和夾角，求兩個向量的數量積；（2）根據兩個向量的數量積，求參數的取值范圍；（3）根據已知向量及其數量積；求兩個向量的夾角.求解平面向量數量積問題的常用方法有：定義法、坐標法、投影法、幾何性質法、分解轉化法等.本文主要談一談定義法、坐標法、分解轉化法及其應用技巧.

一、定義法

兩個向量的數量積等于其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積，即兩個向量α與β的數量積為α?β=α?β? cos θ，其中|α|、|β|是兩個向量的模，θ是兩個向量α與β 的夾角0≤θ≤π.運用定義法解答平面向量數量積問題，需先根據已知條件求出目標向量的模和夾角，然后根據平面向量數量積的定義α?β=α?β? cos θ求出兩個向量的數量積.

例1.如圖1，已知ΔABC 的外接圓的圓心為 O，

解：

由正余弦定理可求得1A0BC，由圓心角與圓周角之間的關系可求出兩個向量 AO、BC 的夾角，再根據平面向量數量積的定義，即可求出兩個向量AO|BC的數量積.

例2

解：

由于AD、DB為正六邊形的對角線，所以根據正六邊形的幾何特征和性質即可求出以及兩 個向量AD、DB的夾角，便能直接根據平面向量數量積的定義求解.因為兩個向量共起點時的夾角與不共起點時的夾角互補，所以在運用平面向量數量積的定義解題時，要注意先判斷兩個向量是否共起點.

二、坐標法

坐標法是指建立適當的平面直角坐標系，將向量用坐標表示出來，利用向量的坐標運算法則和性質解題.在……